1 Що таке прості дроби. Види дробів.
Дроб завжди означає якусь частину цілого. Річ у тім, що не кількість можна передати натуральними числами, тобто перерахувати: 1,2,3 тощо. Як, наприклад, позначити половину кавуна чи чверть години? Ось для цього і з'явились дробові числа, або дроби.

Для початку треба сказати, що взагалі дробів буває два види: звичайні дроби та десяткові дроби. Звичайні дроби записуються так:
Десяткові дроби записуються інакше:

Прості дроби складаються з двох частин: вгорі - чисельник, внизу - знаменник. Чисельник і знаменник поділяє дрібна межа. Отже, запам'ятайте:

Будь-який дріб - це частина цілого. За все зазвичай приймають 1 (одиницю). Знаменник дробу показує, скільки частин розділили ціле ( 1 ), а чисельник – скільки частин взяли. Якщо ми розрізали торт на 6 однакових частин (у математиці говорять часткою ), то кожна частина торта дорівнюватиме 1/6. Якщо Вася з'їв 4 шматки, значить, він з'їв 4/6 .

З іншого боку, дробова риса — це не що інше, як знак розподілу. Тому дріб - це приватне двох чисел - чисельник і знаменник. У тексті завдань чи рецептах страв дроби записуються зазвичай так: 2/3, 1/2 тощо. Деякі дроби отримали власну назву, наприклад, 1/2 – «половина», 1/3 – «третина», 1/4 – «чверть»
А тепер розберемося, які бувають види звичайних дробів.

2 Види звичайних дробів

Звичайні дроби бувають трьох видів: правильні, неправильні та змішані:

Правильний дріб

Якщо чисельник менший, ніж знаменник, то такий дріб називають правильною,наприклад: Правильний дріб завжди менше 1.

Неправильний дріб

Якщо чисельник більший, ніж знаменник або дорівнює знаменнику, такий дріб називається неправильною, наприклад:

Неправильний дріб більше одиниці (якщо чисельник більший за знаменник) або дорівнює одиниці (якщо чисельник дорівнює знаменнику)

Змішаний дріб

Якщо дріб складається з цілого числа ( ціла частина) та правильного дробу(дрібна частина), то такий дріб називається змішаної, наприклад:

Змішаний дріб завжди більше одиниці.

3 Перетворення дробів

У математиці звичайні дроби часто доводиться перетворювати, тобто змішаний дріб перетворювати на неправильний і навпаки. Це необхідно для виконання деяких дій, наприклад, множення та розподілу.

Отже, будь-який змішаний дріб можна перевести в неправильний. Для цього цілу частину множать на знаменник і додають чисельник дробової частини. Отриману суму беруть чисельником, а знаменник залишають той самий, наприклад:

Будь-яку неправильний дрібможна перетворити на змішану. Для цього ділять чисельник на знаменник (із залишком). цілою частиною, а залишок - чисельником дробової частини, наприклад:

При цьому кажуть: "Ми виділили цілу частину з неправильного дробу".

Необхідно запам'ятати ще одне правило: Будь-яке ціле число можна представити у вигляді звичайного дробу зі знаменником 1, наприклад:

Поговоримо про те, як порівнювати дроби.

4 Порівняння дробів

При порівнянні дробів може бути кілька варіантів: Легко порівнювати дроби з однаковими знаменниками, набагато складніше якщо знаменники різні. А є ще й порівняння змішаних дробів. Але не хвилюйтеся, зараз ми докладно розглянемо кожен варіант і навчимося порівнювати дроби.

Порівняння дробів із однаковими знаменниками

З двох дробів з однаковими знаменниками, але різними чисельниками більший той дріб, у якого чисельник більший, наприклад:

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

З двох дробів з однаковими чисельниками, але різними знаменникамибільший той дріб, у якого знаменник менший, наприклад:

Порівняння змішаних та неправильних дробів із правильними дробами

Неправильний або змішаний дріб завжди більший за правильний дроб, наприклад:

Порівняння двох змішаних дробів

При порівнянні двох змішаних дробів більший той дріб, у якого ціла частина більша, наприклад:

Якщо цілі частини у змішаних дробів однакові, більший той дріб, у якого більша частина, наприклад:

Порівняння дробів з різними чисельниками та знаменниками

Порівнювати дроби з різними чисельниками та знаменниками без їх перетворення не можна. Спочатку дроби потрібно привести до одного знаменника, а потім порівняти їх чисельники. Більше той дріб, у якого чисельник буде більшим. А ось як приводити дроби до однакового знаменника, ми розглянемо наступні два розділи статті статті. Спочатку ми розглянемо основну властивість дробу та скорочення дробів, а потім безпосередньо приведення дробів до одного знаменника.

5 Основна властивість дробу. Скорочення дробів. Поняття про НОД.

Запам'ятайте: складати та віднімати, а також порівнювати можна лише дроби, у яких однакові знаменники. Якщо знаменники різні, то спочатку потрібно привести дроби до одного знаменника, тобто так перетворити один із дробів, щоб його знаменник став таким же, як у другого дробу.

У дробів є одна важлива властивість, звана також основною властивістю дробу:

Якщо і чисельник, і знаменник дробу помножити або розділити на те саме число, то величина дробу при цьому не зміниться :

Завдяки цій властивості ми можемо скорочувати дроби:

Скоротити дріб - значить розділити і чисельник, і знаменник на те саме число(дивіться приклад трохи вище). Коли ми скорочуємо дріб, можна розписати наші дії так:

Найчастіше ж у зошиті скорочують дріб так:

Але запам'ятайте: скорочувати можна лише множники. Якщо в чисельнику чи знаменнику сума чи різниця, скорочувати доданки не можна. Приклад:

Потрібно спочатку перетворити суму на множник:

Іноді, при роботі з великими числами, щоб скоротити дріб, зручно знайти найбільший спільний дільник чисельника та знаменника (НДД)

Найбільший спільний дільник (НД)кількох чисел - це найбільше натуральне число, яке ці числа діляться без залишку.

Для того, щоб знайти НОД двох чисел (наприклад, чисельник і знаменник дробу), потрібно розкласти обидва числа на прості множники, відзначити однакові множники в обох розкладаннях, і перемножити ці множники. Отриманий твір і буде НОД. Наприклад, нам потрібно скоротити дріб:

Знайдемо НОД чисел 96 та 36:

НОД показує, що і в чисельнику, і в знаменнику є множник12, і ми легко скорочуємо дріб.

Іноді, щоб привести дроби до одного знаменника, достатньо скоротити один із дробів. Але найчастіше буває необхідно підбирати додаткові множники для обох дробів. Зараз ми розглянемо, як це робиться. Отже:

6 Як приводити дроби до одного знаменника. Найменше загальне кратне (НОК).

Коли ми наводимо дроби до однакового знаменника, ми підбираємо для знаменника таке число, яке ділилося і перший, і другий знаменник (тобто було кратним обом знаменникам, висловлюючись математичним мовою). І бажано, щоб число це було якнайменше, так зручніше вважати. Таким чином, ми повинні знайти НОК обох знаменників.

Найменше загальне кратне двох чисел (НОК)- це найменше натуральне число, яке ділиться на обидва ці числа без залишку. Іноді НОК можна підібрати усно, але частіше, особливо під час роботи з великими числами, доводиться знаходити НОК письмово, за допомогою наступного алгоритму:

Для того, щоб знайти НОК кількох чисел, потрібно:

1. Розкласти ці числа на прості множники
2. Взяти найбільше розкладання, та записати ці числа у вигляді твору
3. Виділити в інших розкладах числа, які не зустрічаються у найбільшому розкладанні (або зустрічаються в ньому менше разів), і додати їх до твору.
4. Перемножити всі числа у творі, це буде НОК.

Наприклад, знайдемо НОК чисел 28 та 21:

Однак повернемося до наших дробів. Після того, як ми підібрали або письмово обчислили НОК обох знаменників, ми повинні помножити чисельники цих дробів на додаткові множники. Знайти їх можна, розділивши НОК на знаменник відповідного дробу, наприклад:

Таким чином, ми привели наші дроби до одного знаменника — 15.

7 Додавання та віднімання дробів

Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники, а знаменник залишити той самий, наприклад:

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від числа числа першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити той же, наприклад:

Додавання та віднімання змішаних дробів з однаковими знаменниками

Щоб скласти змішані дроби, треба окремо скласти цілі частини, а потім скласти їх дробові частини, і записати результат змішаним дробом:

Якщо при складанні дробових частин вийшов неправильний дріб, виділяємо з нього цілу частину і додаємо її до цілої частини, наприклад:

Віднімання проводиться аналогічно: ціла частина віднімається від цілої, а дробова — від дробової частини:

Якщо дробова частина віднімається більше, ніж дробова частина зменшуваного, «займаємо» одиницю з цілої частини, перетворюючи зменшуване на неправильний дріб, а далі діємо як звичайно:

Аналогічно віднімаємо з цілого числа дріб:

Як скласти ціле число та дріб

Для того, щоб скласти ціле число і дріб, потрібно просто додати це число перед дробом, при цьому вийде змішаний дріб, наприклад:

Якщо ми складаємо ціле число і змішаний дріб, ми додаємо це число до цілої частини дробу, наприклад:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками.

Для того, щоб скласти або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку привести їх до одного знаменника, а далі діяти, як при складанні дробів з однаковими знаменниками (скласти чисельники):

При відніманні діємо аналогічно:

Якщо працюємо зі змішаними дробами, приводимо до однакового знаменника їх дробові частини і далі віднімаємо як звичайно: цілу частину з цілої, а дробову - з дробової частини:

8 Множення та розподіл дробів.

Примножувати і ділити прості дроби набагато простіше, ніж складати і віднімати, тому що не потрібно наводити їх до одного знаменника. Запам'ятайте прості правиламноження та розподілу дробів:

Перед тим, як перемножувати числа у чисельнику та знаменнику бажано скоротити дріб, тобто позбутися однакових множників у чисельнику та знаменнику, як у нашому прикладі.

Щоб розділити дріб на натуральне число, потрібно знаменник помножити на це число, а чисельник залишити без змін:

Наприклад:

Розподіл дробу на дріб

Щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на число, зворотне дільнику (зворотний дріб). Що ж це за зворотний дріб?

Якщо ми перевернемо дріб, тобто поміняємо місцями чисельник і знаменник, отримаємо зворотний дріб. Твір дробу і зворотного дробу дає одиницю. У математиці такі числа називають взаємно оберненими числами:

Наприклад, числа - взаємно зворотні, оскільки

Таким чином, повернемося до поділу дробу на дріб:

Щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на дріб, зворотний дільник:

Наприклад:

При розподілі змішаних дробів потрібно так само, як і при множенні, спочатку перевести їх у неправильні дроби:

При множенні та розподілі дробів на цілі натуральні числа , можна представляти ці числа так само у вигляді дробів зі знаменником 1 .

І при розподілу цілого числа на дрібпредставляємо це число у вигляді дробу зі знаменником 1 :

Дроби бувають прості та десяткові. Коли школяр дізнається про існування останніх, він починає при кожній нагоді перекладати все, що можливо, в десятковий вигляднавіть якщо цього не потрібно.

Як не дивно, у старшокласників та студентів переваги змінюються, тому що простіше виконувати багато арифметичні діїз звичайними дробами. Та й значення, з якими мають справу випускники, перетворити на десятковий вигляд без втрат часом буває просто неможливо. В результаті обидва види дробів виявляються, так чи інакше, пристосовані до справи і мають свої переваги і недоліки. Подивимося, як із ними працювати.

Визначення

Дроби – це ті ж частки. Якщо в апельсині десять часточок, а вам дали одну, то у вас у руці 1/10 частина фрукта. При такому записі, як у попередньому реченні, дріб буде називатися звичайним. Якщо написати те саме як 0,1 - десятковий. Обидва варіанти є рівноправними, однак мають переваги. Перший варіант зручніше при множенні та розподілі, другий - при додаванні, відніманні та в ряді інших випадків.

Як перевести дріб в інший вид

Припустимо, у вас є звичайний дріб, і ви хочете зробити з нього десятковий. що потрібно для цього зробити?

До речі, треба заздалегідь визначитися, що не будь-яке число можна без проблем записати в десятковому вигляді. Іноді доводиться результат округляти, втрачаючи кілька знаків після коми, а багатьох областях - наприклад, у точних науках - це скоєно недозволена розкіш. У той же час дії з десятковими та звичайними дробами в 5 класі дозволяють здійснювати такий переклад з одного виду в інший без завад, хоча б як тренування.

Якщо зі знаменника шляхом множення або поділу на ціле число можна отримати значення, кратне 10, переклад пройде без будь-яких труднощів: ¾ перетворюється на 0,75, 13/20 - на 0,65.

Зворотна процедура виконується ще простіше, оскільки з десяткового дробу завжди можна отримати звичайну без втрат точності. Наприклад, 0,2 стає 1/5, а 0,08 – 4/25.

Внутрішні перетворення

Перш ніж здійснювати спільні події зі звичайними дробами, необхідно підготувати числа до можливих математичних операцій.

Перш за все потрібно привести всі наявні в прикладі дробу до одного загального вигляду. Вони мають бути або звичайними, або десятковими. Відразу обмовимося, що множення та розподіл зручніше виконувати з першими.

У підготовці чисел до подальших дій вам допоможе правило, відоме як і використовуване як у перші роки вивчення предмета, так і вищої математики, яку вивчають в університетах.

Властивості дробів

Припустимо, у вас є певне значення. Скажімо, 2/3. Що зміниться, якщо ви помножите чисельник і знаменник на 3? Вийде 6/9. А якщо на мільйон? 2000000/3000000. Але стривайте, адже кількість якісно зовсім не змінюється - 2/3 залишаються рівними 2000000/3000000. Змінюється лише форма, але з зміст. Те саме відбудеться при розподілі обох частин на те саме значення. В цьому і полягає основна властивість дробу, яке неодноразово допоможе вам робити дії з десятковими та звичайними дробами на контрольних та іспитах.

Примноження чисельника і знаменника одне й те число називається розширенням дробу, а розподіл - скороченням. Треба сказати, що закреслення однакових чиселу верхній і нижній частині при перемноженні та розподілі дробів - напрочуд приємна процедура (у рамках уроку математики, звичайно). Складається враження, що відповідь близька і приклад практично вирішено.

Неправильні дроби

Неправильним дробом називається така, у якої чисельник більший або дорівнює знаменнику. Іншими словами, якщо в неї можна виділити цілу частину, вона підпадає під це визначення.

Якщо таке число (більше або рівне одиниці) представлено у вигляді звичайного дробу, вона буде називатися неправильною. А якщо чисельник менший за знаменник - правильний. Обидва види однаково зручні при здійсненні можливих дій зі звичайними дробами. Їх можна безперешкодно множити та ділити, складати та віднімати.

Якщо одночасно виділена ціла частина і при цьому є залишок у вигляді дробу, отримане число буде називатися змішаним. У майбутньому ви зіткнетеся з різними способами комбінації таких структур із змінними, а також рішенням рівнянь, де знадобляться ці знання.

Арифметичні операції

Якщо з основною властивістю дробу все ясно, то як поводитись при перемноженні дробів? Події зі звичайними дробами в 5 класі мають на увазі всі види арифметичних операцій, які виконуються двома різними способами.

Множення та розподіл виконуються дуже просто. У першому випадку просто перемножуються чисельники та знаменники двох дробів. У другому - те саме, тільки хрест-навхрест. Таким чином, чисельник першого дробу множиться на знаменник другого, і навпаки.

Для виконання додавання та віднімання потрібно зробити додаткову дію - привести всі компоненти виразу до спільному знаменнику. Це означає, що нижні частини дробів повинні бути змінені до однакового значення - числа, кратного обом знаменникам. Наприклад, для 2 та 5 це буде 10. Для 3 та 6 – 6. Але що тоді робити з верхньою частиною? Ми ж можемо залишити їх у колишньому вигляді, якщо змінили нижню. Відповідно до основної властивості дробу ми помножимо чисельник на те ж число, що й знаменник. Ця операція має бути проведена з кожним із чисел, які ми складатимемо або віднімаємо. Втім, такі події зі звичайними дробами в 6 класі виконуються вже «на автоматі», а проблеми виникають лише на початковому етапі вивчення теми.

Порівняння

Якщо у двох дробів однаковий знаменник, то більше буде та їх, чисельник якої більше. Якщо ж однакові верхні частини, то більшою буде та, у якої менше знаменник. Варто мати на увазі, що такі вдалі ситуації для порівняння випадають нечасто. Швидше за все, і верхні, і нижні частини виразів не збігатимуться. Тоді доведеться згадати про можливі дії зі звичайними дробами і використовувати прийом, що застосовується при складанні та відніманні. Крім того, пам'ятайте, що якщо ми говоримо про негативних числах, то великий за модулем дріб виявиться меншим.

Переваги звичайних дробів

Трапляється, що викладачі говорять дітям одну фразу, зміст якої можна висловити так: що більше інформації дано при формулюванні завдання, то простіше буде рішення. Здається, що дивно звучить? Але дійсно: при великій кількості відомих величин можна користуватися практично будь-якими формулами, а от якщо надана лише пара чисел, можуть знадобитися додаткові роздуми, доведеться згадувати та доводити теореми, наводити аргументи на користь своєї правоти.

Навіщо ми це? Так до того, що звичайні дроби за всієї своєї громіздкості можуть сильно спростити життя учню, дозволяючи при перемноженні і розподілі скорочувати цілі рядки значень, а при розрахунку суми та різниці виносити загальні аргументи і, знову ж таки, скорочувати їх.

Коли потрібно здійснити спільні дії зі звичайними та десятковими дробами, трансформації здійснюються на користь перших: як ви переведете 3/17 у десятковий вигляд? Тільки із втратами інформації, не інакше. А ось 0,1 можна уявити як 1/10, а далі – як 17/170. І тоді два числа можна складати або віднімати: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Чим корисні десяткові дроби

Якщо дії зі звичайними дробами здійснювати і зручніше, записувати все з їх допомогою вкрай незручно, десяткові тут мають істотну перевагу. Порівняйте: 1748/10000 та 0,1748. Це те саме значення, представлене у двох різних варіантах. Зрозуміло, другий спосіб простіше!

Крім того, десяткові дроби простіше уявити, оскільки всі дані мають загальну основу, яка відрізняється виключно на порядки. Скажімо, знижку 30% ми легко усвідомлюємо і навіть оцінимо як значну. А чи одразу ви зрозумієте, що більше – 30% чи 137/379? Таким чином, десяткові дроби забезпечують стандартизацію розрахунків.

У старших класах учні вирішують квадратні рівняння. Виконувати події зі звичайними дробами тут вже вкрай проблематично, оскільки формула для розрахунку значень змінної містить квадратний коріньіз суми. За наявності дробу, що не зводиться до десяткового, рішення ускладнюється настільки, що розрахувати точну відповідь без калькулятора стає практично неможливо.

Отже, кожен спосіб представлення дробів має переваги у відповідному контексті.

Форми запису

Існує два способи запису дій зі звичайними дробами: через горизонтальну межу, в два «яруси», і через похилу межу (вона ж – «слеш») – у рядок. Коли учень пише у зошиті, перший варіант зазвичай зручніше, а тому і більш поширений. Розподіл рядом цифр за клітинами сприяє розвитку уважності при розрахунках та проведенні перетворень. При записі в рядок можна по неуважності переплутати порядок дій, втратити будь-які дані - тобто помилитися.

Досить часто нашого часу виникає необхідність надрукувати числа на комп'ютері. Розділяти дроби традиційною горизонтальною рисою можна, використовуючи функцію у програмі «Майкрософт Ворд» 2010 та пізнішого року випуску. Справа в тому, що в цих версіях софт є опція під назвою «формула». Вона виводить на екран прямокутне поле, що трансформується, в рамках якого можна комбінувати будь-які математичні символи, становити і дво-, і «чотириповерхові» дроби. У знаменнику та чисельнику можна користуватися дужками, знаками операцій. В результаті ви зможете записати будь-які спільні дії зі звичайними та десятковими дробами у традиційній формі, тобто так, як це вчать робити у школі.

Якщо ж ви користуватиметеся стандартним текстовим редактором «Блокнот», то все дробові виразитреба буде писати через похилу межу. Іншого способу тут, на жаль, не передбачено.

Висновок

Ось ми і розглянули всі основні події зі звичайними дробами, яких, виявляється, не так вже й багато.

Якщо спочатку здається, що це складний розділ математики, це лише тимчасове враження - пам'ятаєте, колись ви так думали про таблицю множення, а ще раніше - про звичайні прописи і рахунок від однієї до десяти.

Важливо розуміти, що дроби використовуються у повсякденному житті всюди. Ви матимете справу з грошима та інженерними розрахунками, інформаційними технологіями та музичною грамотою, і скрізь – скрізь! - дробові числа фігуруватимуть. Тому не полінуйтеся і вивчіть цю тему добре - тим більше не така вже й складна.