Ступінь та її властивості. Початковий рівень. Розв'язання наведених квадратних рівнянь. Терміни та поняття
Звертаємо вашу увагу, що в цьому розділі розуміється поняття ступеня тільки з натуральним показником і нулем.
Поняття та властивості ступенів з раціональними показниками(з негативним та дробовим) будуть розглянуті в уроках для 8 класу.
Отже, розберемося, що таке рівень числа.Для запису твору числа самого він кілька разів застосовують скорочене позначення.
Замість добутку шести однакових множників 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишуть 4 6 і вимовляють «чотири шостою мірою».
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6Вираз 4 6 називають ступенем числа, де:
- 4 — підстава ступеня;
- 6 — показник ступеня.
У загальному вигляді ступінь із основою «a» та показником «n» записується за допомогою виразу:
Запам'ятайте!
Ступенем числа «a» з натуральним показником «n», більшим 1 , називається твір «n» однакових множників, кожен з яких дорівнює числу"a".
Запис «a n» читається так: «а в ступені n» або «n-а ступінь числа a».
Виняток становлять записи:
- a 2 - її можна вимовляти як "а в квадраті";
- a 3 - її можна вимовляти як "а в кубі".
- a 2 - "а в другому ступені";
- a 3 - "а в третьому ступені".
Особливі випадки виникають, якщо показник ступеня дорівнює одиниці або нулю (n = 1; n = 0).
Запам'ятайте!
Ступенем числа «а» з показником n = 1 є саме це число:
a 1 = a
Будь-яке число в нульового ступеняодно одиниці.
a 0 = 1
Нуль у будь-якому натуральному ступені дорівнює нулю.
0 n = 0
Одиниця будь-якою мірою дорівнює 1.
1 n = 1
Вираз 0 0 ( нуль у нульовому ступені) вважають позбавленим змістом.
- (−32) 0 = 1
- 0 253 = 0
- 1 4 = 1
При вирішенні прикладів слід пам'ятати, що зведенням у ступінь називається знаходження числового або літерного значення після його зведення у ступінь.
приклад. Піднести до степеня.
- 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
- 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
- ( ·
=
=
81 256
Зведення до ступеня негативного числа
Підстава ступеня (число, яке зводять у ступінь), може бути будь-яким числом — позитивним, негативним або нулем.
Запам'ятайте!
При зведенні до ступеня позитивного числа виходить додатне число.
При зведенні нуля в натуральний ступіньвиходить нуль.
При зведенні в ступінь негативного числа в результаті може бути як позитивне число, так і негативне число. Це від того парним чи непарним числом був показник ступеня.
Розглянемо приклади зведення у міру негативних чисел.
З розглянутих прикладів видно, що якщо негативне число зводиться в не парний ступінь, То виходить негативне число. Оскільки добуток непарного кількість негативних співмножників негативно.
Якщо ж негативне число зводиться на парний ступінь, то виходить позитивне число. Оскільки добуток парного кількість негативних співмножників позитивно.
Запам'ятайте!
Від'ємне число, Зведене на парний ступінь, є число позитивне.
Негативне число, зведене в непарну міру, — число негативне .
Квадрат будь-якого числа є позитивним чи нуль, тобто:
a 2 ≥ 0 за будь-якого a .
- 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
- −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40
Зверніть увагу!
При вирішенні прикладів на зведення в ступінь часто роблять помилки, забуваючи, що записи (-5) 4 і -5 4 це різні вирази. Результати зведення в рівень даних виразів будуть різні.
Обчислити (−5) 4 означає визначити значення четвертого ступеня негативного числа.
(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625
У той час як знайти «−5 4 » означає, що приклад потрібно вирішувати на 2 дії:
- Звести до четвертого ступеня позитивне число 5 .
5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 - Поставити перед отриманим результатом знак «мінус» (тобто виконати дію віднімання).
−5 4 = −625
приклад. Обчислити: −6 2 − (−1) 4
−6 2 − (−1) 4 = −37- 6 2 = 6 · 6 = 36
- −6 2 = −36
- (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
- −(−1) 4 = −1
- −36 − 1 = −37
Порядок дій у прикладах зі ступенями
Обчислення значення називається дією зведення ступінь. Це дія третього ступеня.
Запам'ятайте!
У виразах зі ступенями, що не містять дужки, спочатку виконують введення в ступінь, потім множення та розподіл, а наприкінці додавання та віднімання.
Якщо у виразі є дужки, то спочатку у зазначеному вище порядку виконують дії в дужках, а потім дії, що залишилися, в тому ж порядку зліва направо.
приклад. Обчислити:
Для полегшення вирішення прикладів корисно знати та користуватися таблицею ступенів, яку ви можете безкоштовно завантажити на нашому сайті.
Для перевірки своїх результатів ви можете скористатись на нашому сайті калькулятором
ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ ПО АЛГЕБРІ ДЛЯ 7-11 КЛАСІВ.
Шановні батьки!Якщо Ви шукайте репетитора з математики для Вашої дитини, то це оголошення для Вас. Пропоную скайп-репетиторство: підготовка до ОДЕ, ЄДІ, ліквідація прогалин у знаннях. Ваші вигоди є очевидними:
1) Ваша дитина знаходиться вдома, і Ви можете бути за неї спокійною;
2) Заняття проходять у зручний для дитини час, і Ви навіть можете бути присутніми на цих заняттях. Поясню я просто та доступно на всій звичній шкільній дошці.
3) Інші важливі переваги скайп-занять додумаєте самі!
- твір nзмножувачів, кожен з яких дорівнює аназивається n-й ступенем числа аі позначається аn.
- Дія, з якого перебуває твір кількох рівних співмножників, називається зведенням у ступінь. Число, яке зводиться у ступінь, називається основою ступеня. Число, яке показує, на яку міру зводиться основа, називається показником ступеня. Так, аn- Ступінь, а- Основа ступеня, n- показник ступеня.
- а 0 = 1
- а 1 = а
- a m∙ a n= a m + n
- a m: a n= a m — n
- (a m) n= a mn
- (a∙b) n =a n ∙b n
- (a/ b) n= a n/ b nПри зведенні у ступінь дробу зводять у цей ступінь і чисельник та знаменник дробу.
- (- n) -й ступенем (n – натуральне) числа а, не рівного нулю, вважається число, зворотне n-й ступеня числа а, тобто . a — n=1/ a n. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
- (a/ b) — n=(b/ a) n
- Властивості ступеня з натуральним показником справедливі і для степенів із будь-яким показником.
Дуже великі та дуже малі числа прийнято записувати у стандартному вигляді: a∙10 n, де 1≤а<10 і n(Натуральне або ціле) – є порядок числа, записаного в стандартному вигляді.
- Вирази, складені з чисел, змінних та його ступенів, з допомогою дії множення називаються одночленами.
- Такий вид одночлена, коли на першому місці стоїть числовий множник (коефіцієнт), а за ним змінні зі своїми ступенями, називають стандартним видом одночлена. Суму показників ступенів всіх змінних, що входять до складу одночлена, називають ступенем одночлена.
- Одночлени, що мають однакову літерну частину, називаються подібними до одночленів.
- Сума одночленів називається багаточленом. Одночлени, у тому числі складений многочлен, називаються членами многочлена.
- Двучлен - це багаточлен, що складається з двох членів (одночленів).
- Тричлен - це багаточлен, що складається з трьох членів (одночленів).
- Ступенем багаточлена називають найбільший зі ступенів одночленів, що входять до нього.
- Багаточлен стандартного виду не містить подібних членів та записаний у порядку спаду ступенів його членів.
- Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен кожен член багаточлена і отримані твори скласти.
- Подання многочлена як твори двох чи кількох многочленів називається розкладанням многочлена на множники.
- Винесення загального множника за дужки - найпростіший спосіб розкладання багаточлену на множники.
- Щоб помножити багаточлен на багаточлен, потрібно кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та записати отримані твори у вигляді суми одночленів. При необхідності навести подібні доданки.
- (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Квадрат суми двох виразівдорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
- (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Квадрат різниці двох виразівдорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
- a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Різниця квадратів двох виразівдорівнює добутку різниці самих виразів з їхньої суму.
- (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Куб суми двох виразівдорівнює кубу першого виразу плюс потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.
- (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3Куб різниці двох виразівдорівнює кубу першого виразу мінус потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.
- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Сума кубів двох виразівдорівнює добутку суми самих виразів на неповний квадрат їхньої різниці.
- a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Різниця кубів двох виразівдорівнює добутку різниці самих виразів на неповний квадрат їхньої суми.
- (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Квадрат суми трьох виразівдорівнює сумі квадратів цих виразів плюс усілякі подвоєні попарні твори самих виразів.
- Довідка. Повний квадрат суми двох виразів: a 2 + 2ab + b 2
Неповний квадрат суми двох виразів: a 2 + ab + b 2
Функцію виду y=x 2називають квадратною функцією. Графіком квадратної функції є парабола з вершиною на початку координат. Гілки параболи y=x²спрямовані нагору.
Функцію виду y=x 3називають кубічною функцією. Графіком кубічної функції є кубічна парабола, яка проходить через початок координат. Гілки кубічної параболи y=x³знаходяться у I та III чвертях.
Чітна функція.
Функція fназивається парною, якщо разом з кожним значенням змінної х -х f(- x)= f(x). Графік парної функції симетричний щодо осі ординат (Оy). Функція y=x2 – парна.
Непарна функція.
Функція fназивається непарною, якщо разом з кожним значенням змінної хз області визначення функції значення ( -х) також входить у область визначення цієї функції і при цьому виконується рівність: f(- x)=- f(x) . Графік непарної функції симетричний щодо початку координат. Функція y=x3 – непарна.
Квадратне рівняння.
Визначення. Рівняння виду ax 2 +bx+c=0, де a, bі c- будь-які дійсні числа, причому а≠0, х- Змінна, називається квадратним рівнянням.
a- Перший коефіцієнт, b- Другий коефіцієнт, c- Вільний член.
Розв'язання неповних квадратних рівнянь.
- ax 2 =0 – неповне квадратне рівняння (b=0, c=0 ). Рішення: х = 0. Відповідь: 0.
- ax 2 +bx=0 –неповне квадратне рівняння (З = 0 ). Рішення: x (ax + b) = 0 → x 1 = 0 або ax + b = 0 → x 2 = -b/a. Відповідь: 0; -b/a.
- ax 2 +c=0 –неповне квадратне рівняння (b=0 ); Рішення: ax 2 = c → x 2 = c/a.
Якщо (-c/a)<0 , то дійсних коренів немає. Якщо (-з/а)>0
- ax 2 +bx+c=0- квадратне рівняннязагального вигляду
Дискримінант D = b 2 - 4ac.
Якщо D>0, то маємо два дійсні корені:
Якщо D=0, то маємо єдиний корінь (або два рівні корені) х=-b/(2a).
Якщо D<0, то действительных корней нет.
- ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного вигляду при парному другому
Коефіцієнт b
- ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного виду за умови : a-b+c=0
Перший корінь завжди дорівнює мінус одиниці, а другий корінь дорівнює мінус з, поділеному на а:
x 1 =-1, x 2 = c/a.
- ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного виду за умови: a+b+c=0.
Перший корінь завжди дорівнює одиниці, а другий корінь дорівнює з, поділеному на а:
x 1 =1, x 2 =c/a.
Розв'язання наведених квадратних рівнянь.
- x 2 +px+q=0 – наведене квадратне рівняння (Перший коефіцієнт дорівнює одиниці).
Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коріння дорівнює вільному члену:
ax 2 +bx+c=a·(x-x 1)(x-x 2), де x 1, x 2- коріння квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0.
Функція натурального аргументу називається числовою послідовністю, а числа, що утворюють послідовність членами послідовності.
Числову послідовність можна задати такими способами: словесним, аналітичним, рекурентним, графічним.
Числову послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з тим самим для даної послідовності числом dназивають арифметичною прогресією. Число dназивають різницею арифметичної прогресії. В арифметичній прогресії (a n), тобто в арифметичній прогресії з членами: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , …, a n-1 , a n , … за визначенням: a 2 =a 1 + d; a 3 =a 2 + d; a 4 =a 3 + d; a 5 = a 4 + d; …; a n =a n-1 + d; …
Формула n-го члена арифметичної прогресії.
Властивості арифметичної прогресії.
- Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному сусіднім з ним членам:
an=(an-1+an+1):2;
- Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному рівновіддалених від нього членів:
Формули суми перших n членів арифметичної прогресії.
1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2 Пройти тест.
Геометрична прогресія.
Визначення геометричної прогресії.
Числову послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме для даної послідовності число q, називають геометричною прогресією. Число qназивають знаменником геометричної прогресії. У геометричній прогресії (b n ), тобто в геометричній прогресії b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, …, b n, … за визначенням: b 2 = b 1 ∙q; b 3 =b 2 ∙q; b 4 =b 3 ∙q; …; b n = b n -1 ∙q.
Формула n-го члена геометричної прогресії.
b n = b 1 q n -1 .
Властивості геометричної прогресії.
Формула суми першихn членів геометричної прогресії.
Сума нескінченно спадної геометричної прогресії.
Нескінченний періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробу, у чисельнику якої різниця між усім числом після коми та числом після коми до періоду дробу, а знаменник складається з «дев'яток» і «нулів», причому, «дев'яток» стільки, скільки цифр у періоді, а «нулів» стільки, скільки цифр після коми до періоду дробу. Приклад:
Синус, косинус, тангенс та котангенс гострого кута прямокутного трикутника.
(α+β=90°)
Маємо: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. Оскільки β=90°-α, то
sin (90°-α)=cosα; cos (90°-α)=sinα;
tg (90°-α)=ctgα; ctg (90°-α)=tgα.
Кофункції кутів, що доповнюють одна одну до 90°, рівні між собою.
Формули додавання.
9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;
10) sin(α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;
11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;
12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;
Формули подвійного та потрійного аргументів.
17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;
19) 1+cos2α=2cos 2 α; 20) 1-cos2α=2sin 2 α
21) sin3α=3sinα-4sin 3 α; 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;
Формули перетворення суми (різниці) на твір.
Формули перетворення твору на суму (різницю).
Формули половинного аргументу.
Синус та косинус будь-якого кута.
парність (непарність) тригонометричних функцій.
З тригонометричних функцій парна лише одна: y=cosx, решта трьох – непарні, тобто cos (-α)=cosα;
sin(-α)=-sinα; tg (-α)=-tgα; ctg(-α)=-ctgα.
Знаки тригонометричних функцій за координатними чвертями.
Значення тригонометричних функцій деяких кутів.
Радіани.
1) 1 радіан - величина центрального кута, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу даного кола. 1 рад.≈57°.
2) Переклад градусної міри кута в радіану.
3) Переведення радіанної міри кута в градусну.
Формули наведення.
Мнемонічне правило:
1. Перед наведеною функцією ставлять знак, що наводиться.
2. Якщо запису аргументу π/2 (90°) взято непарне число разів, то функцію змінюють на кофункцию.
Зворотні тригонометричні функції.
Арксинусом числа а (arcsin a) називається кут із проміжку [-π/2; π/2 ], синус якого дорівнює а.
arcsin(- a)=- arcsina.
Арккосинусом числа а (arccos a) називається кут із проміжку, косинус якого дорівнює а.
arccos (-a)=π - arccosa.
Арктангенсом числа а (arctg a) називається кут із проміжку (-π/2; π/2), тангенс якого дорівнює а.
arctg(- a)=- arctga.
Арккотангенсом числа а (arcctg a) називається кут із проміжку (0; π), котангенс якого дорівнює а.
arcctg (-a)=π - arcctg a.
Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.
Загальні формули.
1)
sin t=a, 0 2)
sin t = - a, 0 3)
cos t = a, 0 4)
cos t =-a, 0 5)
tg t =a, a>0, тоді t=arctg a + πn, nϵZ; 6)
tg t = -a, a> 0, тоді t = - arctg a + πn, nϵZ; 7)
ctg t=a, a>0, тоді t=arcctg a + πn, nϵZ; 8)
ctg t = -a, a> 0, тоді t = π - arcctg a + πn, nϵZ. Приватні формули. 1)
sin t =0, тоді t=πn, nϵZ; 2)
sin t=1, тоді t= π/2 +2πn, nϵZ; 3)
sin t=-1, тоді t= - π/2 +2πn, nϵZ; 4)
cos t=0 тоді t= π/2+ πn, nϵZ; 5)
cos t=1 тоді t=2πn, nϵZ; 6)
cos t=1 тоді t=π +2πn, nϵZ; 7)
tg t =0, тоді t = πn, nϵZ; 8)
ctg t=0 тоді t = π/2+πn, nϵZ. Вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей.
Дорогі гості мого сайту, всі основні формули математики 7-11ви можете отримати (абсолютно безкоштовно), натиснувши на посилання.
Якщо все буде відповідати нормі, то функціональність органу та можливість у задоволенні плоду буде оптимальною.
