Ступінь числа із натуральним показником. Ступінь із цілим показником

Нижченаведена формула буде визначенням ступеня з натуральним показником(a - основа ступеня і множник, що повторюється, а n - показник ступеня, який показує скільки разів повторюється множник):

Даний вираз означає, що ступінь числа a з натуральним показником n є добутком n співмножників, при тому що кожен з множників дорівнює a .

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - підстава ступеня,

5 - показник ступеня,

1419857 - значення ступеня.

Ступінь з нульовим показником дорівнює 1 за умови, що a \neq 0 :

a^0=1.

Наприклад: 2^0=1

Коли потрібно записати велике число, зазвичай використовують ступінь числа 10 .

Наприклад, один із найдавніших динозаврів на Землі жив близько 280 млн. років тому. Його вік записується так: 2,8 \cdot 10^8 .

Кожне число більше 10 можна записати як a \cdot 10^n , за умови, що 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют стандартним видом числа.

Приклади таких чисел: 6978 = 6,978 \ cdot 10 ^ 3, 569000 = 5,69 \ cdot 10 ^ 5.

Можна говорити як і «a в n-му ступені», так і «n-а ступінь числа a» і «a у ступені n».

4^5 — «чотири в ступені 5» або «4 в п'ятому ступені» або також можна сказати «п'ятий рівень числа 4»

У даному прикладі 4 - основа ступеня, 5 - показник ступеня.

Наведемо тепер приклад із дробами та негативними числами. Для уникнення плутанини прийнято записувати підстави, відмінні від натуральних чисел, у дужках:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1) ^ 4 та ін.

Зауважте також різницю:

(-5)^6 - означає ступінь негативного числа−5 з натуральним показником 6.

5^6 - відповідає числу протилежному 5^6.

Властивості ступенів із натуральним показником

Основна властивість ступеня

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Підстава залишається незмінною, а складаються показники ступенів.

Наприклад: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Властивість приватного ступеня з однаковими підставами

a^n: a^k=a^(n-k), якщо n > k.

Показники ступеня віднімаються, а підстава залишається незмінною.

Дане обмеження n > k вводиться для того, щоб не виходити за межі натуральних показників ступеня. Справді, при n > k показник ступеня a^(n-k) буде натуральним числом, інакше він буде негативним числом (k< n ), либо нулем (k-n ).

Наприклад: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Властивість зведення ступеня до ступеня

(a^n)^k=a^(nk)

Підстава залишається незмінною, перемножуються лише показники ступенів.

Наприклад: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Властивість зведення у ступінь твору

У міру n зводиться кожен множник.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Наприклад: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Властивість зведення в міру дробу

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

У ступінь зводиться і чисельник та знаменник дробу. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

I.твір nзмножувачів, кожен з яких дорівнює аназивається n-й ступенем числа аі позначається аn.

приклади. Записати твір як ступеня.

1) мммм; 2) aaabb; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · ccc; 4) ppkk+ppk-ppkkk.

Рішення.

1) mmmm=m 4, оскільки, за визначенням ступеня, твір чотирьох співмножників, кожен з яких дорівнює m, буде четвертим ступенем числа m.

2) aaabb = a 3 b 2; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .

ІІ.Дія, з якого перебуває твір кількох рівних співмножників, називається зведенням у ступінь. Число, яке зводиться у ступінь, називається основою ступеня. Число, яке показує, на яку міру зводиться основа, називається показником ступеня. Так, аn- Ступінь, а- Основа ступеня, n- показник ступеня. Наприклад:

2 3 — це ступінь. Число 2 - Основа ступеня, показник ступеня дорівнює 3 . Значення ступеня 2 3 одно 8, так як 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

приклади. Написати такі вирази без показника ступеня.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a4 +3b2.

Рішення.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

ІІІ.а 0 = 1 Будь-яке число (крім нуля) в нульового ступеняодно одиниці. Наприклад, 250 =1.
IV.а 1 = аБудь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі.

V. a m∙ a n= a m + n При множенні ступенів однаковими підставамипідставу залишають тим самим, а показники складають.

приклади. Спростити:

9) a · a 3 · a 7; 10) b 0 +b 2 · b 3; 11) c 2 · c 0 · c · c 4 .

Рішення.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11; 10) b 0 +b 2 · b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5;

11) c 2 · c 0 · c · c 4 = 1·c 2 ·c·c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. a m: a n= a m - nПри розподілі ступенів з однаковими основами основу залишають колишнім, та якщо з показника ступеня поділеного віднімають показник ступеня дільника.

приклади. Спростити:

12) a 8: a 3; 13) m 11: m 4 ; 14) 5 6:5 4 .

12) a 8:a 3=a 8-3 =a 5; 13) m 11:m 4= m 11-4 = m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5 · 5 = 25.

VII. (a m) n= a mn При зведенні ступеня ступінь основу залишають колишнім, а показники перемножують.

приклади. Спростити:

15) (a 3) 4; 16) (з 5) 2.

15) (a 3) 4= a 3 · 4 = a 12; 16) (c 5) 2= c 5 · 2 = c 10 .

Зверніть увагу, що, оскільки від перестановки множників твір не змінюється, то:

15) (a 3) 4 = (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

VI II. (a∙b) n =a n ∙b n При зведенні твору на ступінь зводять у цей ступінь кожен із множників.

основна ціль

Ознайомити учнів із властивостями ступенів із натуральними показниками та навчити виконувати дії зі ступенями.

Тема " Ступінь та її властивості "включає три питання:

Визначення ступеня із натуральним показником.
Розмноження та розподіл ступенів.
Зведення у ступінь твору та ступеня.

Контрольні питання

Сформулюйте визначення ступеня з натуральним показником 1. Наведіть приклад.
Сформулюйте визначення ступеня із показником 1. Наведіть приклад.
Яким є порядок виконання дій при обчисленні значення виразу, що містить ступеня?
Сформулюйте основну властивість ступеня. Наведіть приклад.
Сформулюйте правило множення ступенів із однаковими основами. Наведіть приклад.
Сформулюйте правило розподілу ступенів з однаковими основами. Наведіть приклад.
Сформулюйте правило зведення ступінь твору. Наведіть приклад. Доведіть тотожність (ab) n = a n b n .
Сформулюйте правило зведення ступеня до ступеня. Наведіть приклад. Доведіть тотожність (а m) n = m n .

Визначення ступеня.

Ступенем числа aз натуральним показником n, Великим 1, називається добуток n множників, кожен з яких дорівнює а. Ступенем числа аз показником 1 називається саме число а.

Ступінь з основою ата показником nзаписується так: а n. Читається “ ау ступені n”; У n- я ступінь числа а ”.

За визначенням ступеня:

а 4 = а а а а

. . . . . . . . . . . .

Знаходження значення ступеня називають зведенням у ступінь .

1. Приклади зведення у ступінь:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Знайти значення виразів:

а) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

б) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Варіант 1

а) 0,3 0,3 0,3

в) b b b b b b b b

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Подайте у вигляді квадрата числа:

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 4 + (-2) 3

г) -4 3 + (-3) 2

д) 100 - 5 2 4

Розмноження ступенів.

Для будь-якого числа а та довільних чисел m і n виконується:

a m a n = a m + n.

Доведення:

Правило : При множенні степенів з однаковими основами основи залишають колишнім, а показники степенів складають.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

а) х 5 х 4 = х 5 + 4 = х 9

б) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

в) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

г) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

д) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

а) 2 3 2 = 2 4 = 16

б) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Варіант 1

1. Подати у вигляді ступеня:

а) х 3 х 4 е) х 2 х 3 х 4

б) а 6 а 2 ж) 3 3 9

в) у 4 у з) 7 4 49

г) а а 8 і) 16 2 7

д) 2 3 2 4 к) 0,3 3 0,09

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 2 2 2 3 в) 8 2 5

б) 3 4 3 2 г) 27 243

Розподіл ступенів.

Для будь-якого числа а0 та довільних натуральних чисел m і n, таких, що m>n виконується:

a m: a n = a m - n

Доведення:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

за визначенням приватного:

a m: a n = a m - n.

Правило: При розподілі ступенів з однаковими основами основу залишають колишнім, та якщо з показника ступеня поділеного віднімають показник ступеня дільника.

Визначення: Ступінь числа а, не рівного нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці:

т.к. а n: a n = 1 при а0.

а) х 4: х 2 = х 4 - 2 = х 2

б) у 8: у 3 = у 8 - 3 = у 5

в) а 7: а = а 7: а 1 = а 7 - 1 = а 6

г) з 5: з 0 = з 5: 1 = з 5

а) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

б) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

в)

г)

д)

Варіант 1

1. Подайте у вигляді ступеня приватне:

2. Знайдіть значення виразів:

Зведення у ступінь твору.

Для будь-яких а та b і довільного натурального числа n:

(ab) n = a n b n

Доведення:

За визначенням ступеня

(ab) n =

Згрупувавши окремо множники а та множники b, отримаємо:

Доведена властивість ступеня твору поширюється на ступінь твору трьох та більше множників.

Наприклад:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Правило: При зведенні у ступінь твору зводять у цей ступінь кожен множник і результат перемножують

1. Звести до ступеня:

а) (a b) 4 = a 4 b 4

б) (2 х у) 3 = 2 3 х 3 у 3 = 8 х 3 у 3

в) (3 а) 4 = 3 4 а 4 = 81 а 4

г) (-5 у) 3 = (-5) 3 у 3 = -125 у 3

д) (-0,2 х у) 2 = (-0,2) 2 х 2 у 2 = 0,04 х 2 у 2

е) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Знайти значення виразу:

а) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

б) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000 = 90000

в) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

г) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

д)

Варіант 1

1. Звести до ступеня:

б) (2 а з) 4

д) (-0,1 х у) 3

2. Знайти значення виразу:

б) (5 7 20) 2

Зведення у ступінь ступеня.

Для будь-якого числа а та довільних натуральних чисел m і n:

(а m) n = а m n

Доведення:

За визначенням ступеня

(а m) n =

Правило: При зведенні ступеня в ступінь основу залишають тим самим, а показники перемножують.

1. Звести до ступеня:

(а 3) 2 = а 6 (х 5) 4 = х 20

(у 5) 2 = у 10 (b 3) 3 = b 9

2. Спростіть вирази:

а) а 3 (а 2) 5 = а 3 а 10 = а 13

б) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

в) (х 3) 2 (х 2) 4 = х 6 х 8 = х 14

г) (у 7) 3 = (у 8) 3 = 24

а)

б)

Варіант 1

1. Звести до ступеня:

а) (а 4) 2 б) (х 4) 5

в) (у 3) 2 г) (b 4) 4

2. Спростіть вирази:

а) а 4 (а 3) 2

б) (b 4) 3 b 5+

в) (х 2) 4 (х 4) 3

г) (у 9) 2

3. Знайдіть значення виразів:

додаток

Визначення ступеня.

Варіант 2

1ю Запишіть твір у вигляді:

а) 04 04 04

в) а а а а а а а а

г) (-у) (-у) (-у) (-у)

д) (bс) (bс) (bс)

2. Подайте у вигляді квадрата числа:

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 3 + (-2) 4

г) -6 2 + (-3) 2

д) 4 5 2 – 100

Варіант 3

1. Запишіть твір як:

а) 0,5 0,5 0,5

в) с с с с с с с

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Подайте у вигляді квадрата числа: 100; 0,49; .

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 5 + (-3) 2

г) -5 3 + (-4) 2

д) 5 4 2 - 100

Варіант 4

1. Запишіть твір як:

а) 0,7 0,7 0,7

в) х х х х х х

г) (-а) (-а) (-а)

д) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Подайте у вигляді квадрата числа:

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 4 + (-3) 3

г) -3 4 + (-5) 2

д) 100 - 3 2 5

Розмноження ступенів.

Варіант 2

1. Подати у вигляді ступеня:

а) х 4 х 5 е) х 3 х 4 х 5

б) а 7 а 3 ж) 2 3 4

в) у 5 у з) 4 3 16

г) а а 7 і) 4 2 5

д) 2 2 2 5 к) 0,2 3 0,04

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 3 2 3 3 в) 16 2 3

б) 2 4 2 5 г) 9 81

Варіант 3

1. Подати у вигляді ступеня:

а) а 3 а 5 е) у 2 у 4 у 6

б) х 4 х 7 ж) 3 5 9

в) b 6 b з) 5 3 25

г) у 8 і) 49 7 4

д) 2 3 2 6 к) 0,3 4 0,27

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 3 3 3 4 в) 27 3 4

б) 2 4 2 6 г) 16 64

Варіант 4

1. Подати у вигляді ступеня:

а) а 6 а 2 е) х 4 х х 6

б) х 7 х 8 ж) 3 4 27

в) у 6 у з) 4 3 16

г) х х 10 і) 36 6 3

д) 2 4 2 5 к) 0,2 2 0,008

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 2 6 2 3 в) 64 2 4

б) 3 5 3 2 г) 81 27

Розподіл ступенів.

Варіант 2

1. Подайте у вигляді ступеня приватне:

2. Знайдіть значення виразів.

РОЗДІЛ 2. СТУПЕНІ

2.1. Ступінь із натуральним показником

Визначення. Ступенем числа а з натуральним показникомn(n>1) називається твірnзмножувачів, кожен з яких дорівнює а. , а 1 =а.

Властивості ступенів із натуральним показником:

	4.
	5. ;
	6.

Приклад 1. Обчислити:

.

Рішення.

Приклад 4. Розташувати у порядку зростання такі числа:

Рішення.

Звідси:

2.2. Ступінь із цілим показником

Узагальнюючи поняття ступеня з натуральним показником, введемо ступеня з нульовим та цілим негативним показниками.

Визначення: Якщо a≠0, то a 0 =1 . Вираз 0 0 не має сенсу.

Визначення: Якщо a≠0 , і n- Натуральне, то

Вираз 0 - nне має сенсу.

Властивість 2 ступеня з натуральним показником можна тепер, використовуючи поняття ступеня з нульовим та цілим негативним показником, записати у вигляді:

Інші властивості мають той самий запис.

Приклад 1. Обчислити:

;

Рішення.

Приклад 2. Знайти значення виразу:

.

Приклад 3. Спростити:

.

Рішення.

.

2.3. Арифметичний корінь n-й ступеня

Визначення: Коренем п-й ступеня з числа називається число, п-я ступінь якого дорівнює а.

Якщо n=2 , маємо квадратний корінь. Якщо n=3 , то корінь називається кубічним.

Якщо а>0і b-корінь парної n-й ступеня (n=2 k), то й (- b) також є коренем n- ступеня з числа а, т.к. (- b) n =(- b) 2 k =(b) 2 k =(b) n = a.

Дія знаходження кореня n-й ступеня з числа називається вилученням кореня n-й ступеня. Ця дія є зворотною до зведення в n-ю ступінь.

Якщо a<0 , то корінь парний n-й ступеня з числа ане існує (на безлічі дійсних чисел).

Визначення: Арифметичним коріннямn-й ступеня з неотрицательного числа називається неотрицательное числоb, n-Ступінь якого дорівнює а.

Наприклад, числа 3 і -3 є корінням четвертого ступеня з числа 81 . При цьому число 3 - арифметичний корінь четвертого ступеня з числа 81 , а число -3 не є арифметичним коренем.

Арифметичний корінь n-й ступеня з числа позначається так:

; аназивається підкореним числом, а натуральне число n (n≥2) - Показником кореня.

Якщо n=2 показник кореня не пишеться. Наприклад, замість

, пишуть

.

Теорема. З будь-якого дійсного числа а≥0можна отримати арифметичний корінь n- й ступеня і до того ж тільки один.

Корінь парного ступеня із негативного числа не існує.

Корінь непарного ступеня з негативного числа – число негативне..

Цей корінь єдиний і позначається як і, як і арифметичний.

Корінь непарний n-й ступеня з негативного числа апов'язаний з арифметичним коренем з числа -а = | а |наступною рівністю:

, де a<0 , n-непарне натуральне число (N≥3).

Надалі запис виду

буде означати арифметичний корінь, коли а≥0, або корінь непарного ступеня з негативного числа, коли а<0 .

Властивості арифметичного кореня:

якщоa> b>0, то

, і назад: якщо (a>0, b>0), тоa> b.

Довести:

. Для доказу застосуємо основну властивість арифметичного кореня і наведемо коріння до загального показника 6 (найменшого загального кратного показника цих коренів): Оскільки

, то за якістю порівняння арифметичних коренівотримаємо: .

Зауваження: Для кореня непарного ступеня із негативного числа справедлива формула: .

За допомогою цієї формули можна показати, що властивості 2÷5 арифметичних коренів справедливі також і для коріння непарного ступеня негативного числа.

У випадку, як у перетвореннях беруть участь як арифметичні, і коріння непарної ступеня з негативного числа, ці властивості неправильні.

Наприклад, для твору

застосування властивостей 1. та 2. призведе до невірного результату:

.

Правильне рішення: .

У разі арифметичного квадратного коренябуло доведено, що

для будь-якої дійсної кількості а. Аналогічно:

Наприклад, у перетвореннях:

Приклад 1. Внести множник під знак кореня у виразі:

.

Рішення. Так як

, то

Приклад 2. Винести множник з-під знаку кореня у виразі:

, де а<0.

Рішення.

, то

.

Приклад 3. Виконати дії:

.

Рішення.

; .

2.4. Ступінь з раціональним показником

Поняття та властивості ступеня з будь-яким цілим показником були розглянуті вище.

Введемо тепер на розгляд ступінь із дробовим показником.

Визначення. Якщоa>0 таx– раціональне число, подане дробом , деm- ціле, іn≥2 – натуральне число, то:

; якщо а

0 таx>0, тоa x 0.

Наприклад,

при а≥0;

або

при b>0 .

Раціональне число представляється як дробу неоднозначно, оскільки

при будь-якому натуральному k.

Покажемо, що:

. Справді:

(Використана основна властивість арифметичного кореня).

Властивості функції з цілим показником поширюються на ступінь з будь-яким раціональним показником та позитивною основою, наприклад: a p ∙ a q = a p + q (a>0).