Властивості чисел із однаковими підставами. Урок "ступінь із цілим показником"

Муніципальне казенне освітня установа

«Теляківська середня загальноосвітня школа»

Ясногірського району Тульської області

Урок на тему

«Властивості ступеня з цілим показником»

8 клас

Учитель математики

першої кваліфікаційної категорії

Кучабо Ю.Б.

2015 р.

Властивості ступеня з цілим показником

Тип уроку: урок вивчення та первинного закріплення нових знань.

Ціль: організувати діяльність тих, хто навчається з вивчення властивостей ступеня з цілим показником та застосування їх при обчисленнях та перетвореннях.

Завдання: - формувати потребу набуття нових знань, розвивати

пізнавальні процеси, мислення, пам'ять, уяву, самостійність;

створити ситуацію успіху для кожного за допомогою різнорівневої

самостійної роботи;

Розвивати навички самоконтролю та самооцінки;

Виховувати пошану один до одного, впевненість у собі, чесність,

коригувати самооцінку; розвивати математичну мову.

Структура уроку:

1) Мотиваційна розмова, самовизначення до діяльності.

2) Актуалізація знань та фіксація труднощів у діяльності.

3) Постановка навчальної задачі. Практична робота з підтвердженням властивостей ступеня з цілим показником.

4) Первинне закріплення. Естафета.

5) Діагностика засвоєння. (Різнорівнева самостійна робота).

6) Домашнє завдання.

7) Підсумок. Рефлексія

Хід уроку:

Мотиваційна розмова. Самовизначення до діяльності. (2 хвилини)

Добрий день. Сьогодні на уроці ми вивчаємо тему «Властивості ступеня з цілим показником». Подумайте, що потрібно знати для вивчення? Що слід згадати, повторити, чого ми повинні прийти в кінці уроку, яких цілей досягти? Правильно. Отже, мета нашого уроку: вивчити властивості ступеня з цілим показником та навчитися застосовувати ці властивості. Для цього ми повинні виконати такі завдання: ви згадаєте властивості ступеня з натуральним показником таДоведіть справедливість цих властивостей для ступеня з цілим показником.Ви призовете на допомогу свою уяву, увагу, кмітливість і станете ще розумнішими. Під час уроку ви ведете листки «Самоконтролю» і, як завжди, відзначаєте ступінь своєї участі у спільній діяльності. Минулого уроку ми познайомилися з визначенням ступеня з цілим показником. Згадаймо теорію. Дайте відповідь на питання:

1). Сформулюйте визначення ступеня числа із натуральним показником.

Визначення. Ступенем числа а з натуральним показником п, більшим 1, називається добуток п множників, кожен з яких дорівнює а.

2). Яким числом (позитивним чи негативним) є:

Ступінь позитивного числа?(позитивним)

Ступінь негативного числа із парним показником?(позитивним)

Ступінь негативного числа із непарним показником?(Негативним)

3). Сформулюйте визначення ступеня з негативним показником.Визначення. Якщо a≠ 0 і n - ціле негативне число, то .

Актуалізація знань та фіксація труднощів у діяльності. (5 хвилин)

Тепер згадайте, будь ласка, властивості ступеня із натуральним показником. Щоб ви швидше згадали, дивіться на дошку та працюйте за підказками.

1) Сформулюйте правило множення ступенів з однаковими основами.

1 властивість : (на дошці)

При множенні ступенів з однаковими основами основу залишають тим самим, а показники ступенів складають.

2) Сформулюйте правило розподілу ступенів з однаковими основами.

2 властивість: (на дошці)

При розподілі ступенів з однаковими основами основу залишають тим самим, та якщо з показника ступеня поділеного віднімають показник ступеня дільника.

3) Сформулюйте правило зведення ступеня до ступеня.

3 властивість : (на дошці)

При зведенні ступеня в ступінь основу залишають тим самим, а показники перемножують.

4) Сформулюйте правило зведення у ступінь твору.

4 властивість : (на дошці)

При зведенні у ступінь твору зводять у цей ступінь кожен множник та результати перемножують.

5) Сформулюйте правило зведення у міру дробу.

5 властивість : , де в ≠ 0. (на дошці)

При зведенні дробу в ступінь зводять в цей ступінь окремий чисельник і знаменник і записують у вигляді дробу.

6) Чому дорівнює ступінь із нульовим показником?

6 властивість: а 0 =1 де а ≠ 0. (на дошці)

Ступінь числа а, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

Обчислювальні завдання.

1. Обчислити: -3+2; -7-3; -8-(-4); 3∙(-6); -2∙(-8)

2. Спростити вирази:

а) 3 2 · 3; б) 2 10 : 2 6 ; в 2 2 ) 3 ; г) (5а 2 ) 2

Не забувайте оцінювати свою діяльність у листах самооцінки.

3) Постановка навчальної задачі. Практична робота з доказом властивостей ступеня з цілим показником (5 хвилин)

Пояснення нового матеріалу.

Ми повторили поняття ступеня з натуральним показником, а тепер давайте доведемо, що розглянуті властивості справедливі і для ступеня з будь-яким цілим показником, потрібно тільки припускати, що підстава ступеня не дорівнює нулю.

Отже, для будь-кого ≠0 та будь-яких цілих m і n

∙= (1)

: = (2)

= (3)

І для будь-яких ≠0 та ≠0 і цілого m

(4)

(5)

Ці властивості можна довести виходячи з визначення ступеня з негативним показником та властивості ступеня з натуральним показником. Доведемо справедливість якості (1) (основної якості ступеня).

Де ≠0 , k іp - натуральні числа.

Нині проведемо невелику практичну роботу. Доказ якості (4) проведіть самі, замінюючи ступеня дробами, скориставшись визначенням ступеня з негативним показником. Потім перевірте правильність практичної роботи, звірившись із дошкою, та оцініть свою діяльність.

Первинне закріплення. (10 хвилин)

а) З властивостей ступеня випливає, що дії над ступенями з цілим показником виконуються за тими самими правилами, що й дії над ступенями з натуральним показником.

Розглянемо приклади. Вирішіть їх самі, повірте з дошкою, виправте помилки (якщо вони є) і оцініть свою діяльність.

1). 5а -15 · 0,4а 23

2). 7,5 с 7 : 3 с -5

3). (3а 2 з -3 ) -2

4). 16 2 : (2 3 ) 2

Якщо багато учнів є помилки, вчитель роз'яснює матеріал ще раз інших аналогічних прикладах (можливо, з підручника).

б) естафета. Учні виконують перше завдання, його відповідь – одночасно номер наступного прикладу, тощо. Відповідь останнього завдання повідомляється вчителю. Потім слідує перевірка.

1). ·

2). ·

3). : 16

4). ·

5). :

Рішення:

1). · = = 5

5). : = = 2

2). · = = 3

3). : 16 = = 4

4). · = = =1

Фіз. хвилинка.

Якщо ви втомилися, відчуваєте занепад сил, не виспалися треба підзарядити енергією. Сядьте прямо, не горбиться, зімкніть разом коліна та ступні ніг, замкніть руки в замок, закрийте очі та дихайте носом глибоко та рівномірно. Зосередьтеся на звуку биття свого серця – відчуйте цю вібрацію у всьому тілі. Незабаром ви відчуєте, що ритм дихання майже збігається з ритмом биття серця. Насолоджуйтесь цією вібрацією, дихайте глибоко та спокійно, слухайте мелодію, яку співають ваше серце та дихання. Тепер розплющте очі, встаньте, розпряміть плечі і глибоко вдихніть. Відчуваєте? Все тіло налилося такою силою, що сьогодні жодні перешкоди не зможуть стати на заваді у ваших справах! Ви сповнені енергії та здоров'я!

5) Діагностика засвоєння. (15 хвилин)

Пам'ятаємо важливе правилонавчання. Люди зберігають у пам'яті:

10% того, що читали;

20% того, що чули;

30% того, що бачили;

50% того, що чули та бачили;

70% того, що чули, бачили та обговорювали;

80% того, що говорили самі;

90% того, що робили самі.

Тому, використовуючи вивчені властивості ступеня, виконуємо самостійну роботу. Працюємо за варіантами з подальшою взаємоперевіркою та самоперевіркою. Юля виконує завданняIваріанти, потім закриває свій зошит і дивиться рішення цих завдань на дошці. Запам'ятовує правильне рішення, відкриває зошит, виправляє свої можливі помилки та оцінює свою діяльність. (Правильне рішення на дошці вже закрите). Христина, Сергій та Валера вирішуютьIIваріант. Потім обмінюються зошитами, перевіряють роботи один одного та виставляють оцінки олівцем у зошиті та ручкою у листки самоконтролю. Крістіна перевіряє роботу Валері, Валера – Серьожі, Серьожа – Крістини.

IваріантIIваріант

№ 1 Обчисліть: № 1 Обчисліть:

а) 5 -15 · 5 12 а) 3 -4 · 3 6

б) 9 -5 · 27 3 б) 10 8 · 10 -5

в 10 0 : 10 -5 в 4 -8 : 4 -9

г) 8 -2 : 4 -4 г) 6 -3 : 6 -3

д) (3 2 ) -3 · 27 2 д) (5 2 ) -2 · 5 3

№ 2 Спростіть вираз: № 2 Спростіть вираз:

а) (0,5х -4 у -3 ) 2 · 4 х -2 у 3 а) 1,5 ас -3 · 4 а -2 з

б) (5а 3 з 2 ) -2 · 10 а 5 з -3 б) 0,6 х -2 у 4 · 0,5 х 3 у -2

в) (х -7 у 2 ) -2 · (х 2 у -3 ) -3 в) (0,5х -4 у -3 ) 2 · 4 х -2 у 3

г) г)

д) д)

6) Домашнє завдання . (4 хвилини)

Здайте, будь ласка, самостійну роботу та листки самоконтролю. Відкрийте підручники на стор. 118. Ще раз прочитайте властивості ступеня з цілим показником та приклади їх застосування у тексті пункту 40. Тепер запишіть домашнє завдання: п. 40, № 986, № 999. Подивіться на № 986. Як ви його виконуватимете? Які властивості ступеня застосуєте? А за виконання № 999? Уважно подивіться, якщо щось незрозуміло, ставте запитання.

7) Рефлексія. Підсумок уроку. (4 хвилини)

Подумайте, що ви дізналися на уроці? Чи досягли цілі уроку? Які причини труднощів та помилок? Яку мету поставимо собі на наступний урок?

Дякую всім за роботу на уроці, ви сьогодні молодці. Урок закінчено, до побачення.

Необхідний матеріалдо уроку:

– презентація,

– картки із завданнями для самостійної роботи,

– листки самоконтролю.

Приклад аркуша самоконтролю.

Інструкція: під час уроку відзначайте ступінь вашої участі у діяльності за шкалою 1) – списав, але не зрозумів (слухав, але не відповідав) – 2 бали, 2) – списав та розібрався – 3 бали, 3) – вирішував сам, але помилився (відповів на усне питання) – 4 бали, 4) – вирішив сам без помилок – 5 балів. Самостійна робота оцінюється так: із 10 завдань правильно виконано 9 або 10 – позначка 5, 7 або 8 – 4, 5 або 6 – 3, менше 5 – 2 бали.

Види діяльності

Бали

Відповіді на усні запитання

Практична робота

Закріплення

Самостійна робота

Підсумок уроку

Рішення (Для презентації)

Обчислювальні завдання.

Обчислити: -3+2; -7-3; -8-(-4); 3∙(-6); -2∙(-8).

2. Спростити вирази:

а) 3 2 · 3; б) 2 10 : 2 6 ; в 2 2 ) 3 ; г) (5а 2 ) 2

Рішення: а)3 2 · 3 = 3 3 =27; б) 2 10 : 2 6 = 2 4 = 16 ; в 2 2 ) 3 = 2 6 = 64; г) (5а 2 ) 2 = 5 2 а 2·2 =25а 4

Первинне закріплення :

1). 5а -15 · 0,4а 23 = 2а -15+23 = 2а 8

2). 7,5с 7 : 3с -5 = 2,5 с 7-(-5) =2,5 з 12

3). (3а 2 з -3 ) -2 = 3 -2 · (А 2 ) -2 · (З -3 ) -2 = а -4 з 6

4). 16 2 : (2 3 ) 2 = (2 4 ) 2 : 2 3·2 = 2 8 : 2 6 = 2 2 = 4

Естафета:

1). ·

2). ·

3). : 16

4). ·

5). :

Рішення:

1). · = = 5

5). : = = 2

2). · = = 3

3). : 16 = = 4

4). · = = =1

Самостійна робота:

Iваріант

№ 1 Обчисліть:

а) 5 -15 · 5 12 = 5 -3 =

б) 9 -5 · 27 3 = (3 2 ) -5 · (3 3 ) 3 = 3 -10 · 3 9 =3 -1 =

СТУПЕНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ,

СТІПОВА ФУНКЦІЯ IV

§ 72. Властивості ступенів із цілими показниками

У § 68 і 69 ми довели такі властивості ступенів натуральними показниками;

Всі ці властивості виявляються справедливими і для степенів з будь-якими цілими (позитивними, негативними та нульовими) показниками, якщо тільки числа а і b не дорівнюють нулю.

Доведемо, наприклад, що за а =/= 0

а m а n = а m+n , (1)

де т і п - будь-які цілі числа.

Бо для натуральних чисел т і п формула (1) вже доведена, то нам залишається розглянути лише такі три випадки: 1) числа т і п негативні; 2) одне з чисел т і п позитивно, а інше – негативно; 3) хоча б одне із чисел т і п одно нулю.

Випадок 1.Нехай т і п - негативні числа. Тоді за визначенням ступеня з негативним показником

Так як т і п негативні, то - m і - п позитивні. Тому

а - m а - n = а - m - n = а -( m+ n)

Значить, . Використовуючи визначення ступеня з негативним показником, запишемо:

Отже,

а m а n = а m+n

Випадок 2Один із показників т і п позитивний, а інший - негативний. Нехай, наприклад, т > 0, а п < 0. По определению степени с отрицательным показателем

Число - п позитивно; отже, за доведеним у § 71

Випадок 3.Хоча б один із показників т і п дорівнює нулю. Нехай, наприклад, т = 0. Тоді за визначенням нульового ступеня

а m а n = а 0 а n = = 1 а n = а n ,

але а m+n = а 0+n = а n . Значить, формула

а m а n = а m+n

вірна й у разі.

Таким чином, при а =/= 0 формула

а m а n = а m+n

вірна для будь-яких цілих чисел т і п .

Аналогічно можуть бути доведені й решта чотирьох властивостей ступенів з цілими показниками, згадані на початку цього параграфу.

Приклади, 1) 4 - 5 4 8 = 4 3 = 64;

2) (3 2) - 4 = 3 - 8 = 1 / 6561

3) [(1 / 5) - 2 ] 3 = (5 - 1) - 2 ] 3 = 3 = 5 6 = 15 625.

На закінчення відзначимо ще дві властивості ступенів із цілими показниками (заучувати ці властивості не потрібно).

6) Якщо a > b > 0 та п негативно, то а n < b n , тобто з двох ступенів з позитивними основами та однаковими негативними показникамибільше та, основа якої менша .

Наприклад,

5 - 3 < 4 - 3 (1 / 125 < 1 / 64); (1 / 3) - 2 > (1 / 2) - 2 (9 > 4)

7) Якщо 0< а < 1, то из двух степеней а mі а nбільше та, показник якої менший.

Якщо а>1, то з двох ступенів а mі а nбільше та, показник якої більший.

Під т і п тут маються на увазі будь-які цілі числа, а не тільки натуральні.

Наприклад,

(1 / 2) - 5 > (1 / 2) - 4 або 32 > 16

2 - 5 <2 - 4, або 1/32< 1 / 16 и т. д.

Пропонуємо учням довести ці властивості самостійно.

Вправи

532. Обчислити:

533. Яке число більше:

а) 5 - 63 або 5 - 64; в 5 - 63 або (1/5) - 63

б) 5 - 63 або 6 - 63; г) (1/5) 63 або 5 - 63 ?

534. Спростити вираз

і знайти його числове значення при

a = - 4, b = - 1/2

535. При якому показнику п ступінь а n не залежить від основи а ?

I.твір nзмножувачів, кожен з яких дорівнює аназивається n-й ступенем числа аі позначається аn.

приклади. Записати твір як ступеня.

1) мммм; 2) aaabb; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · ccc; 4) ppkk+ppk-ppkkk.

Рішення.

1) mmmm=m 4, оскільки, за визначенням ступеня, твір чотирьох співмножників, кожен з яких дорівнює m, буде четвертим ступенем числа m.

2) aaabb = a 3 b 2; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .

ІІ.Дія, з якого перебуває твір кількох рівних співмножників, називається зведенням у ступінь. Число, яке зводиться у ступінь, називається основою ступеня. Число, яке показує, на яку міру зводиться основа, називається показником ступеня. Так, аn- Ступінь, а- Основа ступеня, n- показник ступеня. Наприклад:

2 3 — це ступінь. Число 2 - Основа ступеня, показник ступеня дорівнює 3 . Значення ступеня 2 3 одно 8, так як 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

приклади. Написати такі вирази без показника ступеня.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a4 +3b2.

Рішення.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

ІІІ.а 0 = 1 Будь-яке число (крім нуля) в нульовому ступені дорівнює одиниці. Наприклад, 250 =1.
IV.а 1 = аБудь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі.

V. a m∙ a n= a m + n При множенні ступенів з однаковими основами основу залишають тим самим, а показники складають.

приклади. Спростити:

9) a · a 3 · a 7; 10) b 0 +b 2 · b 3; 11) c 2 · c 0 · c · c 4 .

Рішення.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11; 10) b 0 +b 2 · b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5;

11) c 2 · c 0 · c · c 4 = 1·c 2 ·c·c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. a m: a n= a m - nПри розподілі ступенів з однаковими основами основу залишають колишнім, та якщо з показника ступеня поділеного віднімають показник ступеня дільника.

приклади. Спростити:

12) a 8: a 3; 13) m 11: m 4 ; 14) 5 6:5 4 .

12) a 8:a 3=a 8-3 =a 5; 13) m 11:m 4= m 11-4 = m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5 · 5 = 25.

VII. (a m) n= a mn При зведенні ступеня в ступінь основу залишають тим самим, а показники перемножують.

приклади. Спростити:

15) (a 3) 4; 16) (з 5) 2.

15) (a 3) 4= a 3 · 4 = a 12; 16) (c 5) 2= c 5 · 2 = c 10 .

Зверніть увагу, що, оскільки від перестановки множників твір не змінюється, то:

15) (a 3) 4 = (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

VI II. (a∙b) n =a n ∙b n При зведенні твору на ступінь зводять у цей ступінь кожен із множників.

приклади. Спростити:

17) (2a 2) 5; 18) 0,2 6 · 5 6; 19) 0,25 2 · 40 2 .

Рішення.

17) (2a 2) 5= 2 5 · a 2 · 5 = 32a 10; 18) 0,2 6 · 5 6= (0,2 · 5) 6 = 1 6 = 1;

19) 0,25 2 · 40 2= (0,25 · 40) 2 = 10 2 = 100.

IX.При зведенні у ступінь дробу зводять у цей ступінь і чисельник та знаменник дробу.

приклади. Спростити:

Рішення.

Сторінка 1 з 1 1

Ступінь із натуральним показником

Добуток кількох однакових множників можна записати у вигляді виразу, званого ступенем.
Наприклад, 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 6
Повторюваний множник називають підставою ступеня , А число множників, що повторюються показником ступеня . Так, у виразі 4 6 число 4 - основа ступеня, а число 6 - показник ступеня.

Визначення. Ступенем числа а з натуральним показником п, більшим 1, називається добуток п множників, кожен з яких дорівнює а.

Визначення. Ступінь числа а, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці. Ступенем числа а з показником 1 називається саме число. Знаходження значення ступеня називають зведенням у ступінь.

Приклади: 7 5 = 7 . 7 . 7 . 7 . 7. = 16 807, (– 8) 3 = (– 8) . (– 8) . (8) = – 512 .

Ступінь із цілим негативним показником

Визначення.Якщо a =/= 0 і n – ціле негативне число, то .

Приклади:

(–3) –4 = = ; = = – 8

Властивості ступеня з цілим показником

Властивості ступеня з натуральним показником справедливі і для ступеня з будь-яким цілим показником (потрібно тільки припускати, що основа ступеня не дорівнює нулю).

1 властивість:

При множенні ступенів з однаковими основами основу залишають тим самим, а показники ступенів складають.

Приклад:

2 властивість:

При розподілі ступенів з однаковими основами основу залишають тим самим, та якщо з показника ступеня поділеного віднімають показник ступеня дільника.

Приклад:= =

3 властивість:

При зведенні ступеня в ступінь основу залишають тим самим, а показники перемножують.

Приклад:

4 властивість:

При зведенні у ступінь твору зводять у цей ступінь кожен множник та результати перемножують.

Приклад: = 2 –2 . (a 3) –2 (b –5) –2 = a –6 b 10 .

5 властивість: , де =/= 0.

Приклад:

Стандартний вид числа

У науці та техніці зустрічаються як дуже великі, так і дуже малі позитивні числа. Наприклад, обсяг Землі дорівнює 1083000000000 км 3 , а діаметр молекули води - 0,0000000003 м. У звичайному десятковому вигляді такі числа незручно читати і записувати, а також виконувати над ними які-небудь дії, тому корисно їх записувати в стандартному вигляді.

Визначення.Стандартним бачимо числа aназивають його запис як a . 10 n де 1 < a< 10 и n – целое число. Число n называется порядком числа a.

Наприклад, порядок числа, що виражає обсяг Землі в кубічних кілометрах, дорівнює 12, а порядок, що виражає діаметр молекули води в метрах, дорівнює – 10.

Приклад 1. Представити у стандартному вигляді число р = 42 350 000.
У цьому числі поставимо кому так, щоб у цілій частині виявилася одна цифра. В результаті отримаємо 4,2350000 = 4,235. Відділивши комою 7 цифр праворуч, ми зменшили число р в 10 7 разів, тому р більше за число 4,235 в 10 7 разів. Значить, р = 42 350 000 = 4,235 . 10 7 .

приклад 2.Представити у стандартному вигляді число р = 0,00000257.
У цьому числі переставимо кому так, щоб у цілій частині виявилася одна відмінна від нуля цифра. В результаті вийде 2,57. Переставивши кому на 6 знаків праворуч, ми збільшили число р в 10 6 разів, тому число р менше числа 2,57 у 10 6 разів. Звідси р = 2,57: 106 = 2,57, тобто. 0,00000257 = 2,57 . 10 –6 .

Тести складено у програмі M Excel. Для роботи з ними потрібна наявність на ПК прикладної програми M Excel. Послідовність роботи:

1. Запустити необхідний тест.

2. У полі "нумерації листів" вибрати потрібний варіант.

3. Для вибору відповіді необхідно:

а) виділити мишкою область, забарвлену блакитним кольором;
б) на екрані з'явиться вказівник відповідей
в) після натискання напоявиться «список, що розкривається»;
г) серед запропонованих відповідей обрати свою відповідь;
д) перейти до наступного завдання тесту.

3. Після закінчення роботи над тестом на екрані ПК буде вказано кількість правильних відповідей.

4. Для виведення оцінки на екран необхідно звернутися до гіперпосилання «Оцінка».