Натуральне число в нульовому ступені. Ступінь із негативною основою. Ступінь із раціональним показником

будь-яке число в нульового ступеня

Альтернативні описи

Вимірювань

Назва першого, найменшого з натуральних чисел

Величина, прийнята за основу при вимірі чогось

. (розмовне) оцінка успішності учня за п'ятибальною системою, що позначається цифрою «1» та відповідна оцінці «дуже погано»

В математиці: дійсне число від множення на яке будь-яке число не змінюється

Величина, якою вимірюються інші однорідні величини

Міра, стандартна величина

Найменше із натуральних чисел

Початок відліку учнівських оцінок

Не осиновий, але все ж таки «кіл»

Окремі предмети або люди, істоти, небагато за кількістю

Найнижча шкільна позначка

Цифра з носом

Частина цілого

Шкільна відмітка (розмовна)

Шкільна оцінка

Уявна кількість

Добуток будь-якого позитивного цілого числа на число йому зворотне

Літера «е» у скороченні у. тобто.

Тангенс кута 45 градусів

Кіль, «забитий» у щоденник

Кіль, але не кийок

Найрідкісніша шкільна позначка

Оцінка нульових знань

Абсолют дробового світу

Результат розподілу числа самого себе

Нейтральний елемент щодо множення

Десять без кружечка

Натуральний мінімум

Приймання цифрового ряду

Розмножувач

Величина

На яке число безглуздя множити?

Оцінка для учня, який нічого не знає

Лідер цифрового устрою

Найгірша оцінка

Шкільна позначка

Оцінка учня, який нічого не знає

Штатна...

Розмножувач (цифра)

Нижній зрадить недбалості учня

Знак двійкового коду

Дурниця і нуль у Маяковського

Найгірша оцінка

Нижня межа недбалості учня

На яке число без толку множити?

Одна п'ята від «відмінно»

На яке число марно ділити?

Найменше додатне число

Величина, якою вимірюються однорідні величини

Перший розряд багатозначних чисел

Окремі предмети або люди, істоти, небагато за кількістю

Окрема самостійна частина у складі цілого, окремий предмет (або людина) у групі подібних

Величина, якою вимірюються інші однорідні величини

Найнижча шкільна навчальна позначка

Цифра, що позначає "1"

В математиці: дійсне число, від множення на яке будь-яке число не змінюється

. (розг.) шкільна позначка

Ж. один, перший за рахунком, і числовий знак, що виражає число це, всяка річ або предмет окремо, взятий по собі; будь-яка міра, прийнята у разі для виміру чогось; рахуючи відстань сажнями, одна сажень буде одиницею; вважаючи його верстами, одна верста одиниця та ін. арифметич. рахунок і знаки до дев'яти включно, назив. одиницями. Одиницею, єдиною, єдинощи, один раз, єдиною, одного разу, однова, один раз, одним разом; колись, колись. Одиничний, що до одиниці належить, її складовий; з'єднаний із чим нероздільно або односущий. Одиничний м. складник з ким або з чим одиницю, одне ціле. Єдиність ж. властивість чи стан одиниці, одиничного, не множинного. Єдиний чи їдний, один, чи єдиний. Єдиний тут, а другий там. Один по одному пішли, один за одним. Жодного гроша немає. Жодною часткою не наділив нас, нічого не дав. Бог єдиний, та совість не у всіх єдина. Жодного гроша не дам. Наодинці, на одних чи око на око, сам друг, удвох. Єдине, все одно, одне чи одно, одне й те саме. складання слів. те, що одне і означає самотність, відсутність двоїстого чи множинного. Не все одно, що хліб, що мякина. Не для чого іншого іншого, а для єдиної єдності та дружного товариства. Все одно, що хліб, що горобина: обидва кислі. Одинець м. одинець, єдиний, єдиний у своєму роді, чому немає дружки чи подібного. Єдиність ж. єдність порівн. властивість єдиного, що становить одне ціле; одностайність, однодумність. Єдність цього вчення протилежна двоїстості іншого. Єдність прагнень наших вам відома. Єднувати, бути єдиним, одним, нероздільним. Єдиний, один чи єдиний, чому немає рівня, ні дружки; незрівнянний; винятковий; одиночний, одиничний, лише один. Це єдиний майстер. Це єдиний випадок. Єдино назва. тільки, тільки, виключно і так. Єдиність ж. якість, приналежність, стан єдиного, єдиного. Єдиний, одноякі, одинакий, однаковий; самотній. Єдине, однаково, однозначно назва. одне, так само, точно, також. Єдина ср. самотність чи однодумність, одностайність. Єдиний старий. укладати взаємний союз, скоп, бути одностайним. Єднати, приводити до єдності або з'єднувати, з'єднувати в одне. -ся, з'єднуватися та становити одне. З'єднайте сили. Роз'єднатися нарізно. Приєднати, надати. З'єднати, з'єднати, з'єднати знову. Усамітнитися на самоту. Єдина порівн. з'єднання, злагоду та єдність, однодумність. Єдиний, з'єднувальний, сполучний, сполучний, сполучний. Єдина, переносна рисочка в листі, що сполучає слово. Єдник м.-ниця ж. з'єднувач, що з'єднує, або єдинник м.-щиця ж. Єдинобожні порівн. однобожжя, сповідання одного Бога, протипол. багатобожі. Єдинобожний, що до сповідання цього відносить. Єдиноборство, боротьба, дебат, бій, битва віч-на-віч; двобій, дуель. Єдиноборствувати, боротися, сперечатися чи битися віч-на-віч. Єдиноборний, єдиноборний або до єдиноборства. Єдиноборственний, що до одиночної боротьби та обборювання відноситься. Єдиноборець, єдиноборник м. ратує віч-на-віч; поєдинник. Єдинобрачі, одношлюбність, причастя до одного лише шлюбу, протипол. багатошлюбність. ботаніки розряд 19-го класу Лінея, managomia. Єдинобрачний, який живе або перебуває в одному шлюбі. Єдинобраність ж. стан одношлюбного. Єдиний, одновидний, одноманітний, по собі або з чим. Єдиновидність ж. властивість одновидного, одновидність, одноманітність. Єдиний, одновинний, хто один виною, причиною чогось. Єдиновладдя порівн. одновладдя, єдинодержавство; Управління, де вся влада в одній особі, в одних руках. Єдиновладний, правлячий одновладно; до правління цього відносить. Єдиновласувати, тримати в руках своїх всю владу. Єдиновласник, єдиновладник м.-ниця ж. єдиновласник м.-ниця ж. єдиновладний, самовладний, повновладний власник, розпорядник, імператор. Одновіковий, одновіков м. одноліток, одноліток з ким. Єдиневільник, що тримається вчення єдиновілля, яке приписує Господу Ісусу Христу лише волю; монофеліт. Одноразовий, одноразовий, не щорічний, одного разу трапляється. Одночасний, одночасний, сучасний, що збігається за терміном. Одночасність, властивість, приналежність, стан за двома попередніми поняттями. Одночасник м. -ниця, одночасник м. еоіночасниця ж. сучасник або одночасник. Єдиновір'я порівн. сповідання однієї і тієї ж з ким віри. Наслідування всіх догматів православ'я, зі збереженням тільки стародруків церковних книг і старописних ікон, єдиновірство, -вірство, або благословенна церква. Єдиновірний, що належить взагалі до одновірства; одновірний, що відноситься до еліновірства нашої церкви, до одновірства. Єдиновір, єдиновір м. одновірка ж. взагалі, що сповідує одну з кимось віру; прив. що сповідує віру греко-російську, зі збереженням тільки старописних ікон та стародруків службових книг; старообрядець (не розкольник), що належить до благословенної церкви. Одноголовий, одноголовий, про одну главу, напр. Церква. Одностайність порівн. одностайність ж. єдина душа, однодумність, згода в думках, у рішеннях. Згода в музичних голосах або звуках, якщо співачі не розрізняються, співають, грають струнко, відповідно, вірно. Єдиноголосний, приголосний, у тому та іншому знач. співзвучний та однодумний. Єдиногласне рішення, прийняте всіма учасниками, усіма голосами (одноголосний, що складається з однієї голосної літери, з одного звуку; одноголосний наспів, на один голос, тобто без вторини і пр. Єдинодавець м. єдиний подавач, один подає. Єдинодержав'я порівн. єдинодержавний, єдинодержавний, єдинодержавний, єдинодержавний, єдинодержавний, єдинодержавний м. -жица ж. самодержець, єдиний (само) володар або єдинодержавний государ. Єдинодія порівнюється, одностайна дія. ний. Одноприродний, одноприродний, що становить одне, однакове, з чим єство. Єдиноженство, стан одноженця м. або одноосібного чоловіка, який мав одну тільки дружину. Єдиножиттєвий, що живе з кимось одним спільним життям. Одноосібник, -ниця, співмешканець, який живе разом з ким. Одноножний, що належить до однопроживання. Єдинозвучність, омріяння, однаковість, згодність звуків. Єдинозвучність ж. те, як властивість, приналежність. Єдинозвучний, що видає один або однаковий із чим звук, однозвучний, одноголосний. Єдиноземець м.-земка ж. одноземець, співвітчизник, соотчич, земляк, однородець, спів(одне) племінник. Єдиноземство порівн. стан, співвідношення одноземців, земляків. Єдиноім'я порівн. одноіменність ж. однойменність, соіменість, стан однойменного з ким чи чим, т. е. що має одне ім'я. Єдиноклятвій, пов'язаний з ким одною загальною клятвою. Однокровність порівн. єдинокровність ж. властивість та стан однокровних, однокровних, що походять від однієї крові чи загального роду. Однокровник м.-ниця ж. родич, що походить від однієї крові, або співмешканець, що живе під одним з ким дахом. Єдинокупний, сукупний, спільний, загальний. Однорічний, однорічний, однорічний та однорічний; одних з ким років: одного року зроду: триває одне тільки літо. Одноліття, час одного або одного літа. Однорічність ж. стан чи належність однолітків. Одноматерний, народжений однією з кимось матір'ю; еді(од)ноутробний, од(єди)номатерний. Одномилостивий з ким, однаково, однаково милостивий. Єдиномліковий, одномліковий, одними грудьми з ким вигодуваний, однолікар м. -ніца ж. Одноліківник. Однопотужний з ким, однопомічник кому, односильний, однопотужний, рівносильний. Одномудрити, розумити, судити з ким однаково. Одномудрий, єдиномудрий, розумний з ким одно чи однаково. Однодумний прилаг. однодумець м.-ниця ж. хто мислить одне чи однаково з кимось або, однодумний. Однодумність порівн. однодумність, одностайність, згода у думках. Однодумний прилаг. однодумець сущ. м. -ниця ж. умисний, що замишляє що за одне з ким, співучасник. Єдиноначальність порівн. єдиновладдя; у приватному побуті, управління, господарство, де один тільки шлях, одна голова; про уряд єдинодержавство. Єдиноначальний, що виходить від початку; всю владу у собі укладає. Єдиноначальник м.-ниця ж. єдиновладник, в кому одному полягає вся влада, сила. Єдиний, однонормовий, у кого однаковий з ким характер; єдинорів'я порівн. стан це. Єдиноманітність порівн. однаковість ж. одноманітність чи одновидність, однаковість у вигляді, в образі. Єдиний, одноманітний, одновидний, рівний видом. Одноокий, одно(окий)окий, кривий. Однонабряковий, що народився від одного з ким батька, єдинорідний, тобто брат. Єдиноплемінний прилаг. одноплемінник м.-ниця ж. одноплемінний або одноплемінний, одного з ким племені. Єдиноплемінний, одно(со)племінник належить. Єдинопоясник м. Церк. легкий воїн. Єдинограничний, суміжний, суміжний. Єдинопрестольний, на одному спільному престолі, що сидить. Єдиноревний, одноборець, змагальний, змагальник. Єдиноріг м. звір носоріг, Rinoceros. Тварина з розряду китів, Monodon, з витим іклом у вигляді рога. Неймовірний однорогий кінь. Сузір'я, що отримало назву цієї тварини. Гармата з конічним казенником. Гармата сама по собі, а єдиноріг сам по собі, пояснений солдата, чим вони відрізняються. Єдинорожний, єдинорогу, що належить, Єдинорідний, один по народженню, єдиний син, дочка. Однорідний, одного роду чи образу, властивостей, дуже схожий. Однонароджений, разом або одночасно народжений. Односильний, рівносильний; односильний, однією силу. Єдинославний, рівнославний. Єдинослівний, одноголосний, згодний у словах, промовах; однослівний, що з одного слова складається. Єдинорада, одностайність, однодумність, згода у намірах. Єдинорадний, одноголосний. Єдинострадальний, одномученик, однотерпець. Єдиноупругий, одношлюбний. Єдині порівн. або єдиносутність ж. єдність істоти, неподільність сутності чогось. Єдиносущний, односутний, нероздільний із чимось по суті. Єдинотрапезник м. однотрапезник, сотрапезник. Одностайність порівн. однодумність, однорада, одностайність. Одноутробний, одноутробний, одноматерний. Єдинохудожник, однохудожник, товариш по мистецтву. Єдиноцарський, єдиновладний, єдинодержавний. Єдиний, одностатевий, однорідний, говорячи про дітище; а одночадний, у кого одна тільки дитина, говорячи про батька. Єдиночесний, одно, однаково честивий, шанований. Єдиний, одночисленний, одноцифірний; рівночисленний. Одномовний, одноплемінний, співвітчизний

Кіль, "забитий" у щоденник

На яке число без толку множити

На яке число марно ділити

На яке число безглуздя множити

Не множить множник (цифра)

Одна п'ята від "відмінно"

Що таке рівень числа?

Зведення в ступінь - це така сама математична операція, як додавання, віднімання, множення або поділ.

Наразі поясню все людською мовою на дуже простих прикладах. Будь уважний. Приклади елементарні, але пояснюють важливі речі.

Почнемо зі складання.

Пояснювати тут нічого. Ти й так усе знаєш: нас вісім людей. У кожного по дві пляшки коли. Скільки всього кіл? Правильно – 16 пляшок.

Тепер множення.

Той самий приклад із колою можна записати по-іншому: . Математики - люди хитрі та ліниві. Вони спочатку помічають якісь закономірності, а потім вигадують спосіб якнайшвидше їх «рахувати». У нашому випадку вони помітили, що у кожного з восьми чоловік однакова кількість пляшок коли і придумали прийом, який називається множенням. Погодься, вважається легше і швидше, ніж.

Отже, щоб вважати швидше, легше і без помилок, потрібно лише запам'ятати таблицю множення. Ти, звичайно, можеш робити все повільніше, важче та з помилками! Але...

Ось таблиця множення. Повторюй.

І інший, красивіший:

А які ще хитрі прийоми рахунку вигадали ліниві математики? Правильно - зведення числа до ступеня.

Зведення числа до ступеня.

Якщо тобі потрібно помножити число на себе п'ять разів, то математики кажуть, що тобі потрібно звести це число в п'яту ступінь. Наприклад, . Математики пам'ятають, що два в п'ятому ступені – це. І вирішують такі завдання в умі - швидше, легше і без помилок.

Для цього потрібно лише запам'ятати те, що виділено кольором у таблиці ступенів чисел. Повір, це полегшить тобі життя.

До речі, чому другий ступінь називають квадратомчисла, а третю - кубом? Що це означає? Дуже гарне питання. Нині будуть тобі і квадрати, і куби.

Приклад із життя №1.

Почнемо із квадрата або з другого ступеня числа.

Уяви собі квадратний басейн розміром метри на метри. Басейн стоїть у тебе на дачі. Спека і дуже хочеться купатися. Але... басейн без дна! Потрібно застелити дно басейну плиткою. Скільки тобі треба плитки? Щоб це визначити, тобі потрібно дізнатися площу дна басейну.

Ти можеш просто порахувати, тикаючи пальцем, що дно басейну складається із кубиків метр на метр. Якщо ти маєш плитку метр на метр, тобі потрібно буде шматків. Це легко… Але де ти бачив таку плитку? Плитка швидше буде див на див. І тоді «пальцем рахувати» замучишся. Тоді доведеться множити. Отже, з одного боку дна басейну у нас поміститься плиток (штук) і з іншого теж плиток. Помноживши на ти отримаєш плиток ().

Ти помітив, що для визначення площі дна басейну ми помножили одне й те саме саме на себе? Що це означає? Раз множиться те саме число, ми можемо скористатися прийомом «зведення в ступінь». (Звичайно, коли в тебе всього два числа, все одно перемножити їх або звести в ступінь. Але якщо в тебе їх багато, то зводити у ступінь значно простіше і помилок при розрахунках виходить теж менше. Для ЄДІ це дуже важливо).
Отже, тридцять другою мірою буде (). Або можна сказати, що тридцять у квадраті буде. Іншими словами, другий рівень числа завжди можна представити у вигляді квадрата. І навпаки, якщо ти бачиш квадрат – це ЗАВЖДИ другий ступінь якогось числа. Квадрат – це зображення другого ступеня числа.

Приклад із життя №2.

Ось тобі завдання, порахувати, скільки квадратів на шахівниці за допомогою квадрата числа... З одного боку клітин і з іншого теж. Щоб порахувати їх кількість, потрібно вісім помножити на вісім або якщо помітити, що шахівниця - це квадрат зі стороною, то можна звести вісім у квадрат. Вийде клітини. () Так?

Приклад із життя №3.

Тепер куб чи третій ступінь числа. Той самий басейн. Але тепер тобі потрібно дізнатися, скільки води доведеться залити у цей басейн. Тобі треба порахувати обсяг. (Обсяги та рідини, до речі, вимірюються в кубічних метрах. Несподівано, правда?) Намалюй басейн: дно розміром на метри та глибиною метра та спробуй порахувати, скільки всього кубів розміром метр на метр увійде у твій басейн.

Прямо показуй пальцем і рахуй! Раз, два, три, чотири…двадцять два, двадцять три… Скільки вийшло? Чи не збився? Важко пальцем рахувати? Так то! Бери приклад із математиків. Вони ліниві, тому помітили, що, щоб порахувати обсяг басейну, треба перемножити один на одного його довжину, ширину та висоту. У нашому випадку обсяг басейну дорівнюватиме кубів… Легше правда?

А тепер уяви, наскільки математики ліниві та хитрі, якщо вони і це спростили. Звели все до однієї дії. Вони помітили, що довжина, ширина і висота дорівнює і що те саме число перемножується саме на себе… А що це означає? Це означає, що можна скористатися ступенем. Отже, те, що ти вважав пальцем, вони роблять в одну дію: три в кубі одно. Записується це так: .

Залишається тільки запам'ятати таблицю ступенів. Якщо ти, звичайно, такий же лінивий і хитрий як математики. Якщо любиш багато працювати і робити помилки – можеш продовжувати вважати пальцем.

Ну і щоб остаточно переконати тебе, що ступеня вигадали ледарі та хитруни для вирішення своїх життєвих проблем, а не для того, щоб створити тобі проблеми, ось тобі ще пара прикладів із життя.

Приклад із життя №4.

У тебе є мільйон рублів. На початку кожного року заробляєш на кожному мільйоні ще один мільйон. Тобто, кожен твій мільйон на початку кожного року подвоюється. Скільки грошей у тебе буде за роки? Якщо ти зараз сидиш і «вважаєш пальцем», значить ти дуже працьовита людина і дурна. Але швидше за все ти даси відповідь через пару секунд, тому що ти розумний! Отже, у перший рік – два помножити на два… на другий рік – те, що вийшло, ще на два, на третій рік… Стоп! Ти помітив, що число перемножується саме собою раз. Значить, два вп'яте - мільйони! А тепер уяви, що у вас змагання і ці мільйони отримає той, хто швидше порахує... Варто запам'ятати ступеня чисел, як вважаєш?

Приклад із життя №5.

У тебе є мільйон. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще два. Здорово правда? Кожен мільйон потроюється. Скільки грошей у тебе буде за рік? Давай рахувати. Перший рік – помножити на, потім результат ще на… Вже нудно, бо ти вже все зрозумів: три множиться саме на себе рази. Значить четвертою мірою дорівнює мільйон. Треба просто пам'ятати, що три в четвертому ступені це або.

Тепер ти знаєш, що за допомогою зведення числа в ступінь ти полегшить собі життя. Давай подивимося на те, що можна робити зі ступенями і що тобі потрібно знати про них.

Терміни та поняття.

Отже, спочатку давай визначимо поняття. Як думаєш, що таке показник ступеня? Це дуже просто - це число, яке знаходиться «вгорі» ступеня числа. Не науково, зате зрозуміло і легко запам'ятати.

Ну і заразом, що така підстава ступеня? Ще простіше - це число, яке знаходиться внизу, в основі.

Ось тобі малюнок для вірності.

Ну і в загальному вигляді, щоб узагальнити і краще запам'ятати.

«Ступінь числа з натуральним показником»

Ти вже напевно здогадався: тому що показник ступеня – це натуральне число. Так, але що таке натуральне число? Елементарно! Натуральні це ті числа, які використовуються в рахунку при перерахуванні предметів: один, два, три... Ми ж коли рахуємо предмети не говоримо: мінус п'ять, мінус шість, мінус сім. Ми так само не говоримо: "одна третя", або "нуль цілих, п'ять десятих". Це не натуральні цифри. А які це числа, як ти думаєш?

Числа типу "мінус п'ять", "мінус шість", "мінус сім" відносяться до цілим числам.Взагалі, до цілих числах відносяться всі натуральні числа, протилежні числа натуральним (тобто взяті зі знаком мінус), і число. Нуль зрозуміти легко – це коли нічого немає. А що означає негативні («мінусові») числа? А ось їх придумали в першу чергу для позначення боргів: якщо у тебе баланс на телефоні рублів, це означає, що ти винен оператору рублів.

Будь-які дроби - це раціональні числа. Як вони виникли, як гадаєш? Дуже просто. Декілька тисяч років тому наші предки виявили, що їм не вистачає натуральних чисел для вимірювання довжини, ваги, площі тощо. І вони вигадали раціональні числа… Цікаво, правда ж?

Є ще ірраціональні числа. Що це за числа? Якщо коротко, то нескінченний десятковий дріб. Наприклад, якщо довжину кола розділити на її діаметр, то вийде ірраціональне число.

Підсумуємо:

Ступінь із натуральним показником (n = 1, 2, 3,...)

Визначимо поняття ступеня, показник якого — натуральне число (тобто ціле та позитивне).

1. Будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі:
2. Звести число в квадрат - значить помножити його на себе:
3. Звести число в куб - значить помножити його на себе три рази:

Визначення.Звести число в натуральний ступінь— значить помножити число саме собою:
.

Властивості ступенів

Звідки ці властивості взялися? Зараз покажу.

1. Подивимося: що таке та? За визначенням:

Скільки тут множників всього?
Дуже просто: до множників ми дописали множників, разом вийшло множників.

Отже, у правій частині цього виразу виходить такий твір:

Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто: , що потрібно було довести.

Приклад: Спростіть вираз

Рішення:

Приклад:Спростіть вираз.

Рішення:Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковоповинні бути однакові підстави. Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

Ще одне важливе зауваження: це правило - тільки для добутку ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

2. тобто ступінь числа
Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Перегрупуємо цей твір так:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:

Ч.т.д.
По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі:
!
Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати? Але це не так, адже.

Ступінь із негативною основою.

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показник ступеня. Але якою має бути підстава? У ступенях з натуральним показникомоснова може бути будь-яким числом. І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть. Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних і негативних чисел? Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ? З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним. Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо, вийде. І так до нескінченності: при кожному наступному множенні знак змінюватиметься. Можна сформулювати такі прості правила:

Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Впорався? Ось відповіді:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - міра парна, а значить, результат завжди буде позитивним. Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий. Тут треба дізнатися, що менше: чи? Якщо згадати, що, стає ясно, що, отже, підстава менша за нуль. Тобто застосовуємо правило II: результат буде негативним.

Обчисли значення виразів:

Рішення:

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів! Отримуємо:

6.
Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило. Але як це зробити? Виявляється, дуже легко: тут нам допомагає парний рівень знаменника.
Якщо примножити його на, нічого не зміниться, правда? Але тепер виходить таке:

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого вираження в парного ступеня: ми можемо безперешкодно змінювати знаки у дужках Але важливо запам'ятати: змінюються всі знаки одночасно! Не можна замінити, змінивши тільки один неугодний нам мінус!
Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Ступінь із цілим показником (0, ±1, ±2,...)

Цілимими називаємо натуральні числа, протилежні ним (тобто взяті зі знаком «») та число.

Якщо показником ступеня є ціле позитивне число, а воно нічим не відрізняється від натурального, все виглядає в точності як у попередньому розділі.

А тепер розглянемо нові випадки. Почнемо з показника, що дорівнює.

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці:

Як завжди, запитаємо себе: чому це так?

Розглянемо якийсь ступінь із основою. Візьмемо, наприклад, і домножимо на:

Отже, ми помножили число на, і отримали те, що було - . А яке число треба помножити, щоб нічого не змінилося? Правильно, на. Значить.

Можемо зробити те ж саме з довільним числом:

Повторимо правило:

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці.

Але з багатьох правил є винятки. І тут воно теж є – це число (як основа).

З одного боку, будь-якою мірою повинен дорівнювати - скільки нуль сам на себе не помножуй, все-одно отримаєш нуль, це ясно. Але з іншого боку, як і будь-яке число в нульовому ступені, має дорівнювати. То що з цього правда? Математики вирішили не зв'язуватися і відмовилися зводити нуль на нульовий ступінь. Тобто тепер нам не можна не лише ділити на нуль, а й зводити його на нульовий ступінь.

Поїхали далі. Крім натуральних чисел та числа до цілих відносяться негативні числа. Щоб зрозуміти, що таке негативний ступінь, вчинимо як минулого разу: домножимо якесь нормальне число на таке ж у негативного ступеня:

Звідси вже нескладно висловити:

Тепер поширимо отримане правило на довільний ступінь:

Отже, сформулюємо правило:

Число негативно назад такому ж числу позитивно. Але при цьому основа не може бути нульовою:(т.к. на ділити не можна).

Підведемо підсумки:

I. Вираз не визначено у разі. Якщо то.

ІІ. Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці: .

ІІІ. Число, не рівне нулю, негативним чином тому ж числу позитивно: .

Приклади:

Ну і, як завжди, приклади для самостійного вирішення:

Рішення:

Знаю-знаю, числа страшні, але на ЄДІ треба бути готовим до всього!

Ступінь із раціональним показником

Продовжимо розширювати коло чисел, «придатних» як показник ступеня. Тепер розглянемо оптимальні числа. Які числа називаються раціональними? Відповідь: всі, які можна у вигляді дробу, де і - цілі числа, причому.

Щоб зрозуміти, що таке «дрібна міра», розглянемо дріб:

нехай. Зведемо обидві частини рівняння до ступеня:

Тепер згадаємо правило про «ступінь у ступені»:

Яке число треба звести до ступеня, щоб отримати? Це формулювання - визначення кореня ступеня. Нагадаю: коренем -ого ступеня числа () називається число, яке при зведенні до ступеня дорівнює. Тобто, корінь -ого ступеня - це операція, обернена до зведення в ступінь: .

Виходить що. Очевидно, цей окремий випадокможна розширити: .

Тепер додаємо чисельник: що таке? Відповідь легко отримати за допомогою правила «ступінь у ступені»:

Але чи може бути підстава будь-яким числом? Адже корінь можна отримувати не з усіх чисел. Наприклад, чи можна порахувати число? Тобто, яке число потрібно звести до ступеня, щоб отримати? Жодне! Згадуємо правило: будь-яке число, зведене на парний ступінь – число позитивне. Тобто витягувати коріння парного ступеня з негативних чисел не можна. А це означає, що не можна такі числа зводити в дробовий ступіньз парним знаменником, тобто вираз немає сенсу. А що щодо висловлювання? Його вже начебто можна порахувати: це. Але тут постає проблема. Число можна представити у вигляді інших, скоротливих дробів, наприклад, або. І виходить, що існує, але не існує, адже це просто два різні записи того самого числа. Або інший приклад: раз, то можна записати. Але варто нам по-іншому записати показник, і знову отримаємо неприємність: (тобто отримали зовсім інший результат!). Щоб уникнути подібних парадоксів, розглядаємо тільки позитивна основа ступеня з дробовим показником.

Отже, якщо:

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Ступені з раціональним показникомдуже корисні для перетворення виразів з корінням, наприклад:

А тепер виріши сам:

Рішення:

1. Не забуваймо про звичайні властивості ступенів:

2. . Тут згадуємо, що забули вивчити таблицю ступенів:

адже - це чи. Рішення перебуває автоматично: .

Ступінь з ірраціональним показником

Ну а тепер – найскладніше. Зараз ми розберемо ступінь з ірраціональним показником. Всі правила та властивості ступенів тут точно такі ж, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком - адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто, ірраціональні числа - це всі дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь образ, аналогію, або опис у більш звичних термінах. Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе; число нульової ступеня - це ніби число, помножене саме він раз, тобто його ще почали множати, отже, саме число ще навіть з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», саме число; ступінь з цілим негативним показником - це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Уявити ступінь з ірраціональним показником дуже складно (так само, як складно уявити 4-мірний простір). Це швидше чисто математичний об'єкт, який математики створили, щоб розширити поняття ступеня на весь простір чисел.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число. Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

Отже, що ми робимо, якщо бачимо ірраціональний показникступеня? Усіми силами намагаємося його позбутися!:)

Наприклад:

Виріши самостійно:

Рішення:

1. Почнемо з звичайного нам правила зведення ступеня в ступінь:

Тепер глянь на показник. Нічого він не нагадує тобі? Згадуємо формулу скороченого множення різниця квадратів:

В даному випадку,

Виходить що

Відповідь: .

2. Наводимо дроби у показниках ступенів до однакового виду: або обидві десяткові, або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад:

Відповідь:

3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості степенів.

СТУПЕНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ,

СТІПОВА ФУНКЦІЯ IV

§ 71. Ступені з нульовими та негативними показниками

У § 69 ми довели (див. теорему 2), що за т > п

(a =/= 0)

Цілком природне бажання поширити цю формулу і на випадок, коли т < п . Але тоді число т - п буде або негативним, або рівним нулю. A. ми досі говорили лише про ступеня з натуральними показниками. Таким чином, ми стикаємося з необхідністю ввести у розгляд ступеня дійсних чиселз нульовими та негативними показниками.

Визначення 1. Будь-яке число а , не дорівнює нулю, в нульовому ступені дорівнює одиниці, тобто при а =/= 0

а 0 = 1. (1)

Наприклад, (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2) 0 = 1. Число 0 нульового ступеня не має, тобто вираз 00 не визначено.

Визначення 2. Якщо а=/= 0 та п- натуральне число, то

а - n = 1 /a n (2)

тобто ступінь будь-якого числа, нерівного нулю, з цілим негативним показником дорівнює дробу, чисельник якого є одиниця, а знаменник - ступінь того ж числа а, але з показником, протилежним до показника даного ступеня.

Наприклад,

Прийнявши ці визначення, можна довести, що за a =/= 0, формула

вірна для будь-яких натуральних чисел т і n , а не тільки для т > п . Для доказу достатньо обмежитись розглядом двох випадків: т = п і т< .п , оскільки випадок m > n вже розглянуто у § 69.

Нехай т = п ; тоді . Значить, ліва частина рівності (3) дорівнює 1. Права ж частина при т = п звертається до

а m - n = а n - n = а 0 .

Але за визначенням а 0 = 1. Таким чином, права частина рівності (3) також дорівнює 1. Отже, при т = п формула (3) є вірною.

Тепер припустимо, що т< п . Розділивши чисельник та знаменник дробу на а m , отримаємо:

Так як п > т , то. Тому. Використовуючи визначення ступеня з негативним показником, можна записати .

Отже, за , що й потрібно було довести. Формула (3) доведена тепер для будь-яких натуральних чисел т і п .

Зауваження. Негативні показники дають змогу записувати дроби без знаменників. Наприклад,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1; взагалі, a / b = а b - 1

Однак не слід думати, що при такому записі дроби перетворюються на цілі числа. Наприклад, 3 - 1 є такий же дріб, як і 1 / 3 , 2 5 - 1 - такий же дріб, як і 2/5, і т.д.

Вправи

529. Обчислити:

530. Записати без знаменників дробу:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Дані десяткові дробизаписати у вигляді цілих виразів, використовуючи негативні показники:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5