Алгебраїчні та арифметичні корінь таблиці. Коріння натурального ступеня та їх властивості
Арифметичним коренем n-ого ступеня з не негативного числаназивається невід'ємне число, n-й ступіньякого дорівнює:
Ступінь кореня – це натуральне число, більше 1.
Приватні випадки:
1. Якщо показник кореня ціле непарне число(), то підкорене виразможе бути негативним.
У разі непарного показника рівнянняпри будь-якому дійсному значенні та цілому ЗАВЖДИ має єдиний корінь:
Для кореня непарного ступеня справедливо тотожність:
2. Якщо показник кореня ціле парне число (), то підкорене вираз може бути негативним.
У разі парного показника рівняннямає
при єдине коріння
і, якщо і
Для кореня парного ступеня справедливо тотожність:
Для кореня парного ступеня справедливі рівність:
Ступенева функція, її властивості та графік.
Ступенева функція та її властивості.
Ступінна функція з натуральним показником. Функція у = х n де n - натуральне число, називається статечною функцією з натуральним показником. При n = 1 отримуємо функцію у = х, її властивості:
Пряма пропорційність. Прямою пропорційністю називається функція, задана формулою у = kx n де число k називається коефіцієнтом пропорційності.
Перерахуємо властивості функції у = kx.
Область визначення функції – безліч усіх дійсних чисел.
y = kx - непарна функція (f(-х) = k(-х)=-kx = -k(х)).
3) При k > 0 функція зростає, а при k< 0 убывает на всей числовой прямой.
Графік (пряма) зображено малюнку II.1.
Рис. ІІ.1.
При n=2 отримуємо функцію y = х 2 її властивості:
Функція у-х 2 . Перерахуємо властивості функції у = х2.
у = х 2 – парна функція (f(- х) = (- x) 2 = x 2 = f (х)).
На проміжку функція зменшується.
На самому долі, якщо , то - х 1 > - х 2 > 0, тому
(-х 1) 2 > (- х 2) 2 , т. е. , але це означає зменшення функції.
Графіком функції y = х 2 є парабола. Цей графік зображено малюнку II.2.
Рис. ІІ.2.
При n = 3 отримуємо функцію у = х 3 її властивості:
Область визначення функції – вся числова пряма.
y = х 3 - непарна функція (f(-х) = (-x) 2 = - х3 = - f(x)).
3) Функція y = x 3 зростає на всій числовій прямій. Графік функції y = x 3 зображено малюнку. Він називається кубічною параболою.
Графік (кубічна парабола) зображено малюнку II.3.
Рис. ІІ.3.
Нехай n- довільне парне натуральне число, більше двох:
n = 4, 6, 8, .... У цьому випадку функція у = х n має ті ж властивості, що і функція у = х 2 . Графік такої функції нагадує параболу у = х 2 тільки гілки графіка при | n | >1 тим крутіше йдуть нагору, що більше n, а при цьому «тісніше притискаються» до осі х, що більше n.
Нехай n - довільне непарне число, більше трьох: n = = 5, 7, 9, .... У цьому випадку функція у = х n має ті ж властивості, що і функція у = х 3 . Графік такої функції нагадує кубічну параболу (тільки гілки графіка тим крутіше йдуть вгору, вниз, чим більше n. Зазначимо також, що на проміжку (0; 1) графік статечної функції у = х n тим повільніше віддаляється від осі х зі зростанням х, ніж більше n.
Ступінна функція з цілим негативним показником. Розглянемо функцію у = х - n, де n - натуральне число. При n = 1 отримуємо у = х - n або у = Властивості цієї функції:
Графік (гіперболу) зображено малюнку II.4.
Квадратний коріньз (корінь 2-го ступеня) це рішення рівняння виду. Незважаючи на те, що в першу чергу під і маються на увазі числа, у різних розглядах вони можуть бути математичними об'єктами різної природи, в тому числі такими, як … Вікіпедія
Корінь: У Вікисловарі є стаття «корінь» Корінь (в ботаніці)
Корінь багаточлена над полем k елемент, який після підстановки його замість x звертає рівняння тотожність. Властивості Якщо c є коренем багаточлена p(x … Вікіпедія
Перевірити інформацію. Необхідно перевірити точність фактів та достовірність відомостей, викладених у цій статті. На сторінці обговорення слід пояснити. В алгебрі корінь Брінга або ультрарадикал це аналітична функція, така для… … Вікіпедія
Цей термін має й інші значення, див. Корінь (значення). Корінь багаточлена (не рівного тотожному нулю) над полем k елемент, такий що виконуються дві наступні рівносильні умови: даний багаточлен ділиться на багаточлен;
Рня; мн. коріння, їй; м. 1. Підземна частина рослини, за допомогою якої вона зміцнюється в ґрунті та отримує із землі воду з розчиненими в ній мінеральними речовинами. Коріння дерев. Довгий до. К. життя (про женьшен). Згноїти врожай на корені (... Енциклопедичний словник
N й ступеня (n > 0) із числа a це таке число b, що bn = a. У полі дійсних чисел корінь може мати два рішення або жодного, якщо це корінь парного ступеняіз негативного числа. У полі комплексних чисел корінь n й ступеня ... Вікіпедія
Цей термін має й інші значення, див. Корінь (значення). Квадратний корінь (корінь 2-го ступеня) це рішення рівняння виду. Найчастіше під і маються на увазі числа, але в деяких додатках вони можуть бути й іншими.
Число ab називається ступенем з основою a та показником b. Зміст 1 Натуральний ступінь 2 Ціла ступінь 3 Раціональний ступінь… Вікіпедія
Книжки
- Набір таблиць. Алгебра. 9 клас. 12 таблиць + методика, . Таблиці надруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними рекомендаціямидля вчителя. Навчальний альбом із 12 аркушів. Функції та їх…
- Рендаку, Джессі Рассел. Ця книга буде виготовлена відповідно до Вашого замовлення за технологією Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Рендаку (яп. ???, Бук. «Послідовний дзвінок») - ...
Корінням ступеня nз дійсного числа a, де n- натуральне число, називається таке дійсне число x, n-а ступінь якого дорівнює a.
Корінь ступеня nз числа aпозначається символом. Відповідно до цього визначення.
Знаходження кореня n-ой ступеня з числа aназивається вилученням кореня. Число аназивається підкореним числом (виразом), n- Показником кореня. При непарному nіснує корінь n-ой міри для будь-якого дійсного числа a. При парному nіснує корінь n-ой ступеня лише для неотрицательного числа a. Щоб усунути двозначність кореня n-ой ступеня з числа a, вводиться поняття арифметичного кореня n-ой ступеня з числа a.
Поняття арифметичного кореня ступеня N
Якщо і n- натуральне число, більше 1 , то існує, і лише одне, невід'ємне число х, Що виконується рівність . Це число хназивається арифметичним коренем n-й ступеня з невід'ємного числа аі позначається. Число аназивається підкореним числом, n- Показником кореня.
Отже, відповідно до визначення запис , де , отже, по-перше, як і, по-друге, що , тобто. .
Поняття ступеня з раціональним показником
Ступінь із натуральним показником: нехай а- дійсне число, а n- натуральне число, більше одиниці, n-й ступенем числа аназивають твір nмножників, кожен з яких дорівнює а, тобто. . Число а- основа ступеня, n- показник ступеня. Ступінь з нульовим показником: вважають за визначенням, якщо , то . Нульовий ступінь числа 0 не має сенсу. Ступінь з негативним цілим показником: вважають за визначенням, якщо і n- натуральне число, то . Ступінь з дробовим показником: вважають за визначенням, якщо і n- натуральне число, m- ціле число, то .
Операції з корінням.
У всіх наведених нижче формулах символ означає арифметичний корінь(підкорене вираз позитивно).
1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює творукоріння з цих співмножників:
2. Корінь із відношення дорівнює відношенню коріння ділимого та дільника:
3. При зведенні кореня до ступеня достатньо звести в цей ступінь підкорене число:
4. Якщо збільшити ступінь кореня в n разів і одночасно звести в n-ий ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:
5. Якщо зменшити ступінь кореня в n разів і одночасно отримати корінь n-ого ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:
Розширення поняття ступеня. До цього часу ми розглядали ступеня лише з натуральним показником; але дії зі ступенями і корінням можуть призводити також до негативних, нульових та дробових показників. Всі ці показники ступенів потребують додаткового визначення.
Ступінь із негативним показником. Ступінь деякого числа з негативним (цілим) показником визначається як одиниця, поділена на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині негативного показника:
Тепер формула a m: a n = a m - n може бути використана не тільки при m, більшому, ніж n, але і при m меншому, ніж n.
П р і м е р. a 4: a 7 = a 4 - 7 = a-3.
Якщо ми хочемо, щоб формула a m: a n = a m - n була справедлива за m = n , нам необхідне визначення нульового ступеня.
Ступінь із нульовим показником. Ступінь будь-якого ненульового числа з нульовим показником дорівнює 1.
П р і м е ри. 2 0 = 1, (-5) 0 = 1, (-3/5) 0 = 1.
Ступінь із дробовим показником. Для того, щоб звести дійсне число а в ступінь m / n, потрібно витягти корінь n-ого ступеня з m-ого ступеня цього числа а:
Про висловлювання, які не мають сенсу. Є кілька таких виразів.
Випадок 1.
Де a ≠ 0 не існує.
Справді, якщо припустити, що x - деяке число, то відповідно до визначення операції поділу маємо: a = 0 x, тобто. a = 0, що суперечить умові: a ≠ 0
Випадок 2
Будь-яке число.
Справді, якщо припустити, що це вираз дорівнює деякому числу x, то згідно з визначенням операції поділу маємо: 0 = 0 · x. Але це рівність має місце у будь-якому числі x, що потрібно було довести.
Справді,
Розв'яжемо три основні випадки:
1) x = 0 – це значення не задовольняє даному рівнянню
2) за x > 0 отримуємо: x / x = 1, тобто. 1 = 1, звідки випливає, що x – будь-яке число; але з огляду на, що у разі x > 0 , відповіддю є x > 0 ;
3) при x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
у разі немає рішення. Отже, x > 0.
