Як витягувати з-під кореня число. Як винести множник з-під кореня? Приведення підкореного виразу до цілого виду
Легко. Розкласти підкорене вираз на множники та витягти коріння, яке витягується. Дивимося:
Нічого надприродного. Важливо правильно вибрати множники. Тут ми розклали 72 як 36.2. І все вийшло вдало. А могли розкласти інакше: 72 = 6 · 12. І що!? Ні з 6, ні з 12 корінь не виходить... Що робити?!
Нічого страшного. Або пошукати інші варіанти розкладання, або розкладати все до упору! Ось так:
Калькулятор квадратного кореняобчислює квадратний корінь будь-якого числа. Зверніть увагу, що калькулятор прийматиме квадратний корінь з позитивного числа, так як квадратний корінь негативного числадає уявний результат. Перш ніж взяти квадратний корінь, нам потрібно знати, що таке квадратний корінь і як знайти квадратний корінь.
Внесення множників під знак квадратного кореня
Результатом є число, коли воно множиться він, дає вихідне число. Наприклад, квадратний корінь з 16 дорівнює 4, тому що 4 рази 4. Зверніть увагу, що квадратний корінь також негативний, але для багатьох практичних цілей ми використовуємо лише позитивне значення. Числа, квадратні коріння яких є цілими числами, називаються ідеальними квадратами.
Як бачимо, все вийшло. Це, до речі, не найшвидший, але найнадійніший спосіб. Розкладати число на найменші множники, а потім збирати в купки однакові. Спосіб успішно застосовується і при перемноженні незручного коріння. Наприклад, треба вирахувати:
Для чисел, які є досконалими квадратами, тут наведено метод представлення квадратного кореня цілого числа як числа, помноженого інший квадратний корінь. Якщо ви не можете знайти коефіцієнт, який є ідеальним квадратом, квадратний корінь не може бути спрощений. Якщо ви хочете точного значення для квадратного кореня, використовуйте калькулятор із квадратним коренем.
- Напишіть номер та визначте, як знайти квадратний корінь.
- Розбити число на фактори, один із яких є ідеальним квадратом.
- Спростіть коефіцієнт, який є ідеальним квадратом.
- Перепишіть усе число, помножене на квадратний корінь із простого множника.
Перемножувати все - божевільне число вдасться! І як потім із нього корінь витягувати?! Знову на множники розкладати? Ні, зайва робота нам ні до чого. Відразу розкладаємо на множники і збираємо однакові за купками:
От і все. Звичайно, розкладати не обов'язково. Все визначається вашими особистими здібностями. Довели приклад до стану, коли вам все ясно,отже, можна вже рахувати. Головне – не помилятися. Чи не людина для математики, а математика для людини!)
Ви можете перевірити свої результати, використовуючи калькулятор експоненти, який підніме будь-які числа до вказаного показника. Цей калькулятор особливо зручний для десяткових знаків чи великих чисел, збільшених до вищих показників. У деяких застосуваннях квадратного кореня, особливо тих, що відносяться до таких наук, як хімія та фізика, результати є кращими у науковій нотації. Коротше кажучи, відповідь у науковій нотації повинна мати десяткове значення між першими двома ненульовими числами і буде представлена як десяткове число, помножений на 10, піднятий до експоненти.
На цій оптимістичній фразі завершимо урок. Підведемо підсумки.
Зверніть увагу. Усього одневластивість коріння , одна невелика формула множення коріння- і які різноманітні можливості для практичного застосування!
Формула множення коренів дозволяє:
-множити коріння,
-вносити число під корінь,
-порівнювати коріння,
-видобувати коріння з великих чисел,
-Виносити множник з-під кореня.
Результати, отримані за допомогою калькулятора квадратного кореня, можуть бути перетворені на наукову нотацію за допомогою. Немає проблем, давайте почнемо із самого початку. Що означає знайти корінь числа? Пошук квадратного кореня числа є протилежністю до квадратного числа. По суті, ми є числом, яке при квадраті дорівнює заданому числу. У цьому випадку ми хочемо знати, що може бути квадратом, щоб дати квадрат числа, це те саме, що використовувати показник 2 або щось друге.
Для числа 64 ми знаємо, що 8 разів 8 дорівнюватиме Отже, 8 квадратів, або вісім до другого ступеня, означають те саме і рівне. Отже, як це пов'язано з пошуком четвертого кореня із 256? Ну, це та ж концепція, але замість того, щоб дізнатися, яке число може помножити на себе двічі, щоб дати 256, ми хочемо дізнатися, яке число може помножити на себе чотири рази, щоб дати.
І всі ці можливості випливають з однієї невеликої властивості коренів . Потужна властивість, але... одна. Це - як табурет на одній ніжці...) Сидіти можна, але з неабиякими зусиллями.
У нашому арсеналі є ще дві властивості коріння. Одне – просте, друге – не дуже. Але розібратися з ними можна. Обидві ці властивості - у наступному уроці. Там же - прикладидля тренування. Там же описана одна тупа, але дуже популярна помилка в корінні, після якої люди б'ють себе по голові і страшно лаються.
Пошук четвертого кореня числа – це протилежність множенню числа 4 рази. Яке число можемо збільшити до 4 до 256? Таким чином, очевидно, що 2 не є четвертим коренем. Нехай стрибок нагору до числа. 4, помножений на себе 4 рази, дає нам номер, який ми шукаємо, 256! Таким чином, четвертий корінь із 256 дорівнює 4!
Приведення підкореного виразу до цілого виду
Щоразу, коли ви бачите радикальний символ у математиці, ви знаєте, що маєте справу з корінням. Ви отримуєте питання про тест, в якому говориться, що він знайде четвертий корінь з числа 1, тепер ви знаєте, що вам потрібно знайти число, яке множить на себе 4 рази, рівним 1. Кращий спосібзробити це - просто зіграти з номерами та перевіркою. Ми знаємо, що 4 множення самі по собі 4 рази дорівнюють 256, тому нехай «вибирає більше». Ми можемо спробувати 5 до 4-го ступеня.
Формули коріння. Властивості квадратного коріння. Продовження.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали вОсобливим розділом 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Продовжуємо розвагу? На попередніх уроках ми усвідомили, що таке квадратний корінь. І розібралися як множити коріння. Формулу множення коріння ми розібрали по гвинтиках. Дуже вона корисна у вирішенні прикладів! Залишилося ще дві. Переходимо до наступної формули. Це буде розподіл коріння.
Давайте спробуємо шість! 6 щоб четверта сила дорівнює 1. Давайте подивимося на інший приклад. Тепер ви хочете знайти четвертий корінь з 14, ми, очевидно, знаємо, що вони відповідають, мабуть, більше 6 через наш останній приклад. Ми можемо почати з легкого числа, Такий як 10, до четвертої сили, що дорівнює 10. Чому ми не намагаємося збільшити число на ще один? 11 до четвертого ступеня дорівнює 14.
Пошук четвертого кореня числа аналогічно до пошуку іншого коріння. Все, що вам потрібно зробити, це знайти число, яке множиться саме по собі чотири рази, щоб дорівнювати числу, в якому ви приймаєте четвертий корінь. Ви можете думати про це як протилежне взяття номера експоненту.
Формула така ж проста, як і множення. Ось вона:
Нагадую: тут а - невід'ємне число (більше або дорівнює нулю), b - позитивне (більше за нуль)! Інакше формула сенсу не має... Про ці тонкощі ми поговоримо нижче.
У формули розподілу коренівМожливості не такі великі, як у множення. Що можна робити прямо за формулою? Очевидно, ділити коріння.
У математичних позначеннях радикальні символи виглядають як позначки із прикріпленою горизонтальною лінією. Невелика кількість над частиною галочки, що називається індексом, повідомляє вам, який корінь потрібно знайти. Іноді, обчислюючи квадратне коріння з комплексних чисел за формулою Де Муавра, ми знаходимо завдання про точність аргументу, коли її синус і косинус невідомі відомими значеннями, і в цьому випадку добре знати алгебраїчні формули для цих квадратних коренів.
З теорії ми знаємо, що завжди є два квадратні корені комплексних чисел. Символ розумітиметься як арифметичний елемент. Коли їх негативно, отримаємо визначення числа. Спростимо рішення і опишемо допоміжну змінну, яка, звичайно, має бути позитивною, то маємо.
Як ділити коріння?
Елементарно. Ось вам приклад:
У цьому прикладі розподіл коріннядопомогло нам отримати хорошу відповідь. Бувають хитріші перетворення. Наприклад:
Ми бачимо, що дискримінант завжди позитивний у цих умовах, тому ми підраховуємо коріння. Вам не потрібно переконувати будь-кого в тому, що він вважає, що перший елемент завжди негативний, а другий завжди позитивний. З першого рівняння обчислюємо, що.
Однак у нас є гарний засібдля такої проблеми. Щоб зберегти його елегантніше. Потім ми нарешті отримуємо. Давайте візьмемо ще один приклад: для більшої практики та кращого розуміння методу. Ми бачимо, що ви не можете боятися «потворних» результатів, тому що вони «передбачені» шаблонами. Однак, іноді чекаючи "великих елементів", ми можемо бути приємно вражені.
Тут ми перетворили двійку на корінь квадратний із чотирьох. Виключно для того, щоб формулу розподілу кореніву справу вжити. Як бачите, нічого складного тут немає.
Розглянемо формулу розподілу кореніву зворотньому напрямку. Справа наліво. Ось так:
Які можливості розкриває нам такий запис? Нічого нового, думаєте? Помиляєтесь! Кумедно, але простий запис формули в іншому напрямку часто висвічує додаткові можливості!
У нашому випадку таке формулювання розподілу коренівчудово допомагає добувати коріння з дробів! Наприклад, нехай нам треба витягти квадратний корінь із дробу 25/144. Спокійно пишемо собі:
Ось і всі справи! Від роботи з дробом цілком ми переходимо до роботи окремо з чисельником, окремо зі знаменником. Що набагато простіше. А якщо дріб десятковий? Не питання! Якщо одразу корінь не можете вийняти - перекладайте десятковий дрібу звичайну, і – вперед! За формулою поділу коріння. Наприклад:
Буває ще крутіше, коли корінь із змішаного числа треба витягти! Як чинимо? Правильно! Перекладаємо змішане числов неправильний дріб- і за знайомою формулою розподілу коренів! Наприклад, ось так:
Що забули, як перекладати дроби? Терміново рухайте у тему "Дроби" та згадуйте. А то ні дріб перетворити, ні скоротити його... І навіщо вам тоді квадратне коріння?
Сподіваюсь що розподіл корінняпроблем не складає. Проста та невинна формула, просте вживання. Тепер у нашому арсеналі вже дві формули. Множення та розподіл коренів. Табурет на двох ніжках. Сидіти можна, але... некомфортно.
Займемося останньою властивістю квадратного коріння. Тут вже будуть деякі тонкощі та підводні камені. Цю властивість коротко називають корінь із квадрата.Або корінь у квадраті.Або корінь зі ступеня. Корінь у ступені. Всяко називають. Але суть одна. Це зведення у ступінь підкореного виразу чи самого кореня.
Чи можна корінь звести у квадрат?А чому ні? Помножити корінь сам на себе – та всі справи! І не лише у квадрат можна. У будь-який ступінь. А витягти корінь із квадрата? Та також не проблема! Ми ж уміємо корінь із твору витягувати. Так що можна витягти корінь не тільки з квадрата, але і з будь-якого ступеня.
Але саме ці дії викликають багато проблем... З цим треба розібратися ґрунтовно. Що ми зараз зробимо. Почнемо з невинної дії. З кореня у квадраті.
Нехай дано вираз. Ми можемо цей корінь уявити в більш простому вигляді, Застосувавши до нього теорему про вилучення кореня з твору (§ 97):
Так само
Таке перетворення називається винесенням множника за знак кореня.
В результаті застосування цього перетворення цей вираз спрощується і часто скорочуються необхідні обчислення. У цьому вся можна переконатися на таких прикладах.
Примір 1. Обчислити з точністю до 0,01 вираз
Обчислимо кожен із коренів з точністю до 0,01:
Нам довелося витягти квадратний корінь із трьох чисел, і до того ж ми можемо бути впевнені, що результат справді дасть величину висловлювання з точністю до 0,01 (для впевненості у цьому треба було б обчислити коріння з більшою точністю, ніж задана).
Спробуємо спростити цей вираз, виносячи за знак радикала ті множники, які можливо:
Отже, після перетворення нам доведеться витягти квадратний корінь лише з одного числа.
Обчисливши його з точністю до 0,01, знайдемо:
Тепер видно, що в першому обчисленні ми зробили помилку на одну соту, тобто отримали результат не із заданою точністю.
Приклад 2. Обчислити вираз
Підставивши в цей вираз отримаємо:
Нам доведеться витягти корінь із шестизначного числа.
Ми спростимо обчислення, якщо попередньо винесемо за знак кореня ті множники, які можливо. Будемо мати:
Підставивши тепер легко знайдемо:
У всіх попередніх прикладах підкорене вираз ми розкладали на множники, виділяючи такі, показник яких поділяється на два, і витягували з них корінь. Надалі треба придбати навичку відразу виносити потрібні множники за знак кореня, не вдаючись до попереднього розкладання на множники підкореного виразу.
Як видно з прикладів, для винесення множників з-під знака квадратного кореня достатньо показник кожного множника розділити на два і записати перед знаком кореня цей множник з показником, рівним отриманому приватному, а під знаком кореня той самий множник з показником, рівним отриманому залишку.
У попередньому прикладі.
2. Внесення множників під знак квадратного кореня.
Іноді буває корисно, навпаки, підвести під знак кореня множники, що стоять перед ним.
Нехай, наприклад, потрібно обчислити з точністю до 0,001 вираз Обчисливши з точністю до 0,001 і помноживши результат на 20, отримаємо:
Заздалегідь можемо сказати, що результат відповідає заданої точності, оскільки, помноживши наближене число 2,646 на 20, ми збільшили в 20 разів і помилку.
Щоб отримати більшу точність, візьмемо з точністю до 0,0001. Отримаємо:
Але ми не можемо і тепер бути впевнені, що досягли необхідної точності.
Проведемо обчислення іншим способом. Представимо цей вираз у такому вигляді:
Обчисливши з точністю до 0,001, отримаємо:
Такоза дійсна величина цього виразу, обчислена з точністю до 0,001.
Розглянуте перетворення називається внесенням множника на знак кореня.
Наведений приклад показує доцільність деяких випадках такого перетворення.
Щоб внести під знсис квадратного кореня множники, що стоять перед ним, достатньо звести ці множники в квадрат і підкорене вираз помножити на отриманий результат.
У перших двох прикладах спочатку множник, що стоїть перед знаком кореня, був підведений під знак кореня, потім зроблено множення.
У третьому прикладі обидві операції були виконані відразу.
3. Приведення підкореного виразу до цілого виду.
Якщо підкорене вираз дрібне, то часто буває доцільно привести його до цілого виду, або, як кажуть, звільнити підкорене вираз від знаменника.
Покажемо приклади, як це робиться.
Примір 1.
Щоб із знаменника підкореного виразу можна було витягти корінь, помножимо чисельник і знаменник цього виразу на а. Отримаємо.
