Правило дія з раціональними числами. Позитивні нуль негативні. цілі подрібнені цілі подрібнені
Фріцлер Тетяна Михайлівна
Місце роботи, посада:
МОУ "Звенигівський ліцей"
Республіка Марій Ел
Характеристики уроку (заняття)
Рівень освіти:
Основна загальна освіта
Цільова аудиторія:
Вчитель (викладач)
Клас(и):
Предмет(и):
Алгебра
Предмет(и):
Геометрія
Предмет(и):
Це було пов'язано з зростанням значення математики в дослідженнях природи. Розуміння числа інтуїції було змінено логічно започаткованою концепцією чисельної системи. Доказ знову став характерною рисою математики. Як логічне обґрунтування докази засновані на основних законах логіки висловлювань. Правильно організована шкільна математика може стати ідеальним способом розвитку логічних міркувань. Але перш за все, ідея доказу має бути зрозуміла та прийнята вчителями.
Тільки вони можуть вирішити у конкретній середовищі, які докази доступні нашим учням. Доказ не лише дає зрозумілі математичні факти та алгоритми. Розуміння своєю чергою стимулює мотивацію до інтересів математики. Наші школи підкреслюють здатність вирішувати проблеми та виклики у реальному світі. Доказ також є вирішенням проблеми або завдання в контексті іншого, математики. Найчастіше факт математики розуміється лише тоді, коли розуміється його доказ. Уникаючи логічних міркувань у школі, ми змушені обмежувати наше навчання найбіднішими засобами – ілюстраціями та прикладами реального світу.
Математика
Мета уроку:
1. Повторення теоретичного матеріалу, закріплення умінь учнів: виконувати дії з позитивними та негативними числами, порівнювати числа з різними знаками.
2. Розвиток логічного мислення, уваги.
3. Зацікавити учнів до предмета.
Тип уроку:
Урок закріплення знань
Наші математичні навчальні посібники стали ілюструватись світовими альбомами. Це область математики, яка займається числами та числами. Починаючи від натурального до дійсного числа. Це ім'я не використовується у наших програмах математичної освіти. Ми також не використовуємо алгебри та аналітичні імена, але ми використовуємо геометричні, статистичні та імовірнісні імена доменів. В основних документах замість арифметики написано про сферу діяльності: Числа та обчислення. Тому варто поглянути на еволюцію арифметики та її поточний стан справ.
Учнів у класі (аудиторії):
Короткий опис:
Урок - подорож до “Країни раціональних чисел”
Хід уроку :
I.Організаційний момент
Сьогодні не звичайний день, а урок – подорож. На цьому уроці ми згадаємо всі теоретичні знання та практичні вміння, які придбали щодо теми “Раціональні числа”. Ви повинні показати вміння виконувати дії з позитивними та негативними числами, з модулем числа, згадаємо координати точок на площині. Сьогодні ми відвідаємо кілька станцій.
Числа та його походження дуже багаті. Перші знання, пов'язані з обчисленням, з'явилися та еволюціонували разом із людською культурою. Ми маємо вичерпний огляд історії литовського гіганта. Знання чисел представлено у вигляді окремих фактів та методів розрахунку, що використовуються у практичній діяльності. В Стародавню Греціютакі практичні знання про кількість, пов'язану з обчислювальною технікою, називалися логістикою. Грецьке слово для логотипів означало розрахунок. Неточне знання числа, ми тепер говоримо про теоретичні знання, арифметику стародавньої Греції.
Який вид транспорту ми виберемо для нашої подорожі? Це ми дізнаємося, відповівши на кілька запитань. Кожен із вас повинен усно відповісти на поставлене мною запитання, а в зошит записати лише першу літеру відповіді. Із записаних літер ви маєте скласти слово, яке визначить вид транспорту.
Числа.
1) Числа, що записуються зі знаком мінус, називаються …
Наприклад, перше знання первинних чисел та його властивостей приписується арифметиці на той час. Британська енциклопедія каже. Арифметика зазвичай відноситься до елементарних аспектів теорії чисел, мистецтва мензурації та чисельних обчислень. Його сенс, однак, не був однаковим у математичному використанні.
Цікавий Шварцман та книга «Слова математики» запропонували опис цього терміна. Арифметика: від грецького арифмосу «число», від індоєвропейського кореня – «щоб відповідати одне одному». Пов'язане із запозиченням з грецької - це аристократ, імовірно людина, яка має кращі якості поєднуються. Арифметика повинна була колись бути зрозуміла як відповідні речі разом, чи впорядкування чи підрахунок їх. Арифметична серія - це та, у якій кожен член є фіксованим числом, крім суміжних доданків, так само, як підраховують числа арифметики рівномірно розподілені.
(Протрикутними)
2) Найгірша оцінка …
(Единиця)
3) Число без знака; відстань у поодиноких відрізках. Це дві характеристики...
(Модуль)
4) Як називаються числа, що відрізняються лише знаком …
(Противоположними)
5) Число, що показує положення точки на прямій, називають …
(Дооординатою цієї точки)
Арнаулд як критикаво Еуклідо сампротавімус каїп миглотус і ненатурал. У готелі є місця відпочинку та розваг: відкритий басейн, спа-ванни та фітнес-центр. Готель пропонує безкоштовний континентальний сніданок. Безкоштовна автостоянка для гостей. Додаткові послугиготелю: багатомовний персонал, безкоштовні газети у фойє та сейф для зберігання цінностей на стійці реєстрації.
При розподілі числа це розуміється як об'єкт, і підрозділ відповідає питанням: скільки з цього об'єкта перебуває у розподілі? Як завжди, інтерпретація фракції починається з прикладу розсилки піци. Якщо учень сприймає фракцію як такий поділ, він має концепція трансформації. Повторюючи та розмірковуючи над такою діяльністю, учень може сформувати розумовий процес, за допомогою якого він уявляє поділ будь-якого об'єкта на три рівні частини та комбінацію двох отриманих частин.
6) Якщо -48:(-8), то отримаємо …
(Шє)
Країна раціональних чисел величезна, станцій багато, отже, відстані з-поміж них невеликі. І тому зручніше мандрувати пішки. Почнемо свій шлях зі станції "Сигнальна".
ІІ.Станція "Сигнальна".
На цій станції ми виконаємо тест "Вірно, неправильно" із сигнальними картками.
Другий етап фрагментації щодо утруднений. В іншому випадку відповісти на це питання неможливо. Існує кілька способів формування ментального об'єкта із ментального процесу. На цьому семінарі ми будемо інтерпретувати цю концепцію фрагментації, яку він визначає як цифру, крім звичайної інтерпретації фрагментації, заснованої на різних прикладахреального світу. У той самий час, пояснюючи, як визначення відповідного терміна допомагає зрозуміти правила арифметичних операцій із дробами.
Обговорену ментальну структуру та дизайн розумового об'єкта можна порівняти з навчанням при спробі відповісти на два питання: як виконати розрахункову дію? І чому ця дія дає правильний результат? Іншими словами, арифметичне розуміння досягається шляхом відповіді на два питання.
1) -5 ─ від'ємне число (+)
А які числа називаються негативними? Наведіть приклад, як записуються позитивні числа. Нуль - це яке число: позитивне чи негативне?
2) Дана точка А(-5). Відстань від неї до початку відліку дорівнює -5 одиниць (-)
3) -7 та 7 ─ протилежні числа (+)
Дайте визначення протилежним числам. Наведіть приклади.
Знати, як? та зрозуміти чому? Питання у шкільних підручниках, чому? Зазвичай не формулюється і тим більше відповідь. Те саме можна сказати і про книги для вчителів, а також про підготовку вчителів в університеті. На мою думку, відповідь на запитання «Чому?» Надає арифметичні значення, а учень мотивований вивчати математику.
Більше і кваліфіковані математичне мислення написано в першій та останній книгах цитованої літератури. Вивчення знань учителів Ліпін Ма. Проблема розуміння сенсу арифметичних значень добре ілюструється книгою Липін Ма «Знання та викладання елементарної математики». У дослідженні використовуються записи для інтерпретації математичних понять та алгоритмів у класі. Результати міжнародного дослідження математичної грамотності між двома країнами дуже різні. Презентація дослідження роботи викладачів, представлена у книзі, не залишає сумнівів у прямих причинах невідповідності результатів учнів.
4) |-6 | = -6 (-)
Дайте визначення модуля.
5) а< 3. Верно ли, что число алише негативне? (-)
6) -15,79 < 7,29 (+)
Сформулюйте правило порівняння негативного та позитивного числа.
7) -12,35 > -2,35 (-)
Сформулюйте правило порівняння 2-х негативних чисел.
8) в> 5. Чи вірно, що число втільки позитивно (+)
Короткий оглядтретього розділу книги Ліпін Ма, в якій обговорюються результати, отримані шляхом моніторингу того, як вчителі інтерпретують той самий приклад дробових підрозділів. Тільки одному з них вдалося запропонувати ілюстрацію дії, що коригує.
Наприклад, американський вчитель, який зробив правильно, пояснив. Перетворення змішаного числа на нерегулярну фракцію. Щоб розділитись, вам потрібно помножити першу фракцію на дріб, а другу – на другу. Деякі американські вчителі було неможливо згадати два дробових алгоритму поділу.
9) Вираз | х| =7 вірно тільки за х=7 (-)
Що можна сказати про модулі протилежних чисел?
10) - 2/3 та 18,4 ─ раціональні числа (+)
Дайте визначення раціональних чисел.
Для подальшої подорожі необхідно виконати завдання та отримати квиток.
Прочитайте слова. Знайдіть "зайве слово". Решту слів замініть загальною назвою.
Усі китайські вчителі правильно вчинили правильно. Більшість їх дій виражається фразою: «Ділення числа еквівалентно великому числу зворотних». Декілька китайських вчителів навіть пояснили, чому множення від взаємної частки дало необхідний результат.
Наші п'ятнадцять людей знають правило збереження важливості розділу. Зокрема, кількість частинок і дільників від однієї й тієї числа не змінюється. Наприклад, при розподілі 10 на 2 частка збільшується на 10 і 2, наприклад, з 6 ми отримуємо 60 і ділимо перше число кожної пари від другого, отриманого на той же номер. Крім того, якщо ми помножимо частинку і дивізор із зворотного дільника, друге число результуючої пари стане так поділ від одиниці не змінює частину, 1 можна відкинути. Вважатимемо, що розподіл дорівнює множенню від зворотного дивізора.
Додавання
Віднімання
Розмноження (Роздроблення. Дії)
Роздроблення
Отже, в дорогу.
Ми наблизилися до станції “ Обчислювальна”
ІІІ.Станція "Обчислювальна"
Станція "Обчислювальна" велика. На цій станції кілька вулиць. Перша вулиця, на якій ми побуваємо, називається Теоретична . Нам необхідно повторити правила дії з раціональними числами.
Ми зробимо те саме для дробових поділів. Така інтерпретація допомагає учню зрозуміти сенс запропонованого алгоритму. Множення від зворотного є стандартним числовим алгоритмом. Китайські вчителі, крім цього стандартного алгоритму, запропонували три альтернативні алгоритми для цього конкретного прикладу.
Альтернативні розрахунки моделі. Перший варіант полягає в тому, щоб розділити за допомогою десяткових дробів. Понад третина китайських вчителів помітили, що завдання може бути виконане просто шляхом перетворення десяткових дробів. Щоправда, такий розрахунок не завжди може бути простішим. З іншого боку, використання десяткових дробів залежить від предмета програми своєму місці.
1. Сформулюйте правило додавання двох негативних чисел.
2. Правило складання чисел із різними знаками.
3. Сума двох протилежних чисел дорівнює …
4. Правило множення двох чисел із різними знаками.
5. Частка двох негативних чисел є числом.
6. Частка двох чисел з різними знаками є числом …
7. На нуль ділити …
Другий варіант – використання закону розподілу. Закон дистрибутивності дорівнює рівності. Цей закон можна використовувати для вираження суми змішаних дробів. Цей альтернативний розрахунок було запропоновано сімома китайськими вчителями. Третій варіант: не потрібно відтворювати. Три китайські вчителі запропонували вихідний розрахунок, заснований на формулі.
Після використання формули, наприклад, одержуємо. Слід зазначити, що ця альтернатива є прямим обчисленням лише в тому випадку, коли чисельник та знаменник містять дроби без залишку. Майже всі китайські вчителі вказали бодай один осмислений вчинок, який ілюструє правильну ситуацію. Їхні ситуації характеризувалися великою мінливістю і непередбачуваністю і спиралися на їхнє чудове знання предмета.
8. Скільки числа визначається положення точки на координатній площині. Як називаються ці цифри.
Для подальшої подорожі ми розіб'ємось на три підгрупи.
Першагрупа побуває на вулиці Будівельна , на якій вам екскурсовод запропонує набірне полотно та картки з 5 завдань, кожне завдання містить 4 варіанти відповідей, один з яких – вірний. В результаті виконання дій на набірному полотні ви побудуєте паркан з вірних відповідей (учні працюють у парах)
Ілюстрація математичних понять та процедур - звичайний дидактичний інструмент. Ситуації, що використовуються ілюстраціями китайських вчителів, різноманітніші і менш безпосередньо пов'язані з рутиною учнів. Безперечно, що зв'язок між змістом шкільної математики та позашкільним світом допомагає зрозуміти математику. Проте новий математичний контент, реальний світ не створює. Незважаючи на добре знання повсякденного життя студентів, незважаючи на рішучу відданість досвіду студентів, але, не знаючи того, що бажано проілюструвати, неможливо уявити концептуально правильні ілюстрації.
Результат на набірному полотні.
Другагрупа побуває на вулиці Художня . На заготовлених листочках із зображенням координатної площини ви за варіантами повинні виконати малюнок. Кожен будує по одній точці та передає по ланцюжку наступному.
Третягрупа побуває на вулиці Реставраційна . Тут пропонується завдання у двох варіантах. Але результат один. Тут ми маємо заповнити математичне лото.
Проблеми математичного навчання. На мою думку, найскладнішою проблемою є відсутність базового елементарного курсу математики у підготовці майбутніх вчителів математики та підвищення кваліфікації працюючих вчителів. Зміст цього семінару є ілюстрацією арифметики цього курсу. Інша проблема полягає у відсутності курсів в історії математичних ідей та філософії математики у підготовці майбутніх вчителів математики та підвищенні кваліфікації працюючих вчителів. Для учителів немає такої літератури.
Математична програма та підручники математики менш важливі в тому сенсі, що добрий учитель може обійтися без них. Ще одна серйозна проблема полягає у важливості іспитів на зрілість, підготовки до іспитів та оцінки вчителів на основі результатів навчання.
Варіант 1
1. -6-(-8-20)
2. |-18,9-11,1 | Картка лото
2. -20+(16-(-26))
3. -0,58 · 10
4. - 4/7 · 4,2
5. |-17,2+(-12,8) |
6. -8 · 2:(-4)
Результат :
Увага! Усі три групи зустрічаються через 6 хвилин на площі Домашнє завдання.
Але що таке? Одна людина з цієї групи заблукала і потрапила на вулицю Задач . (Один учень вирішує на дошці завдання)
Через 6 хвилин перевіряємо роботу груп, звертаємо увагу на результати оформлені на дошці.
Шлях усіх груп до площі Домашнє завдання проходить через вулицю Задач . Давайте подивимося. Чи зумів наш заблуканий вибратися з цієї вулиці. (Перевірюємо розв'язання задачі)
Завдання: На прибиранні вулиці працюють дві машини. Одна з них може прибрати вулицю за 40 хв, інша для виконання тієї ж роботи треба 75% цього часу. Прибирання обидві машини розпочали одночасно і працювали разом чверть години. Потім друга машина припинила роботу. Скільки потрібно часу першій машині, щоб закінчити роботу?
Незважаючи на те, що ми поспішаємо на площу Домашнє завдання нам доведеться затриматися на вулиці Задач . Вона така красива! Давайте все разом вирішимо завдання:
З села до міста виїхав велосипедист зі швидкістю 11,5 км/год. Через 2,4 години слідом за ним виїхав мотоцикліст зі швидкістю 46 км/год. Через скільки годин і на якій відстані від міста мотоцикліст наздожене велосипедиста, якщо від села до міста 40 км.
1) 11,5 · 2,4 = 27,6 (км) - проїде велосипедист за 2,4 години.
2) 4,6 – 11,5 = 34,5 (км/год) – швидкість зближення.
3) 27,6:34,5 = 0,8 (год) – зустрінуться.
4) 46 · 0,8 = 38,4 (км) – проїхав мотоцикліст.
5) 40 – 38,4 = 1,6 (км) – від міста.
Відповідь: за 0,8 години; на 16 км.
Шлях на площу Домашнє завдання відкритий. Хлопці, ви, мабуть, знаєте гру «Слова». Згадаймо її правила. Записуємо якесь слово. Наприклад, « грамотей», І з літер цього слова складаються нові слова (наприклад: том, тема, грім, рот тощо). Щось подібне можна вигадати і в математиці. У слові бачимо набір букв. А в математиці – набір чисел. Тут ми складали слова, а можна поставити умову, щоб у кожній рівності кожне число використовувалося лише один раз. Візьмемо кілька чисел, наприклад: -8; -5; -2; 0; 3; 5; 6; 11 і будемо з них складати рівності, наприклад: -5 - 3 = -8. Хто більше становитиме рівностей, той і виграє.
Отже, завдання на будинок: скласти якнайбільше рівностей із запропонованими мною числами.
IV.Привал.
На нашому шляху трапляється людина з минулого. Це Р. Декарт – французький математик, філософ, фізик (1596–1650). Він запропонував геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел- ввів у 1637 координатну пряму.
V.Станція "Історична".
Слухається повідомлення з історії негативних чисел.
VI.Станція «Загадкова»
1. Поставте замість знак дії:
5 * 2 / 5 = -2 (·) 6 / 7 * 1 = - 1 / 7 (-)
0,5 * (-1) = 0,5 (·) (-2) * (-3) = 2/3 (:)
14 * (-8) = 6 (+) 12 * (-7) = 19 (-)
2. Як допомогти мамі?
Мама не може потрапити до квартири, т.к. забула код (шифр) секретного замку, який стоїть у дверях (код складається із 4 цифр). Ви допоможете мамі (назвіть код), якщо швидко і правильно вирішите 4 завдання. У віконце ставте знайдене число і в коло номер, під яким воно знаходиться в кодованих відповідях. Це і буде код замку:
1) 27,3 - (-2,6) = а цифра
2) -3,3 - а + (-3,4) = цифра
3) -13 - в - (-11,2) = цифра
4) (а + в) – с = цифра
Кодирів. відповідь: - 41,5 -43,9 -9,3 3,8
36,6 3,4 29,9 34,8
Відповідь (код): 6281
VII.Станція «Кінцева»
Учень вирішує біля дошки приклад. Інші учні вирішують на місцях.
3 / 4 : 7/20+ (-1/2) ·2 4/7+ (-1 5/7): (-2/5) + 5/8: 7/16 - 15 1/14
Слово заховано під картки, що визначають відповідь на дію, що виконується.
VIII. Остаточні підсумки
У цій статті ми розберемо основні арифметичні дії з раціональними числами: складання, віднімання, множення і розподіл, дамо правила виконання цих процесів і розглянемо рішення прикладів.
Навігація на сторінці.
Додавання раціональних чисел
Якщо раціональні числа, що складаються, можна записати як кінцеві десяткові дроби, або як змішані числа, то можна виконати складання десяткових дробів і додавання змішаних чисел відповідно.
Додавання раціональних чисел з різними знаками
Для додавання раціональних чисел з різними знакамивикористовується правило складання чисел з різними знаками: з більшого модуля доданків треба відняти менший, і перед отриманим числом поставити знак того числа, модуль якого більший.
приклад.
Виконайте додавання раціональних чисел з різними знаками 7,2 та .
Рішення.
Нам треба скласти додатне числоз негативним. За правилом складання чисел з різними знаками нам спочатку потрібно знайти доданків: 
. Порівняння раціональних чисел 7,2 і дає , отже, залишається від 7,2 відібрати і перед отриманим числом поставити знак плюс. Замінивши десятковий дріб 7,2 змішаним числом, приходимо до віднімання змішаних чисел: 
. Перед отриманим числом немає сенсу ставити знак плюс, оскільки запис відповідає числу .
Відповідь:
.
Додавання негативних раціональних чиселпроводиться за правилом складання негативних чисел: складаються модулі доданків і перед отриманим числом ставиться знак мінус.
Наведемо приклад додавання негативних раціональних чисел.
приклад.
Складіть від'ємне число -4,0203 с негативним числом −12,193 .
Рішення.
Модулі чисел, що складаються, рівні 4,0203 і 12,193 відповідно. Складемо десяткові дроби стовпчиком: 
Залишилося перед отриманим числом поставити знак мінус, маємо −16,2133.
Відповідь:
(−4,0203)+(−12,193)=−16,2133 .
Віднімання раціональних чисел
Переходимо до розгляду наступної дії над раціональними числами – віднімання. Віднімання є дією, оберненою до складання. Тобто, віднімання – це знаходження невідомого доданку за сумою та відомий доданок. Це також означає, що з рівності c+b=a випливає, що a-b=с і a-c=b і навпаки, з рівностей a-b=с і a-c=b випливає, що c+b= a.
Віднімання з більшого позитивного раціонального числа меншого числа зводиться або до віднімання звичайних дробів, або, якщо це зручно, до віднімання десяткових дробів або віднімання змішаних чисел.
В інших випадках віднімання раціональних чисел замінюється додаванням: до зменшуваного додається число, протилежне віднімається. Тобто, a−b=a+(−b) .
Ця рівність доводиться виходячи з властивостей дій з раціональними числами. Вони дозволяють записати такий ланцюжок рівностей: (a+(−b))+b=a+((-b)+b)=a+0=a, звідки з сенсу віднімання слід, що сума виду a+(−b) є різницею чисел a і b .
приклад.
Виконайте віднімання з раціонального числа 2/7 раціонального числа.
Рішення.
Число, протилежне віднімається, є . Тоді 
. Так ми дійшли складання раціональних чисел з різними знаками, маємо .
Відповідь:
.
Розмноження раціональних чисел
Поняття числа розширюється від натуральних чисел до цілих, як від цілих чисел до раціональним. Це пояснює той факт, що дії з цілими числами мають всі властивості дій з натуральними числами. Отже, дії з раціональними числами повинні мати всі властивості дій з цілими числами. Однак для множення раціональних чисел характерна ще одна властивість – властивість множення взаємно зворотних чисел.
Із зазначеним принципом узгоджуються всі наведені нижче правила множення раціональних чисел.
Множення на нуль
Почнемо з правила множення раціонального числа на нуль: добуток будь-якого числа a на нуль є нуль Запишемо це твердження у буквеному вигляді: a·0=0для будь-якого раціонального числа a, а в силу переміщувальної властивості множення цю рівність можна переписати як 0·a=0 .
Наведемо приклади. Множення раціонального числа 5/12 на 0 дає 0 , добуток нуля та негативного раціонального числа також дорівнює нулю. Зокрема добуток нуля на нуль є нуль, тобто 0 0 = 0 .
Розмноження на одиницю
Тепер озвучимо правило множення раціонального числа на одиницю: множення будь-якого раціонального числа a на 1, в результаті дає число a . Тобто, a·1=aабо 1·a=aдля будь-якого раціонального a . Таким чином, одиниця є нейтральним числом за множенням.
Наприклад, множення раціонального числа 4,73 на 1 у результаті дає 4,73. Інший приклад: твір одно.
