Віднімання змішаного числа з натурального. Віднімання змішаних чисел
Віднімання змішаних чиселускладнюється, якщо дробова частина меншого, що зменшується, дробової частини віднімається.
Розглянемо правило віднімання змішаних чисел і відпрацюємо його на конкретних прикладах.
Щоб виконати віднімання змішаних чисел, треба:
1) Привести дробові частини до .
2) Якщо дробова частина зменшуваного менше дробової частини віднімається, потрібно перетворити її на неправильний дріб, зменшивши на одиницю цілу частину (для цього достатньо до чисельника зменшуваного додати знаменник).
3) Окремо виконати віднімання цілих, окремо - дробових частин.
4) Перевірити, чи є отриманий дріб.
приклади.
Виконати віднімання змішаних чисел:
Віднімання змішаних чисел починаємо з знаходження найменшого спільного знаменникадрібних частин. 12 на 9 не поділяється. 12∙2=24 на 9 не поділяється. 12∙3=36 на 9 поділяється. Отже, найменший загальний знаменник цих дробів дорівнює 36. Щоб знайти додатковий множник кожного дробу, треба новий знаменник розділити на старий.
Окремо віднімаємо цілі частини, окремо – дробові. Отримана в результаті дробова частина - правильний нескоротний дріб. Отже, це остаточна відповідь.
Щоб відняти змішані числа, шукаємо найменший спільний знаменник для дробових частин. 6 на 4 не поділяється. 6∙2=12 на 4 поділяється. Отже, 12 – найменший спільний знаменник.
Дробна частина меншого, що зменшується, дробової частини віднімається. Займаємо одиницю біля цілої частини. Оскільки знаменник дорівнює 12, одиницю репрезентуємо як 12/12, тобто до чисельника дробової частини зменшуваного додаємо знаменник.
Отримана в результаті дробова частина - правильний нескоротний дріб.
Якщо при відніманні змішаних чисел зменшуване не містить дробової частини, займаємо одиницю у цілій частині. Оскільки знаменник віднімається дорівнює 7, одиницю представляємо як 7/7.
Отримали правильний нескоротний дріб.
Віднімання змішаних чисел починаємо з пошуку найменшого спільного знаменника. Так як 18 ділиться на 9, то 18 найменший загальний знаменник.
Отриману дробову частину скорочуємо на 9.
Додавання та віднімання змішаних чисел виконується на основі властивостей цих дій.
Завдання 1 . На столі лежали плитки шоколаду. Скільки плиток шоколаду лежатиме на столі, якщо на нього покласти ще плитки (мал. 25)?
Рис. 25. Плитки шоколаду (складання змішаних чисел)
Рішення. Щоб розв'язати задачу, треба скласти числа та .
Тому що, а, то.
Пишуть коротше:
Отже, на столі лежатимуть плитки шоколаду.
Завдання 2. На тарілці лежали плитки шоколаду. Скільки залишиться плиток шоколаду на тарілці, якщо плитки з'їдять (мал. 26)?
Рис. 26. Плитки шоколаду (віднімання змішаних чисел)
Рішення. Щоб вирішити завдання, треба відняти .
Пишуть коротше:
При додаванні (і відніманні) чисел у змішаному записі цілі частини складають (віднімають) окремо, а дробові – окремо.
Іноді при складанні змішаних чисел у їхній дробовій частині виходить неправильний дріб. В цьому випадку з неї виділяють цілу частину і додають її до вже наявної цілої частини.
Наприклад: .
Якщо при відніманні змішаних чисел дробова частина меншого дробної частини віднімається, надходять так:
Зазвичай пишуть коротше:
.
Так само роблять і при відніманні дробу з натурального числа, і при відніманні змішаного числа з натурального числа.
Наприклад:
; 
.
З давніх часів людям доводилося як вважати предмети (навіщо були потрібні натуральні числа), а й вимірювати довжину, час, площа, вести розрахунки за куплені чи продані товари.
Не завжди результат виміру чи вартість товару вдавалося виразити натуральним числом. Доводилося враховувати частини, частки заходи. Так з'явилися дроби.
У російській мові слово "дроб" з'явилося у VIII столітті, воно походить від дієслова "дробити" - розбивати, ламати на частини. У перших підручниках математики (у XVII столітті) дроби і називалися – «ламані числа». В інших народів назва дробу також пов'язана з дієсловами "ламати", "розбивати", "розробляти".
Сучасне позначення дробів бере свій початок у Стародавній Індії; його стали використовувати і араби, а від них у XII-XIV століттях воно було запозичене європейцями. Спочатку записи дробів не використовувалася дробова характеристика; наприклад, числа , записувалися так: , .
Риса дробу стала використовуватися лише близько 300 років тому. Першим європейським вченим, який став використовувати і розповсюджувати сучасний запис дробів, був італійський купець і мандрівник, син міського писаря Фібоначчі (Леонардо Пізанський). У 1202 р. він запровадив слово «дроб». Назви «числитель» і «знаменник» запровадив у XIII столітті Максим Плінуд – грецький чернець, учений-математик.
Відеоурок «Складання та віднімання змішаних чисел» - наочний матеріал для освоєння п'ятикласниками вміння вирішувати приклади, в яких потрібні знання про складання та віднімання змішаних чисел. Протягом демонстрації відео учні знайомляться з правилами виконання обчислень, засвоюють матеріал, спостерігаючи за описом прикладів, які потребують застосовувати дані знання. Відео може використовуватися як самостійна частина уроку для пояснення нової теми, а також супроводжувати пояснення вчителя, забезпечуючи його наочність.
Завдяки використанню ілюстрацій та анімаційних ефектів, відеоурок зрозуміло пояснює тему уроку, забезпечуючи її глибоке розуміння. Використовуючи різні способи виділення тексту, забезпечується найкраще запам'ятовування важливих правил, виділяються особливості порядку обчислень, допомагаючи запам'ятати та освоїти матеріал. Озвучування відео дозволяє доповнити його важливими коментарями, повністю замінити вчителя в частині уроку, де потрібне пояснення нового матеріалу.
Відеоурок починається з подання теми уроку. Потім на ілюстрованому прикладі розкривається порядок виконання дій додавання та віднімання зі змішаними числами. Зазначається, що правила оперування змішаними числами засновані на властивостях додавання та віднімання. На екрані представляється три плитки шоколаду, кожна з яких складається з 5 частин і ще 2 шматочки, тобто, ґрунтуючись на знаннях про змішані числа, можна стверджувати, що на столі лежить 3+2/5 плитки шоколаду. На стіл докладається ще 1 плитка шоколаду та 1 шматочок, тобто 1+1/5 шоколадки. Задається питання, скільки шоколаду лежить на столі з урахуванням доповідного, тобто фактично необхідно скласти (3+2/5)+(1+1/5). Знаючи. Що кожне змішане число становить суму цілої та дробової частини, представляємо цю суму у вигляді 3+2/5+1+1/5. Знаючи, що замінивши місцями доданки, ми отримаємо однаковий результат, доданки перерозподіляються так, щоб отримати окремо суму цілих частин та суму дробових частин. Завдання зводиться до складання натуральних чисел і додавання дробів з однаковими знаменниками. В результаті їх складання отримуємо 3+1+2/5+1/5=4+3/5. Таким чином, завдання вирішене – ми отримали змішане число, яке демонструє, що на столі опинилися 4 цілих плитки шоколаду та ще 3 шматочки (3/5). Справедливість рішення можна відстежити за малюнком – на столі опинилися 4 цілі плитки та три шматочки. На малюнку демонструється короткий запис рішення (3+2/5)+(1+1/5)=4+3/5.
В описі рішення другого завдання демонструється, як виконується віднімання змішаних чисел. На малюнку показано, що на тарілці лежить 2 плитки шоколаду та ще 3 шматочки, тобто 2+3/5. Вказано, що з'їли одну цілу плитку шоколаду та два шматочки, тобто 1+2/5. Потрібно визначити, скільки шоколаду залишилося на тарілці. Практично потрібно відняти з 2+3/5 число 1+2/5. Згадавши, що кожне з цих чисел становить суму цілої та дробової частини, представляємо різницю у вигляді (2+3/5)-(1+2/5). Щоб виконати дії над числами, слід скористатися властивостями додавання та віднімання. Спочатку відкриваються дужки, у яких укладено друге змішане число 2+3/5-1-2/5. Потім перерозподіляємо числа так, щоб окремо знайти різницю цілих чисел і окремо - дробових чисел (2-1) + (3/5-2/5). Обчисливши значення дужках, знаходимо шукане число 1+1/5. Отже, на тарілці залишилися 1 плитка шоколаду та 1 шматочок. Також надається короткий запис рішення завдання (2+3/5)-(1+2/5)=1+1/5. Перевірити справедливість рішення також можна за малюнком – на ньому добре видно, що на тарілці залишилася 1 плитка та 1 шматочок шоколаду.
Далі видається загальне правиловиконання дій над змішаними числами. На екран виводиться правило, що для виконання дій зі змішаними числами (складання та віднімання), окремо виконуються дії над цілими та дробовими частинами. Також робиться зауваження, що якщо в діях бере участь неправильний дріб, його спочатку представляють у вигляді змішаного числа - виділяють цілу частину, яку потім додають до цілої частини числа. Нижче правил представлений приклад додавання змішаних чисел 3+7/9+2+4/9. При додаванні даних чисел виходить 5+11/9. Щоб привести цей дрібдо нормального вигляду, з її дробової частини виділяють цілу частину: 119 = 1 +2 / 9, тому в результаті отримуємо суму 5 +1 +2/9. Склавши числа, отримуємо результат виконаних дій 6+2/9.
Робиться ще одне важливе зауваження для операції віднімання, яке вказує, як чинити у разі, коли дробова частина віднімається більше дробової частини зменшуваного. Зазначається, що визначивши цю особливість за умови завдання, необхідно скористатися можливістю збільшити чисельник дробової частини, що зменшується за рахунок цілої частини. Для цього числа подаються у вигляді суми (6+3/7)-(2+5/7), а потім із цілої частини зменшуваного виділяється 1, тобто (5+1+3/7)-(2+5/7) ). Змішане число 1+3/7 подаємо у вигляді неправильного дробу 10/7. Після виконаних перетворень отримуємо різницю, яку легко вирішити, користуючись відомими правилами 5+10/7-(2+5/7)=3+5/7. Також пропонується освоїти короткий запис виконаного завдання (6+3/7)-(2+5/7)=5+10/7-(2+5/7)=3+5/7. Диктор докладно повторює, як виконувалися дії, на що зверталася увага, супроводжуючи пояснення анімаційними ефектами, щоб акцентувати увагу учнів на важливих деталях.
Також надається порядок дій для знаходження різниці натурального числа та дробу. На екрані формулюється правило, згідно з яким, для виконання обчислень спочатку зменшуваного виділяють дробову частину, представивши у вигляді дробу одиницю, тобто 4-5/8=(3+8/8)-5/8. Оскільки над такими числами учні вже вміють виконувати дії, є значення різниці 4-5/8=3+3/8. Правило виділено кольоровим шрифтом, наголошуючи на його важливості. Для засвоєння матеріалу демонструється ще один приклад 8-(3+5/6). З числа 8 витягується 1, яка перетворюється на дріб 6/6. Таким чином, отримуємо різницю змішаних чисел, рішення якої вже освоєно (7+6/6)-(3+5/6)=4+1/6.
Як результат заняття пропонується відповісти питанням, як складаються і віднімаються змішані числа.
Відеоурок «Складання та віднімання змішаних чисел» рекомендується використовувати для підвищення ефективності уроку математики. Також матеріал буде корисним вчителю, який викладає тему учням дистанційно. Матеріал може бути запропонований учням для самостійного опрацювання, якщо вони недостатньо добре засвоїли його на уроці або освоюють тему вдома.
« Додавання та віднімання змішаних чисел» .
Вдовина Олена Сергіївна: учитель математики
Цілі уроку: 1) Освітня – передбачає формування в учнів нових знань (понять) та способів дії:
навчити учнів додавання та віднімання змішаних чисел.
розширити кругозір учнів;
формування умінь виділити головне у новому матеріалі.
розвиток позитивного ставлення до знань.
Метод: пояснювально-ілюстративний.
Короткий план уроку:
1) Організаційний момент. (2 хв.)
2) Актуалізація знань. (8 хв.)
3) Вивчення нового матеріалу. (13 хв.)
4) Закріплення нового матеріалу. (20 хв.)
5) Підбиття підсумків уроку. (1 хв)
6) Домашнє завдання. (1 хв.)
Хід уроку.
I. Організаційний момент.
а) перевірка облікового складу
б) збирання зошитів з домашньою роботою
в) видача перевірених зошитів
г) запис у щоденники нового домашнього завдання
д) настрої учнів працювати:
е) оголошення теми уроку.
II.
Коротке повторення попереднього матеріалу.
Що таке змішане число?
.
Де знаходитися ціла та дробова частини змішаного числа?
- дробова частина числа.
3) Як скласти два дроби з однаковими знаменниками?
Відповідь: При складанні дробів з однаковими знаменниками чисельники складають, а знаменник залишають той самий.
Як із неправильного дробу виділити цілу частину?
розділити із залишком чисельник на знаменник;
неповне приватне буде цілою частиною;
залишок дає чисельник, а дільник – знаменник дрібної частини.
Завдання №
1: (усно)
; 
; ; ; ; ; ; 
; 
; .
а) Назвіть змішані числа, правильні дроби, неправильні дроби?
б) Виділіть цілу частину.
в) Перетворити на неправильний дріб.
III. Вивчення нового матеріалу.
З
Ставлю питання всьому класу.
Звертаю увагу на правильний запис дробів та знаків "+", "-", "=", а також змішаних дробів.
Адача №1. На столі лежало 
яблука. Скільки яблук лежатиме на столі, якщо на нього покласти ще 
яблука?
Щоб розв'язати задачу, треба скласти числа та .
діти записують усі в зошит
Хлопці! Як ви думаєте, як скласти два змішані числа.
2+ 
+1+ 
= 2+1++=3+
=3
Пишуть коротше:
значить, на столі лежатимуть 3 яблука.
Прочитаємо, а як це правильно записано у підручнику на стор.
Правило
: При додаванні чисел у змішаному записі цілі частини складають окремо, дробові частини – окремо.
Завдання №2.На столі лежало 
яблука. Скільки залишиться яблук на столі, якщо 
яблука з'їдять? Працюю фронтально
Питання ставлю всьому класу
Ч
Звернути
увага учнів
на знак "-" перед дужкою.
Щоб вирішити це завдання, треба відняти . Маємо:
2 + - (1+)= 2 + - 1- =1+= 1
Спробуйте сформулювати правило
Пишуть коротше:
П
А тепер перевіримо стор.
равило
: При відніманні чисел у змішаному записі цілі частини віднімають окремо, дробові частини – окремо.
Учні приклад записують разом зі мною
Іноді при складанні змішаних чисел у їхній дробовій частині виходить неправильний дріб. У цьому випадку як з неї виділяють цілу частину і додають її до вже наявної цілої частини:
Наприклад: 
+
= 5
= 5+ = 5+1+
=6+= 6.
Якщо при відніманні змішаних чисел дробова частина меншого дробної частини віднімається, надходять таким чином:
Н
Наприклад, учні розбирають
разом зі мною, записуючи його в зошит і ставлять питання, де не зрозуміло
апример: 
- 
= (6+
)- 2
= (5+1) - 2= (5+
) - 2=
5 - 2= 3.
Приклади розбираємо усі разом, якщо виникають питання у дітей – я відповідаю.
Так само роблять і при відніманні дробового числа, і при відніманні змішаного числа з натурального числа:
Наприклад: 4- 
= 3+ 
- = 3
8 - 3
= 7 + 
- 3
= 4
фізкультхвилинка.
-
вивчити правила стор. 239 – 240.
IV.
Вирішення завдань з нової теми.
№
До дошки піде ………..
Звертати увагу на правильний запис дробів та знаків «+», «-», «=», а також змішаних дробів.
1090. а) 5+ 
= 4+=6
=
б) 
+
=7+
=7
в) 
+
=6+
=6= 6+
=7
Під буквою д) піде вирішувати …….
Додаткові питання:
Як від змішаного числа перейти до
неправильного дробу?
Як відняти (скласти) дроби з однаковими знаменниками?
) 4-=
- =
д) 
- 7= - 
=
- =
е) 
- 
=
ж)8 - 
=
- =
з) 
+ 
=
=
Викликати до дошки …………. Допомагаю правильно скласти коротку умову; повторюю разом із Дашею як скласти змішані дроби; задаю допол. питання: як скласти дроби з однаковими знаменниками?
I коробці – кг.
II коробці - 
кг.
2++2+
= 4+
= 4 (кг)
Про 
твіт: у двох коробках 4 кг. цукерок.
№ 1089. Червона - 
м.
Біла – на 
>? м.
- = (3+
) –(2+
) = (3-2)+(-) = 1+= 1 (м)
Відповідь: Довжина білої стрічки 1 м.
Підбиття підсумків уроку.
Домашнє завдання.
Хлопці, задайте питання щодо домашнього завдання, де не зможете вирішити будинки.
1109. а) 3+
= 
б) 
- 3 = 
в) 
+ 
= 
г) 
- 
= 
д) 
+
= 
= 9 + 
= 
з) 7- = 
- = 
№
-Що таке периметр прямокутника?
Як записати формулу периметра?
1110 Довжина - 
м.
Ширина – на 
Периметр?
1) - = 
(м.) - ширина прямокутника
2) Р 
= 2 * + 2* = + + + = 
(м)
Відповідь: Р = м.
Література:
Математика: Навч. для 5 кл.загальноутвор.установ/ Н.Я. Віленкін, В.І. Жохов, А.С, Чесноков, З. І. Шварцбурд.- 6-е изд.-М.: Мнемозина, 1998.-384с.: ил.
Велика математична енциклопедія / Якушева Г.М. та ін - М.: Філол. о-во «Слово»: ОЛМА-ПРЕС, 2005.-639с.: іл.
Дидактичні матеріали з математики. -5/ А.С. Чесноков, К.І. Нешков. - 6-те видання, - М.: Просування, 2000. - 286 с.
