Як скласти дрібні числа. Додавання дробів: визначення, правила та приклади задач

Щоб скласти 2 дроби з однаковими знаменниками , необхідно скласти їх чисельники, а знаменникизалишити без змін.Складання дробів, приклади:

Загальна формула для складання звичайних дробів та віднімання дробів з однаковими знаменниками:

Зверніть увагу!Перевірте, чи не можна скоротити дріб, який ви отримали, записуючи відповідь.

Складання дробів із різними знаменниками.

Правила складання дробів з різними знаменниками:

• наводимо дроби до найменшого спільного знаменника (НОЗ). Для цього знаходимо найменше загальне кратне (НОК) знаменників;
• складаємо чисельники дробів, а знаменники залишаємо не міняючи;
• скорочуємо дріб, який отримали;
• якщо отримали неправильний дріб- Перетворюємо неправильний дріб у змішаний дріб.

Прикладидодавання дробів із різними знаменниками:

Додавання змішаних чисел (змішаних дробів).

Правила складання змішаних дробів:

• наводимо дробові частини цих чисел до найменшого спільному знаменнику(НОЗ);
• окремо складаємо цілі частини та окремо дробові частини, складаємо результати;
• якщо при додаванні дробових частин отримали неправильний дріб, виділяємо цілу частину з цієї дроби та додаємо її до отриманої цілої частини;
• скорочуємо отриманий дріб.

Прикладдодавання змішаного дробу:

Додавання десяткових дробів.

При додаванні десяткових дробів процес записують «стовпчиком» (як звичайне множення стовпчиком),так щоб однойменні розряди знаходилися один під одним без усунення. Коми обов'язкововирівнюємо чітко один під одним.

Правила складання десяткових дробів:

1. Якщо потрібно, вирівнюємо кількість знаків після коми. Для цього додаємо нулі донеобхідного дробу.

2. Записуємо дроби так, щоб коми знаходилися один під одним.

3. Складаємо дроби, не звертаючи уваги на кому.

4. Ставимо кому в сумі під комами, дробів, які складаємо.

Зверніть увагу!Коли у заданих десяткових дробів різна кількість знаків (цифр) після коми,то до дробу, у якого менше десяткових знаків приписуємо потрібну кількість нулів, для рівняння вдробах число знаків після коми.

Розберемося на прикладі. Знайти суму десяткових дробів:

0,678 + 13,7 =

Зрівнюємо число знаків після коми у десяткових дробах. Дописуємо 2 нулі праворуч до десятковоїдроби 13,7 .

0,678 + 13,700 =

Записуємо відповідь:

0,678 + 13,7 = 14,378

Якщо складання десяткових дробівви освоїли досить добре, то нулі, що бракують, можна дописуватив розумі.

Розглянемо дріб. Її величина дорівнює 2, оскільки . А що станеться, якщо чисельник та знаменник помножити на 2? . Очевидно, величина дробу не змінилася, так як у також 2. Можна помножити чисельник та знаменникна 3 і отримати, або на 27 і отримати або на 101 і отримати. У кожному з цих випадків величина дробу, яку ми отримуємо, розділивши чисельник на знаменник, дорівнює 2. Це означає, що змінилася.

Така сама закономірність спостерігається і у разі інших дробів. Якщо чисельник і знаменник дробу (рівний 2) розділити на 2 (результат), або на 3 (результат), або на 4 (результат) і так далі, то в кожному випадку величина дробу залишається незмінною і дорівнює 2.

Це правило поширюється також на дроби, які не рівні цілого числа.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на 2, ми отримаємо , тобто величина дробу не змінилася. І справді, якщо ви розділите пиріг на 3 частини та візьмете одну з них або розділите його на 6 частин та візьмете 2 частини, ви в обох випадках отримаєте однакову кількість пирога. Отже, числа та ідентичні. Сформулюємо загальне правило.

Чисельник і знаменник будь-якого дробу можна помножити або розділити на те саме число, і при цьому величина дробу не змінюється.

Це правило виявляється дуже корисним. Наприклад, воно дозволяє в ряді випадків, але не завжди уникнути операцій з великими числами.

Наприклад, ми можемо розділити чисельник і знаменник дробу на 63 і отримати дріб з яким набагато простіше робити розрахунки. Ще один приклад. Чисельник і знаменник дробу можемо поділити на 31 і отримати дріб або 5, оскільки 5:1 = 5.

У цьому прикладі ми вперше зустрілися з дробом, знаменник якого дорівнює 1. Такі дроби грають важливу рольпри обчисленнях. Слід пам'ятати, що будь-яке число можна розділити на 1 і його величина не зміниться. Тобто дорівнює 273; одно 509993 і так далі. Отже, ми можемо не розділяти числа на , оскільки кожне ціле число можна у вигляді дробу зі знаменником 1.

З такими дробами, знаменник яких дорівнює 1, можна робити ті самі арифметичні дії, Що з усіма іншими дробами: , .

Ви можете запитати, яке користь від того, що ми представимо ціле число у вигляді дробу, у якого під рисою стоятиме одиниця, адже з цілим числом працювати зручніше. Але річ у тому, що уявлення цілого числа у вигляді дробу дає нам змогу ефективніше виробляти різні діїколи ми маємо справу одночасно і з цілими, і з дробовими числами. Наприклад, щоб навчитися складати дроби з різними знаменниками. Припустимо, нам треба скласти і .

Ми знаємо, що складати можна лише ті дроби, знаменники яких рівні. Значить, нам треба навчитися приводити дроби до такого виду, коли їхні знаменники є рівними. У цьому випадку нам знову знадобиться те, що можна множити чисельник і знаменник дробу на те саме число без зміни його величини.

Спочатку помножимо чисельник і знаменник дробу на 5. Отримаємо , величина дробу не змінилася. Потім помножимо чисельник і знаменник дробу на 3. Отримаємо , знову величина дробу не змінилася. Отже, .

Нерідко перед людьми постає питання, як складати дроби. Адже не варто приховувати, що багато з того, що проходять у школі, ми проходили повз. А тут раптом дитині-школярі конче потрібна ваша допомога у вирішенні подібних завдань. Але не засмучуйтесь! За бажання з такими завданнями можна впоратися на раз-два!

Коли ви будете вчитися доданню дробових частин цілого, необхідно врахувати, що існують різні випадки та алгоритм дій у них різний.

Як знаємо, неціле число, тобто дробове, складається з однієї чи кількох частин одиниці, наприклад: ½, ¾, 0,5, 2 ½.

Прості дроби записуються як m/n, де коса характеристика означає розподіл. Число, яке ділять (m), називають чисельником, а число, яке ділять (n), — знаменником.В результаті розподілу виходить приватне.

Десяткові записуються, наприклад, так: 0,123 або 0,5. Насправді це особливий запис звичайних дробів, У яких числове значення, на яке ділять, дорівнює 10 будь-якої натуральної цілої міри.

До коми записується ціла частина, А після — ділене. Розглянемо конкретний приклад.

Необхідно перетворити 22/10 на десяткову. Записуємо подільне: у нашому випадку 22. Тепер нам потрібно визначити, де саме поставити кому.

Для цього вважаємо, скільки є нулів у числовому значенні, що ділить. У нас один нуль, тому відраховуємо один знак праворуч наліво і ставимо крапку з хвостом. У нас виходить 2,2.

Тепер, коли ми розібралися, чим різняться звичайні та десяткові дроби, можна перейти до складання.

Розберемося зі звичайними

Найпростіше навчитися доданню з однаковим дільником. Знайдемо суму лише тих значень, які ділять, дільник залишається колишнім.

Розглянемо конкретний приклад: складемо 1/3 та 2/3.

1/3 + 2/3 = (1 + 2)/3 = 3/3.

Але це не все. Як складати дроби з однаковими знаменниками, ми розібралися, але перед тим як записати відповідь, варто подивитися, чи не можна цю дробову частину «скоротити». Як це зробити?

Якщо ділене більше дільника, то віднімаємо з верхнього числового значення нижнє доти, доки воно не стане меншим. Кількість віднімань - це кількість цілих одиниць. У нашому випадку:

3 - 3 = 0, в результаті у відповідь записуємо 1.

Тепер спробуємо скласти два дроби з різними дільниками. Це трохи складніше, необхідно дотримуватися алгоритму дій.

Отже, щоб скласти дроби з різними знаменниками, потрібно привести дробові числові значення загального знаменника. Розберемо з прикладу.

Знаходимо найменше загальне кратне числових значень під межею. В даному випадку, 60. Після цього знаходимо додаткові множники для кожного з них: для цього достатньо розділити найменше кратне на кожний множник.

Які бувають дроби.

У нашому випадку додатковим множником до першого числа буде 60: 12 = 5, а до другого - 60: 10 = 6.

Тепер множимо і ділене, і дільник обох доданків на їх додаткові множники. Тепер, коли ми вийшли дроби з однаковими знаменниками, скористаємося вищеописаним алгоритмом.

5/60 + 18/60 = 23/60.

Після того, як ми навчилися складати дроби з різними знаменниками, перейдемо до найскладнішого. Готуйтеся перед нами змішані дроби. Змішаними називають ті числа, в яких є ціла і дробова частини.

Розібратися, як складати змішані числа, Досить просто: необхідно лише для початку скласти цілі, а потім за алгоритмом вище скласти 2 нецілі.

Разом подолаємо десяткові

Десяткові дроби зручно складати у стовпчик, як звичайні числапри цьому не треба звертати уваги на межу цілого і нецілого. Маючи в своєму розпорядженні числові значення в стовпчик, необхідно, щоб коми обох доданків знаходилися один під одним.

Якщо вони мають різну кількість знаків у нецілій частині, необхідно приписувати до тієї, яка має менше знаків, нулі, доки знаки після коми в обох не зрівняються.

Наприклад, спробуємо провести операцію додавання 22,1 та 0,31.

Є й інший спосіб: уявити десятковий дріб у вигляді звичайного. Як ми вже говорили, кількість знаків після коми є кількістю нулів у дільнику. Таким чином, отримуємо:

221/10 + 31/100 = 2241/100 = 22 41/100.

Як бачите, все зовсім не так страшно, як здається на перший погляд.

Одними з найскладніших для розуміння школяра є різні діїіз простими дробами. Це пов'язано з тим, що дітям ще складно мислити абстрактно, а дроби по суті для них саме так і виглядають. А тому, викладаючи матеріал, вчителі часто вдаються до аналогій і пояснюють віднімання та додавання дробів буквально на пальцях. Хоча без правил та визначень не обходиться жоден урок шкільної математики.

Базові поняття

Перш ніж приступити до будь-яких дій із дробами, бажано засвоїти кілька базових визначень та правил. Спочатку важливо розуміти, що таке дріб. Під нею мається на увазі число, що становить одну або кілька часток одиниці. Наприклад, якщо буханець розрізати на 8 частин і 3 скибочки з них викласти в тарілку, то 3/8 і буде дробом. Причому в такому написанні це буде простим дробом, де число над межею - це чисельник, а під нею - знаменник. А от якщо її записати як 0,375, то це вже буде десятковий дріб.

До того ж прості дроби поділяють на правильні, неправильні та змішані. До перших відносять усі ті, чисельник яких менший за знаменник. Якщо навпаки, знаменник менший за чисельник, це вже буде неправильний дріб. Якщо перед правильною стоїть ціле число, говорять про змішані числа. Таким чином, дріб 1/2 – правильний, а 7/2 – ні. А якщо її записати в такому вигляді: 3 1/2, то вона стане змішаною.

Щоб легше було розібратися в тому, що таке складання дробів, і з легкістю його виконувати, важливо запам'ятати Його суть в наступному. Якщо чисельник і знаменник помножити на те саме число, то дріб не зміниться. Саме ця властивість дозволяє робити найпростіші події зі звичайними та іншими дробами. По факту це означає, що 1/15 і 3/45, по суті, те саме число.

Додавання дробів з однаковими знаменниками

Виконання цієї дії зазвичай не викликає великих труднощів. Додавання дробів у цьому випадку дуже сильно нагадує подібну дію з цілими числами. Знаменник залишається без змін, а чисельники просто складаються між собою. Наприклад, якщо потрібно скласти дроби 2/7 та 3/7, то розв'язання шкільного завдання у зошиті буде ось таким:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

До того ж таке додавання дробів можна пояснити на простому прикладі. Взяти звичайне яблуко та розрізати, наприклад, на 8 частин. Викласти окремо спочатку 3 частини, а потім додати до них ще 2. І в результаті чашці лежатиме 5/8 цілого яблука. Саму арифметичну задачу записують, як показано нижче:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Але найчастіше зустрічаються завдання складніше, де потрібно скласти між собою, наприклад, 5/9 та 3/5. Ось тут і виникають перші складнощі у діях із дробами. Адже складання таких чисел вимагатиме додаткових знань. Тепер повною мірою потрібно згадати про їх основну властивість. Щоб скласти дроби з прикладу, спочатку їх потрібно привести до одного спільного знаменника. Для цього необхідно просто перемножити 9 і 5 між собою, чисельник "5" помножити на 5, а "3", відповідно, на 9. Таким чином, складаються такі дроби: 25/45 і 27/45. Тепер тільки залишилося скласти чисельники та отримати відповідь 52/45. На аркуші паперу приклад виглядатиме так:

5/9 + 3/5 = (5 х 5)/(9 х 5) + (3 х 9)/(5 х 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 17/45.

Але додавання дробів з такими знаменниками не завжди вимагає простого перемноження чисел під межею. Спочатку шукають найменший спільний знаменник. Наприклад, як дробів 2/3 і 5/6. Для них це буде число 6. Але не завжди відповідь очевидна. І тут варто згадати правило пошуку найменшого загального кратного (скорочено НОК) двох чисел.

Під ним розуміють найменший загальний множникдвох цілих чисел. Щоб його знайти, розкладають кожне на звичайні множники. Тепер виписують ті з них, які входять хоча б один раз на кожну кількість. Перемножують їх між собою і отримують цей знаменник. Насправді все виглядає трохи простіше.

Наприклад, потрібно скласти дроби 4/15 та 1/6. Так, 15 виходить перемноженням простих цифр 3 та 5, а шість - два і три. Отже, НОК для них буде 5 х 3 х 2 = 30. Тепер, розділивши 30 на знаменник першого дробу, отримаємо множник для його чисельника - 2. А для другого дробу це буде число 5. Таким чином, залишається скласти звичайні дроби 8/30 та 5/30 та отримати відповідь 13/30. Все дуже просто. У зошиті слід це завдання записати так:

4/15 + 1/6 = (4 х 2)/(15 х 2) + (1 х 5)/(6 х 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

НОК (15, 6) = 30.

Додавання змішаних чисел

Тепер, знаючи всі основні прийоми у складанні простих дробів, можна спробувати свої сили на складніших прикладах. І це будуть змішані числа, під якими розуміють дріб такого виду: 2 2/3 . Тут перед правильним дробом виписано цілу частину. І багато хто плутається при здійсненні дій з такими числами. Насправді, тут працюють ті самі правила.

Щоб скласти між собою змішані числа, окремо складають цілі частини та правильні дроби. А потім уже підсумовують ці 2 результати. На практиці все набагато простіше, варто лише трохи вправлятися. Наприклад, задачі потрібно скласти такі змішані числа: 1 1 / 3 і 4 2 / 5 . Щоб це зробити, спочатку складаються 1 і 4 - вийде 5. Потім підсумовують 1/3 та 2/5, використовуючи прийоми приведення до найменшого спільного знаменника. Рішенням буде 11/15. А остаточна відповідь – це 5 11/15 . У шкільному зошиті це буде набагато коротшим:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Додавання десяткових дробів

Крім звичайних дробів, є й десяткові. Вони, до речі, набагато частіше зустрічаються у житті. Наприклад, ціна в магазині виглядає часто так: 20,3 рубля. Це і є той самий дріб. Звичайно, такі складати набагато простіше, ніж прості. В принципі, потрібно просто скласти 2 звичайних числа, головне, у потрібному місці поставити кому. Ось тут і виникають складнощі.

Наприклад потрібно скласти такі 2,5 та 0,56. Щоб зробити це правильно, потрібно до першої кінці дописати нуль, і все буде в порядку.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Важливо знати, що будь-який десятковий дріб може бути перетворений на простий, але не будь-який простий дрібможна записати як десяткову. Так, з нашого прикладу 2,5 = 2 1/2 та 0,56 = 14/25. А ось такий дріб, як 1/6, буде приблизно дорівнює 0,16667. Така сама ситуація буде з іншими подібними числами – 2/7, 1/9 тощо.

Висновок

Багато школярів, не розуміючи практичної сторони дій з дробами, відносяться до цієї теми абияк. Однак у ці базові знання дозволять клацати як горішки складні прикладиз логарифмами та знаходженням похідних. А тому варто один раз добре розібратися в діях із дробами, щоб потім не кусати від досади лікті. Адже навряд чи педагог у старших класах повертатиметься до цієї вже пройденої теми. Будь-який старшокласник повинен уміти виконувати подібні вправи.