Що таке дріб у математиці?

Дроби- Число, складене з однієї або декількох рівних часток одиниці.

Це саме визначення дробу. А більш докладно відповідь на запитання «що таке дріб» (а також що таке «одиниця» у визначенні дробу) представлена ​​нижче на конкретних прикладах, а також у навчальному відео.

Коло розділили на дві рівні частини, і одну взяли. Маємо дріб ½. Чисельник дробу (1) показує, скільки рівних частин кола взяли (взяли одну частину). Знаменник дробу показує, на скільки рівних частин розділили коло (ділили його на дві рівні частини).

Коло розділили на три рівні частини. Взяли одну частину (тобто 1/3). Взяли дві частини (тобто 2/3).

Торт розрізали на 8 рівних шматків. Кожен шматок – це 1/8 торта. Батьку в тарілку поклали два шматки (тобто 2/8 торта), а бабусі - три шматки (тобто 3/8 торта).

Зовсім не обов'язково «одиниця» у визначенні дробу на практиці має бути представлена ​​кругом або тортом (як зазвичай її представляють у прикладах із підручників) або чимось монолітним фізично.

Бабуся купила 18 мотків пряжі. Собі вона залишила 13 мотків (тобто 13/18 покупки), а 5 мотків (тобто 5/18 покупки) віддала внучці. В результаті у онуки виявилося 5/13 того, що залишила собі бабуся. У цьому прикладі спочатку за одиницю було прийнято всю покупку (18/18 = 1), та був - те, що залишила собі бабуся (13/13 = 1).

Що таке змішане число?

Змішане число- Число, до складу якого входить ціле число і дріб. Наприклад, 3½, 97/8. Читається це так: «три цілих, одна друга», «дев'ять цілих, сім восьмих» або «три цілих і одна друга», «дев'ять цілих та сім восьмих». Іноді слово «цілих» пропускають і кажуть так: «три та одна друга», «дев'ять і сім восьмих». Число 3½ можна уявити, наприклад, як три цілих торта (обов'язково однакових) і половину від четвертого такого ж торта. Наочно відповідь на запитання «що таке змішане число» представлено в навчальному відео.

Правильні та неправильні дроби

Чисельник може бути меншим за знаменник, більшим за знаменник або дорівнює йому. Залежно від цього розрізняють дроби «правильні» та «неправильні».

Правильний дріб- дріб, у якого чисельник менший за знаменник. Наприклад, ½, 5/6, 9/10, 11/125, 144/145.

Неправильний дріб- дріб, у якого чисельник більший за знаменник або дорівнює йому. Наприклад, 3/2, 6/5, 10/9, 125/125, 145/144.

Як уявити у своїй уяві правильний дріб - описано в прикладах вище. А неправильний дріб можна так (див. приклади нижче).

На святкування дня народження купили два однакові торти. Їх обидва порізали на однакове числошматків (на 8 шматків порізали перший торт і стільки ж шматків порізали другий торт, всього вийшло 8 + 8 = 16 однакових шматків). Але гарячі страви виявилися настільки калорійними, що перший торт був з'їдений не весь (5 шматків було з'їдено, а 3 шматки залишилися на блюді), а другий торт (8 шматків) взагалі залишився недоторканим. Всього було з'їдено 5/8 одного торта, або 5/16 всього десерту. (5/8 та 5/16 - правильні дроби). А що лишилося? Залишився один цілий торт (нарізаний на 8 шматків, тобто 1 = 8/8) та ще 3/8 такого ж торта. Тобто. залишилося 11/8 торта (одинадцять восьмих, це неправильний дріб, т.к. чисельник більший за знаменник).

Звернення не правильного дробуу змішане число

Щоб звернути неправильний дріб у змішане число, потрібно чисельник дробу поділити на знаменник та знайти залишок; приватне покаже число цілих одиниць, а залишок - число часток одиниці.

Потрібно звернути неправильний дріб 25/4 у змішане число.

1) Ділити 25 на 4. Цілих виходить 6.

2) Помножити 6 (цілих) на 4 (знаменник), результат дорівнює 24.

3) Відняти 24 з 25 - і виходить залишок 1.

В результаті отримано змішане число 61/4 (шість цілих та одна четверта).

Потрібно звернути неправильний дріб 106/14 у змішане число.

Послідовність дій така.

1) Ділити 106 на 14. Цілих виходить 7.

2) Помножити 7 (цілих) на 14 (знаменник), результат дорівнює 98.

3) 106 - 98 = 8.

В результаті отримано змішане число 78/14 (сім цілих та вісім чотирнадцятих).

Відповідь на запитання " З якого дробу можна виділити цілу частину?» наступний. У правильному дробі чисельник менший за знаменник, отже, результат розподілу чисельника на знаменник менший за одиницю. Тому із правильного дробу виділити цілу частину не можна. Цілу частину можна виділити з неправильного дробу, у процесі її звернення до змішаного числа. Ця процедура розглянута в прикладах вище, а також наочно показана в навчальному відео.

Перетворення змішаного числа в неправильний дріб

Щоб звернути змішане число в неправильний дріб, потрібно:

Знаменник помножити на цілу частину;

До отриманого твору додати чисельник, зробити цю суму чисельником шуканого дробу, а знаменник залишити колишній.

Нижче змішані числа з попередніх прикладів (61/4 та 78/14) знову перетворені на неправильні дроби:

Потрібне змішане число 61/4 звернути до неправильного дробу.

6 (цілих) * 4 (знаменник) = 24,

24 + 1 (числитель) = 25 (буде чисельником неправильного дробу),

Неправильний дріб: 25/4.

Потрібно змішати число 78/14 звернути в неправильний дріб.

7 (цілих) * 14 (знаменник) = 98,

98 + 8 (числитель) = 106 (буде чисельником неправильного дробу),

Неправильний дріб: 106/14.

Інші приклади.

63/4 = (6*4 + 3)/4 = (24+3)/4 = 27/4

53/8 = (5*8 + 3)/8 = (40+3) / 8 = 43/8

2514/88 = (25*88 + 14)/88 = (2200 + 14) / 88 = 2214/88

Основна властивість дробу

При одночасному збільшенні чи зменшенні чисельника та знаменника в однакове число разів дріб не зміниться.

Уявити це можна так. Розрізали торт на чотири рівні частини і одну взяли собі. Тобто. взяли ¼ торта. Але кожен шматок можна розрізати, наприклад, навпіл (а весь торт при цьому був би розрізаний не на 4, а на 8 рівних частин). Наша частка залишилася б колишньою (1/4), але складалася б вона з двох шматків меншою вдвічі величини (тобто 2/8). Або торт можна було б розрізати не так на 4 і не на 8, а на 12 рівних частин. Взяли б ми тоді собі 3 шматки (тобто 3/12). Але і 2/8, і 3/12 складає ту ж частину ¼ торта. Не більше, не менше.

Як і навіщо скорочувати дроби

Скороченням дробу називається заміна його інший, що дорівнює їй дробом з меншими членами, шляхом розподілу чисельника і знаменника на одне й те саме число.

Таким чином, скорочення дробу засноване на основному її властивості.

Навіщо скорочувати дроби? Взяту частину торта з попереднього прикладу (3/12 або 2/8) легше уявити у своїй уяві, якщо ці дроби скоротити. У дробі 3/12 і чисельник і знаменник діляться без залишку на 3, результат - ¼. У дробі 2/8 і чисельник і знаменник діляться без залишку на 2, результат - ¼. Уявити ¼ торта набагато легше, ніж уявити 2/8, 3/12 або 6/24 торта.

Інші приклади скорочення дробів:

18/56 = (2*9) / (2*28) = 9/28

27/33 = (3*9) / (3*11) = 9/11

30/250 = (3*10) / (25*10) = 3/25

Іноді ставлять питання « Чи можна скорочувати дроби при їх складанні та відніманні?». Можна і треба скорочувати ці дроби, тільки в жодному разі не «друга з одним», тобто. не чисельник одного дробу зі знаменником іншого. Скорочувати потрібно кожен дріб окремо, але потрібно при цьому пам'ятати і про те, що дроби для їх складання або віднімання повинні бути приведені до одного спільному знаменнику(і бажано – саме до найменшого спільного знаменника). А ось при множенні дробів скорочувати можна чисельник дробу зі знаменником як цього дробу, так і зі знаменником іншого дробу. Оскільки розподіл дробів замінюється операцією множення, то вище можна поширити і операцію розподілу дробів. Рекомендується завантажитинаведені приклади з дробами, де були виконані такі перетворення.

Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх числа, а знаменник залишити колишній.

Наприклад,

3/5 + 1/5 = 4/5 (склали чисельники 3 + 1 = 4, а знаменник (5) залишили колишній).

Щоб виконати віднімання дробів з однаковими знаменниками, потрібно відняти чисельник віднімається з чисельника зменшуваного, а знаменник дробу залишити колишній.

Наприклад,

6/15 – 4/15 = 2/15 (числитель 6 – 4 = 2, знаменник (15) колишній).

Приведення дробів до найменшого спільного знаменника

Щоб виконати додавання або віднімання дробів, що мають різні знаменники, потрібно попередньо привести їх до спільного знаменника. Цим знаменником має стати спільне кратне знаменників даних дробів.

Наприклад, дроби 2/5 і 3/15 можна було б призвести до спільного знаменника 15, 30, 45, 75, 150 або ще більшого, але обсяг обчислювальної роботи буде набагато меншим, якщо приводити дроби саме до найменшого загального знаменника (у даному випадку - 15).

Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, потрібно:

Знайти найменше загальне кратне всіх знаменників;

Для кожного знаменника визначити додатковий множник (розділивши новий знаменник на колишній);

Чисельник та знаменник кожного дробу помножити на відповідний додатковий множник його знаменника.

Дроби 2/5 і 3/15 .

Знаменник другого дробу: 15 = 3 * 5

Найменше загальне кратне знаменників: 3 * 5 = 15 (новий знаменник дробів)

Додатковий множник для знаменника першого дробу: 15/5 = 3

Додатковий множник для знаменника другого дробу: 15/15 = 1

Новий чисельник першого дробу: 3*2 = 6

Новий чисельник другого дробу: 3 (у цьому випадку перший дріб наводиться до знаменника другого дробу).

Отже, відповідь: 6/15 та 3/15.

Дроби 2/5 і 4/7 .

Знаменник першого дробу: 5 = 1 * 5

Знаменник другого дробу: 7 = 1 * 7

Найменше загальне кратне знаменників: 5 * 7 = 35 (новий знаменник дробів)

Додатковий множник для знаменника першого дробу: 35/5 = 7

Додатковий множник для знаменника другого дробу: 35/7 = 5

Новий чисельник першого дробу: 7*2 = 14

Новий чисельник другого дробу: 5 * 4 = 20.

Отже, відповідь: 14/35 та 20/35.

Дроби 2/15 і 7/12 .

Знаменник першого дробу: 15 = 3 * 5

Знаменник другого дробу: 12 = 3 * 4

Найменше загальне кратне знаменників: 3*4*5 = 60 (новий знаменник дробів)

Додатковий множник для знаменника першого дробу: 60/15 = 4

Додатковий множник для знаменника другого дробу: 60/12 = 5

Новий чисельник першого дробу: 4*2 = 8

Новий чисельник другого дробу: 5 * 7 = 35.

Отже, відповідь: 8/60 та 35/60.

Дроби 2/21, 5/24 і 3/16 .

Знаменник першого дробу: 21 = 3 * 7

Знаменник другого дробу: 24 = 2 * 12 = 2 * 2 * 6 = 2 * 2 * 2 * 3

Знаменник третього дробу: 16 = 2 * 8 = 2 * 2 * 4 = 2 * 2 * 2 * 2

Найменше загальне кратне знаменників: 2*2*2*2*3*7= 336 (новий знаменник дробів)

Додатковий множник для знаменника першого дробу: 336/21 = 16

Додатковий множник для знаменника другого дробу: 336/24 = 14

Додатковий множник для знаменника третього дробу: 336/16 = 21

Новий чисельник першого дробу: 2*16 = 32

Новий чисельник другого дробу: 5*14 = 70

Новий чисельник третього дробу: 3*21 = 63

Отже, відповідь: 32/336, 70/336 та 63/336.

Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками (тобто складання та віднімання дробів, що мають різні знаменники)

Таким чином,

2/21 + 5/24 + 3/16 = 32/336 + 70/336 + 63/336 = (32 + 70 + 63)/336 = 165/336

Додавання дробів з різними знаменниками(тобто складання дробів, що мають різні знаменники)

Щоб скласти дроби з різними знаменниками, потрібно заздалегідь привести їх до найменшого спільного знаменника, скласти їх чисельники та підписати спільний знаменник.

Наприклад, потрібно скласти дроби 2/21, 5/24 та 3/16.

Приведення їх до найменшого загального знаменника докладно описано у прикладі №4.

Таким чином,

2/21 + 5/24 + 3/16 = 32/336 + 70/336 + 63/336 = (32 + 70 + 63)/336 = 165/336.

Віднімання дробів із різними знаменниками(тобто віднімання дробів, що мають різні знаменники)

Щоб відняти дроби з різними знаменниками, потрібно попередньо привести їх до найменшого загального знаменника, відняти чисельник віднімається з чисельника зменшуваного і підписати загальний знаменник.

5/24 - 2/21 = 70/336 - 32/336 = 38/336.

Залишати відповідь у такому вигляді математично «некультурно». Дроби потрібно скоротити: 38/336 = (2 * 19) / (2 * 168) = 19 / 168. Однак, скорочувати дріб довелося через те, що знаменник 336 був найменшим загальним знаменником трьох дробів 2/21 + 5/24 + 3/16, розглянутих у попередньому прикладі, але не є найменшим загальним знаменником дробів двох дробів 5/24 та 2 /21 (а є загальним знаменником).

А вчинити спочатку слід було так:

24 = 2*12 = 2*2*6 = 2*2*2*3

НОК(24,21) = 2*2*2*3*7 = 168 (найменший загальний знаменник дробів 5/24 та 2/21)

168/24*5 = 7*5 = 35 (числитель першого дробу)

168/21*2 = 8*2 = 16 (числитель другого дробу)

5/24 - 2/21 = 35/168 - 16/168 = 19/168.

Отримано ту саму відповідь, але швидше і оперуючи меншими числами.

Отже, відповідь: 5/24 – 2/21 = 19/168.

Порівняння дробів

Щоб порівняти дроби, що мають однакові знаменники, потрібно порівняти чисельники цих дробів.

Наприклад,

Щоб порівняти дроби, що мають різні знаменники, потрібно привести їх до спільного знаменника, а потім порівняти нові чисельники дробів. Краще приводити дроби до найменшого спільного знаменника, тому набагато скорочується обсяг обчислювальної роботи.

Потрібно порівняти дроби 2/21 та 3/16.

НОК(21, 16) = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 7 = 336

63>32, отже дріб 63/336 більший за дроби 32/336, і 3/16> 2/21, а 2/21< 3/16.

Складання та віднімання змішаних чисел

Іноді питання ставлять так: «Як складати змішані дроби?», «Як віднімати змішані дроби?». Це не коректно. Є дробові числа, які і називають просто «дрібницями» (наприклад, 5/7 або 8/49), а є змішані числа, що складаються з цілої та дробової частини (наприклад, 18/9, 12513/14). Немає такого поняття «змішаний дріб». Питання має звучати так: « Як складати змішані числа?» або « Як віднімати змішані числа?».

Послідовно потрібно скласти (відняти) цілі та дробові частини. При необхідності дробові частини потрібно привести до спільного знаменника.

Бувають випадки, коли дробова частина віднімається більше дробової частини зменшуваного. У разі потрібно взяти одну одиницю з цілої частини зменшуваного, роздробити їх у ті частки, у яких виражена дробова частина, і додати до дробової частини зменшуваного.

51/8 + 3/8 = 54/8 = 51/2

102/21 + 5/24 + 63/16 = 1032/336 + 70/336 +663/336 = 10 + 6 + (32 + 70 + 63)/336 = 16 + 165/336 = 16165/336.

53/16 - 12/21 = 5 - 1 + 3/16 - 2/21 = 4 + 63/336 — 32/336 = 4 + (63 — 32)/336 = 4 + 31/336 = 431/336

72/21 - 33/16 = 7 - 3 + 2/21 - 3/16 = 4 + 32/336 — 63/336 = 3 + 1 + 32/336 - 63/336 = 3 + 336/336 + 32/336 - 63/336 = 3 + (336 + 32 — 63)/336 = 3 + 305/336 = 3305/336

Оскільки питання « Як складати дроби з цілим числомХтось може трактувати помилково, відповідь на це питання тут розглядається докладно. Якщо мається на увазі додавання дробу до цілого числа (наприклад, до двох потрібно додати дві третини, тобто 2 + 2/3), то відповідь буде змішаним числом, ціла частина якого дорівнює цілому числу - доданку (в цьому прикладі це число «2»), а дробова частина дорівнює дробу (у цьому прикладі це 2/3). Тобто. 2+2/3 = 22/3. Інший приклад: 15+7/24 = 157/24. Якщо ж у цьому питанні хтось під фразою «дроб з цілим числом» розуміє змішане число – це некоректно. Тоді питання слід ставити як «складання змішаних чисел», «як складати змішані числа».

Розмноження цілого числа на дріб

Щоб помножити ціле число на дріб, Треба помножити ціле число на чисельник цього дробу і цей твір зробити чисельником, а знаменником підписати знаменник даного дробу.

Аналогічно, щоб помножити дріб на ціле число, Треба помножити чисельник дробу на ціле число і цей твір зробити чисельником, а знаменником підписати знаменник даного дробу.

3* 5/8 = (3*5) / 8 = 15/8 = 17/8

Розмноження дробів

При множенні дробів немає жодної різниці в тому, чи однакові їх знаменники або вони різні. Тому питання « як множити дроби з однаковими знаменниками», « як множити дроби з різними знаменниками» та « як множити дроби з різними знаменниками та чисельниками» Особливого сенсу немає. Відповіді на них ті ж, що й на відомі, найпоширеніші питання. як множити дроби», « як помножити дріб на дріб».

Правило множення дробівнаступне.

Щоб помножити дріб на дріб, Потрібно помножити чисельник на чисельник (це буде чисельник твору), а знаменник - на знаменник (це буде знаменник твору).

2/3 * 5/6 = (2*5) / (3*6) = 10/18

Дроби 10/18 потрібно ще скоротити: 10/18 = (2 * 5) / (2 * 9) = 5 / 9.

Але можна було вчинити інакше (що краще):

2/3 * 5/6 = (2*5) / (3*6) = (2*5) / (3*2*3) = 5 / (3*3) = 5/9

Якщо один або кілька співмножників мають знак мінус - знак твору визначають так само, як і при множенні цілих чисел з різними знаками.

Розмноження змішаного числа на ціле число

Щоб помножити змішане число на ціле, потрібно заздалегідь звернути змішане число в неправильний дріб і потім перемножити за правилом множення дробу на ціле число.

21/3 * 4 = 7/3 * 4 = (7*4) / 3 = 28/3 = 91/3

6 * 58/9 = 6 * (5*9 + 8)/9 = 6* (45+8)/9 = 6* 53/9 = 2*3*53/(3*3) = 2*53/3 = 106/3 = 351/3

Як відомо, до багатьох цілих чисел відносяться натуральні числа, їм протилежні (тобто зі знаком «мінус») та нуль. Тому множення змішаного числа на натуральне число- це окремий випадок, який так само поширюється правило множення змішаного числа на ціле число. Іноді це питання формулюють некоректно: як множити змішані дроби на натуральне число. Немає поняття "змішані дроби", є змішані числа.

Розмноження змішаних чисел

Іноді питання ставлять так: «Як множити змішані дроби?». Це некоректно, як вже було сказано вище, коли розбиралися подібні некоректні питання про складання та множення змішаних дробів. Питання має звучати так: «Як множити змішані числа?».

Щоб перемножити змішані числа, потрібно попередньо звернути їх у неправильні дроби і потім перемножити за правилом множення дробу на дріб.

27/8 * 35/11 = [(2*8 + 7)/8] * [(3*11 + 5)/11] = [(16+7)/8] * [(33+5)/11] = 23/8 * 38/11 = * [(2*19)/11] = 23/4 * 19/11 = (23*19) / (4*11) = 437 / 44 = 941/44

Тут у процесі рішення було виконано скорочення дробів (зменшення чисельника та знаменника в однакове число разів, у даному випадку – у два рази). Якби цього не було зроблено в процесі рішення, а були б просто перемножені чисельники та знаменники, результат був би наступним:

27/8 * 35/11 = 23/8 * 38/11 = (23*38) / (8*11) = 874/88

Як видно, такий дріб треба скорочувати:

27/8 * 35/11 = 23/8 * 38/11 = 874/88 = (437*2)/(44*2) = 437/44

Цим прикладом проілюстровано, що, не виробляючи скорочення дробів у процесі рішення, доводиться оперувати великими числами, а дріб, отриманий в результаті, так само доводиться скорочувати. Краще проводити скорочення у процесі рішення.

Питання "Як множити дроби з цілим числом" некоректний. Якщо під "дрібницями з цілим числом" мається на увазі змішане число - читайте про множення змішаних чисел. Якщо ж мається на увазі збільшення дробу на ціле число - читайте про те, як помножити ціле число на дріб.

Зворотні дроби

Розуміння того, що таке зворотний дріб, дуже важливо задля освоєння процедури розподілу дробів. Взаємно зворотні дробиназиваються два дроби, які мають тим властивістю, що чисельник першої є знаменником другої, а знаменник першої є чисельником другої.

Наприклад, взаємно зворотнимиє дроби 4/5 та 5/4, 11/148 та 148/11.

Для всіх чисел із чисельником «1» оберненими будуть цілі числа. Щоб написати число, зворотне цілому, треба поставити це число знаменником, а чисельником дорівнюватиме 1.

Наприклад, взаємно зворотними будуть числа 7 та 1/7, 25 та 1/25, 1/48 та 48, 1/3 та 3.

Взаємно зворотні числа мають наступний властивістю: твір взаємно зворотних чиселодно одиниці.

Розподіл цілого числа на дріб

Щоб розділити число на дріб, треба це ціле число помножити на знаменник даного дробу і, зробивши цей твір чисельником, розділити його на чисельник даного дробу.

Це правило можна записати так:

a: (b/c) = (ac)/b

5/ (2/3) = (5*3)/2 = 15/2 = 71/2

8/ (6/21) = (8*21) / 6 = (2*4*21) / (2*3) = (4*21) / 3 = (4*3*7) / 3 = 4*7 = 28

Розподіл дробів

При розподілі дробів немає значення, однакові чи різні їх знаменники. Тому питання « Як ділити дроби з різними знаменниками та чисельниками», « Як ділити дроби з різними знаменниками», « Як ділити дроби з однаковими знаменниками» Особливого сенсу немає. Відповіді на них ті ж, що і на питання про те, як ділити дроби.

Щоб розділити дріб на дріб, потрібно чисельник першого дробу помножити на знаменник другого (це буде чисельник нового дробу), а знаменник першого дробу помножити на чисельник другого (це знаменник нового дробу).

Можна сказати інакше:

Щоб розділити дріб на дріб, потрібно перший дріб (ділене) помножити на дріб, зворотний другий (дільнику) (тобто перший дріб потрібно помножити на «перевернутий» другий дріб).

(4/5):(3/11) = (4/5)*(11/3) = (4*11)/(5*3) = 44/15 = 214/15

(6/7):(2/9) = (4/5)*(11/3) = (4*11)/(5*3) = 44/15 = 214/15

Про те, як працювати з буквено-числовими виразами (ділити їх, віднімати, множити, складати), йдеться у шкільному курсі алгебри. Це питання не торкається цієї статті, присвяченої звичайним і десятковим дробам. Однак, дається застереження: іноді школярі помилково «ділять» sin(x) на cos(x), скорочують однакові літери «s» та однакові літери «х» у чисельнику та знаменнику та отримують «результат» in/co. Це абсолютно неписьменно, т.к. sin(x) і cos(x) - тригонометричні функції, а не добуток змінних "s", "i", "n", "x" і "c", "o", "s", "x".

Якщо ділене або дільники мають знак «мінус» — приватний знак визначають так само, як і при розподілі цілих чисел з різними знаками.

Розподіл змішаних чисел

Іноді питання ставлять так: «Як ділити змішані дроби?». Вище вже було сказано про те, що поняття «змішаний дріб» немає. Питання має звучати так: «Як ділити змішані числа?».

Щоб розділити одне змішане число на інше, потрібно попередньо звернути їх до неправильних дробів і потім розділити за правилом поділу дробів на дріб.

27/8: 35/11 = [(2*8 + 7)/8] : [(3*11 + 5)/11] = [(16+7)/8] : [(33+5)/11] = 23/8: 38/11 =

=(23/8) * (11/38) = (23*11) / (8*38) = 253 / 304.

Десяткові дроби

Розрізняють дроби звичайні та дроби десяткові. Звичайні дробипредставлені у вигляді чисельника та знаменника, розділених горизонтальною межею. Коли немає можливості поставити горизонтальну межу, користуються косою межею (наприклад, 7/11, 6/125, 39/1572). Знаменниками ж д есятинних дробівє лише числа, зображувані одиницею з наступними нулями (одним чи кількома), наприклад 7/10, 6/100, 39/1000. Ті ж 7/10, 6/100 та 39/1000 можна подати у вигляді десяткового дробу без знаменника: 0,7; 0,06; 0,039 (читається: сім десятих, шість сотих, тридцять дев'ять тисячних).

Порівняння десяткових дробів

З двох десяткових дробів той більший, у якого число цілих більше; при рівності цілих той дріб більший, у якого число десятих більше; при рівності цілих і десятих той дріб більший, у якого число сотих більше, і т.д.

Наприклад,

3,125 < 5,016

0,078 > 0,069

0,412 > 0,300257

0,7825 < 0,784

Дії над десятковими дробами

Щоб збільшитидесятковий дріб у 10 разівпотрібно перенести кому в ній на один знак вправо; щоб збільшити її в 100 разів, потрібно перенести кому на два знаки праворуч; щоб збільшити її в 1000 разів – на три знаки вправо, і т.д. Якщо при цьому не вистачає знаків у числа, то приписують до нього праворуч.

Щоб зменшитидесятковий дріб у 10 разівпотрібно перенести кому в ній на один знак вліво; щоб зменшити її в 100 разів, потрібно перенести кому на два знаки вліво; щоб зменшити її у 1000 разів – на три знаки вліво, і т.д. Якщо при цьому не вистачає знаків у числа, то приписують до нього зліва нулі.

Наприклад,

2,05*1000 = 2050

2,05/100 = 0,0205

При складання десяткових дробівтреба дотримуватися наступного порядку: дроби підписувати одна під одною так, щоб у всіх доданків однакові розряди знаходилися один під одним і всі коми стояли в тому самому вертикальному стовпці; праворуч від десяткових знаків деяких доданків приписують, хоча б подумки, таку кількість нулів, щоб усі доданки після коми мали однакове число цифр. Потім виконують додавання по розрядах, починаючи з правої сторони, і в отриманій сумі ставлять кому в тому самому вертикальному стовпці, в якому вона знаходиться в даних доданків.

Наприклад, потрібно скласти 1,905+0,3+7,8814

При віднімання десяткових дробівтреба дотримуватися наступного порядку: підписують віднімається під зменшуваним так, щоб однакові розряди знаходилися один під одним і всі коми стояли в тому самому вертикальному стовпці; праворуч приписують, хоча б подумки, в зменшуваному або віднімається стільки нулів, щоб вони мали однакову кількість десяткових знаків, потім виконують віднімання по розрядах, починаючи з правого боку, і в отриманій різниці ставлять кому в тому самому вертикальному стовпці, в якому вона знаходиться в зменшуваному і віднімається.

Наприклад, потрібно виконати віднімання 145,501 - 3,040652 - 17,89

Щоб перемножитидва десяткові дроби, достатньо, не звертаючи уваги на коми, перемножити їх як цілі числа та у творі відокремити коми з правого боку стільки десяткових знаків, скільки їх було у множині та множнику разом.

Наприклад,

127,0206*4,03 = 511,893018

7,31*2,4 = 17,544

Розподіл десяткового дробу на ціле числовиконується так само, як і розподіл цілих чисел, причому залишки, що виходять, звертають в десяткові частки, все більше і дрібніші; розподіл продовжують до того часу, поки залишку не вийде нуль чи залишок стане зневажливо малим (з його розряду).

Щоб розділити число на десятковий дріб, потрібно відкинути в дільнику кому, а потім збільшити ділене у стільки разів, у скільки збільшився дільник при відкиданні в ньому комою, після чого виконати поділ за правилом поділу на ціле число.

Наприклад, 5/3,05 = 500/305 ≈ 1,639344

Навіщо в школі вивчають дроби

Тема «дробі» досить важко дається майже всім школярам, ​​виняток становлять лише 3 - 5 чоловік із класу, найбільш кмітливі та найбільш підготовлені до навчання у школі. Але й інші можуть (і повинні) її освоїти шляхом систематичних занять, вирішення достатньої кількості прикладів, сприяють виробленню техніки обчислень, і завдань, сприяють глибшому розумінню цієї теми. Адже дроби оточують нас у житті всюди: хіба є людина, яка не знає про існування півлітрової (0,5 л або ½ л) банки або про те, що нормальна температура її тіла має становити 36,6 градусів? І, насправді, кожен знає, що вміст двох півлітрових банок можна злити в одну літрову, а вміст двох 1,5 л пляшок - у трилітровий сулій, просто в цей момент ніхто не замислюється про те, що він зараз складає дроби. . А хіба хтось не вміє порівнювати десяткові дроби? Чи є хтось, який не знає, що температура тіла 36,9 - вище, ніж 36,6? Але це лише найпростіші приклади з повсякденного життя будь-якої людини. Людям технічних і природничо-наукових спеціальностей доводиться у своїй професійній діяльності вирішувати складніші завдання, пов'язані з дробовими числами. Розуміння теми «дроби» стане в нагоді і за подальшому вивченні математики у середній школі, тобто. алгебри та геометрії.

Приклади розв'язання задач на дії з дробами

Першого дня шибки склали 35 вікон, що становить 1/8 всіх вікон збудованого будинку. Скільки всього вікон у будинку?

За умови завдання сказано, що засклені 35 вікон становлять 1/8 всіх вікон збудованого будинку. Отже, лише вікон у 8 разів більше, тобто.

35 * 8 = 280 вікон.

Магазин за місяць продав 2730 кг цукру, що становить 3/7 всього запасу цукру, що був у магазині. Яким був первинний запас цукру в магазині?

Весь наявний запас - це 7/7.

1/7 запасу складає 2730/3 = 910 кг.

Весь наявний запас становив 910 * 7 = 6370 кг.

У цьому уроці Ви навчитеся переводити неправильний дріб у змішане число за допомогою виділення цілої частини, а також навпаки отримувати зі змішаного числа неправильний дріб.

Для початку згадаємо, що таке змішане число та неправильний дріб.

Змішане число - це особлива форма запису числа, що містить цілу та дробову частини.

Неправильний дріб – це дріб, чисельник якого більший або дорівнює знаменнику.

Розглянемо завдання:

Поділимо 8 цукерок на трьох хлопців. Скільки дістанеться кожному?

Рішення:

Щоб дізнатися, скільки цукерок отримає кожна дитина, треба

Але у відповіді не прийнято записувати неправильний дріб. Її попередньо замінюють або рівним їй натуральним числом(Коли чисельник ділиться націло на знаменник), або проводять так зване виділення цілої частини з неправильного дробу (коли чисельник не ділиться націло на знаменник).

Виділення цілої частини з неправильного дробу – заміна дробу рівним їй змішаним числом.

Щоб із неправильного дробу виділити цілу частину, потрібно чисельник розділити на знаменник із залишком. При цьому неповне приватне буде цілою частиною, Залишок - чисельником, а дільник - знаменником.

Повернемося до завдання.

Отже, 8 розділимо на 3 із залишком, отримаємо в неповному приватному 2 та у залишку 2.

§2. Подання змішаного числа у вигляді неправильного дробу

Давайте виконаємо наступне завдання:

Поділимо 49 на 13, отримуємо в неповному приватному 3 (це буде цілою частиною) та у залишку 10 (це запишемо в чисельник дробової частини).

Для виконання різних дійзі змішаними числами виявляється корисним навичка уявлення змішаних чисел як неправильних дробів. Настав час розібратися, як здійснюється такий переклад.

Щоб уявити змішане число у вигляді неправильного дробу, потрібно знаменник дробу помножити на цілу частину і до отриманого додати чисельник. В результаті ми отримаємо число, яке буде чисельником нового дробу, а знаменник залишається без зміни.

Приклад:

Перший крок - помножимо цілу частину 5 на знаменник 7, отримаємо 35.

Другий крок - до отриманого твору 35 додамо чисельник 4 буде 39.

Тепер запишемо 39 в чисельник, а знаменнику залишимо 7.

Таким чином, на цьому уроці Ви навчилися переводити неправильний дріб у змішане число, для цього потрібно чисельник розділити на знаменник із залишком. Тоді неповне приватне буде цілою частиною, залишок – чисельником, а дільник – знаменником дробової частини змішаного числа.

Також Ви познайомилися з поданням змішаного числа у вигляді неправильного дробу. Для того щоб представити змішане число у вигляді неправильного дробу потрібно знаменник дробової частини змішаного числа помножити на цілу частину і до отриманого твору додати чисельник.

Література:

Математика 5 клас. Віленкін Н.Я., Жохов В.І. та ін. 31-е вид., стер. - М: 2013.

2. Дидактичні матеріали з математики 5 клас. Автор – Попов М.А. - 2013 рік

3. Обчислюємо без помилок. Роботи із самоперевіркою з математики 5-6 класи. Автор - Мінаєва С.С. - 2014

4. Дидактичні матеріали з математики 5 клас. Автори: Дорофєєв Г.В., Кузнєцова Л.В. - 2010 рік

5. Контрольні та самостійні роботи з математики 5 клас. Автори – Попов М.А. - 2012 рік

6. Математика. 5 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ/І. І. Зубарєва, А. Г. Мордкович. - 9-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009

Правила запису чисел, що мають дробову частину, передбачають кілька форматів, основними з яких є «десятковий» та «звичайний». Звичайні дроби, у свою чергу, можуть бути записані у форматах, які називаються «неправильними» та «змішаними». Для виділення цілої частини з дробового числакожного з цих варіантів запису зручніше застосовувати різні способи.

Інструкція

Відкиньте дробову частину, якщо треба виділити ціле число з позитивного дробу, записаного у змішаному форматі. У такому дробі ціла частина пишеться перед дробовим - наприклад, 12 2/3 . У цьому дробі цілою частиною буде число 12. Якщо змішаний дріб має негативний знак, то отримане в такий спосіб число зменшуйте на одиницю. Необхідність цієї дії випливає з визначення цілої частини числа, за яким вона не може бути більше значеннявихідного дробу. Наприклад, цілою частиною дробу -122/3 є число -13.

Розділіть без залишку чисельник вихідного дробу на його знаменник, якщо він записаний у неправильному звичайному форматі. Якщо вихідне число має позитивний знак, то отриманий результат буде цілою частиною. Наприклад, ціла частина дробу 716/51 дорівнює 14. Якщо ж вихідне число негативне, то тут від результату слід відібрати одиницю - наприклад, обчислення цілої частини дробу -716/51 має дати число -15.

Вважайте нуль цілою частиною позитивного дробу, записаного у звичайному форматі і при цьому не є змішаним, ні неправильним. Наприклад, це стосується дробу 48/51. Якщо вихідний дріб менший за нуль, то, як і в попередніх випадках, результат потрібно зменшити на один. Наприклад, цілою частиною дробу -48/51 слід вважати число -1.

Відкиньте всі знаки, що стоять після десяткової коми, якщо виділити цілу частину треба позитивного числа, записаного у форматі десяткового дробу У цьому випадку саме роздільна кома і відокремлює дрібну частину від цілої. Наприклад, цілою частиною десяткового дробу 3,14 є число 3. І для цього формату діє визначення, згідно з яким ціла частина не може бути більшою за вихідне число, тому і тут отримане описаним способом значення для негативного числатреба зменшувати на одиницю. Наприклад, ціла частина десяткового дробу -3,14 повинна дорівнювати -4.

Згідно з визначенням, цілою частиноюбудь-якого числа називають найбільше ціле число, яке або менше, або дорівнює вихідному. Отримати цілу частину можна різними способами – конкретний вибір залежить від того, які інструменти за умовами задачі ви можете використовувати (якусь мову програмування, табличний редактор, калькулятор, власні математичні здібності тощо).

Інструкція

Розділіть без залишку чисельник на знаменник, якщо потрібно порахувати цілу частину позитивного звичайного дробу. Наприклад, цілою частиноюдробу 320/157 буде число 2. Якщо звичайний дрібє правильною (тобто число в чисельнику більше числа в знаменнику), то і ділити нічого не потрібно - цілою частиноюбуде нуль.

Зробіть все як це описано на попередньому кроці, а потім зменшіть число на одиницю, якщо потрібно порахувати цілу частину негативного звичайного дробу. Наприклад, цілою частиноюдробу -320/157 буде число -3. Ця особливість випливає з визначення - ціла частина не може бути більшою за вихідне число.

Якщо звичайний дріб записано в змішаної формі, то й обчислювати нічого не потрібно - ціла частина пишеться перед дрібною. Наприклад, цілою частиною змішаного дробу 2 6/157 є число 2, а ціла частина негативного змішаного дробу -2 6/157 дорівнює -3.

Відкиньте дробову частину, якщо потрібно знайти цілу частину від позитивного десяткового дробу. Наприклад, ціла частина числа 3,14 дорівнює 3. Для негативного десяткового дробу, як і раніше, діють правила, що випливають з визначення цілої частини - наприклад, ціла частина числа -3,14 дорівнює -4.

Використовуйте функції округлення в меншу сторону, якщо отримати цілу частину числа треба за допомогою мови програмування. Мовою PHP для цієї операції призначена функція floor() - наприклад, floor(3.14). Так само вона пишеться і мовою СІ. На мові JavaScript синтаксис написання цієї функції трохи відрізняється - Math.floor(3.14).

Застосовуйте функцію ОКРУГЛВНИЗ(), якщо отримати цілу частину числа потрібно засобами табличного редактора Microsoft Offict Excel.

Як виділити цілу частину з неправильного дробу? Щоб із неправильного дробу виділити цілу частину, треба: Розділити із залишком чисельник на знаменник; Неповне приватне буде цілою частиною; Залишок (якщо вона є) дає чисельник, а дільник – знаменник дробової частини. Виконай № 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.

Зображення 22 з презентації «Змішані числа 5 клас»до уроків математики на тему «Змішані числа»

Розміри: 960 х 720 пікселів, формат: jpg. Щоб безкоштовно скачати картинку уроку математики, клацніть правою кнопкою мишки на зображенні та натисніть «Зберегти зображення як...». Для показу картинок на уроці Ви також можете безкоштовно скачати презентацію «Змішані числа 5 клас.ppt» повністю з усіма картинками у zip-архіві. Розмір архіву – 304 КБ.

Завантажити презентацію

Змішані числа

«Конспект уроку з математики» - Виконай за зразком. а) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 б, в, г (біля дошки) д) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5/ 9 е, ж, з (біля дошки). На городі зібрали 12 кг огірків. 2/3 всіх огірків засолили. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8 )/10 = 2/10. Покажіть дріб 2/8+3/8. Сформулюйте правило віднімання. Вивчення нового матеріалу:

Порівняння десяткових дробів - Мета уроку. Порівняйте числа: Усний рахунок. 9,85 та 6,97; 75,7 та 75,700; 0,427 та 0,809; 5,3 та 5,03; 81,21 та 81,201; 76,005 та 76,05; 3,25 та 3, 502; Прочитайте дроби: 41,1; 77,81; 21,005; 0,0203. 41,1; 77,81; 21,005; 0,0203. Зрівняйте кількість знаків після коми. План уроку. Розряди десяткових дробів. Урок закріплення у 5 класі.

"Правила округлення чисел" - 1,8. 48. Молодці! 3. 3. Навчитися застосовувати правило заокруглення на прикладах. Спробуй порівняти. Округліть цілі числа до десятків. 1. Згадати правило заокруглення чисел. Чи зручно працювати з таким числом? Сто тисячні. 3. Записуємо результат. 5312. >. 2. Вивести правило заокруглення десяткових дробів до заданого розряду.

«Додавання змішаних чисел» - 25. Приклад 4. Знайдемо значення різниці 3 4\9-1 5\6. 3 4\9 = 3818; 1 5 \ 6 = 1 15 \ 18. 3 4\9=3 8\18=3+8\18=2+1+8\18=2+8\18+18\18=2+ +26\18=2 26\18. Урок конспект у 6 класі