«взаємно зворотні числа» - Урок
Число, витвір якого на це числоодно одиниці. Два такі числа називаються взаємно оберненими. Такі, напр., 5 та 1/5, 2/3 та 3/2 тощо. Великий Енциклопедичний словник
зворотне число- - [А.С.Гольдберг. Англо-російський енергетичний словник. 2006 р.] Тематики енергетика в цілому EN inverse numberreciprocal number … Довідник технічного перекладача
Число, добуток якого на дане число дорівнює одиниці. Два такі числа називаються взаємно оберненими. Такі, наприклад, 5 і 1/5, 2/3 і 3/2 і т. д. Енциклопедичний словник
Число, добуток якого з цим числом дорівнює одиниці. Два такі числа називаються взаємно оберненими. Такі, наприклад, 5 і а, що не дорівнює нулю, існує зворотне … Велика Радянська Енциклопедія
Число, добуток якого на дане число дорівнює одиниці. Два таких числа зв. взаємно зворотні. Такі, наприклад, 5 і 1/5. 2/3 та 3/2 тощо. Природознавство. Енциклопедичний словник
Цей термін має й інші значення, див. Число (значення). Число основне поняття математики, що використовується для кількісної характеристики, порівняння та нумерації об'єктів. Виникнувши ще у первісному суспільстві з потреб…
Також: Число (лінгвістика) Число абстракція, яка використовується для кількісної характеристики об'єктів. Виникнувши ще первісному суспільстві з потреб рахунку, поняття числа змінювалося і збагачувалося і перетворилося на найважливіше математичне ... Вікіпедія
Зворотне закручування води при стоку навколонауковий міф, заснований на неправильному застосуванні ефекту Коріоліса до руху води у вирі, що виникає під час її стоку в зливний отвір раковини або ванни. Суть міфу полягає в тому, що вода ... Вікіпедія
ЧИСЛО, ІРРАЦІЙНЕ, число, яке не може бути виражене у вигляді дробу. Приклади включають Ц2 та число p. Отже, ірраціональні числаце числа з нескінченним числом (неперіодичних) знаків після коми. (Однак зворотне не є… Науково-технічний енциклопедичний словник
Перетворення Лапласа - інтегральне перетворення, що пов'язує функцію комплексного змінного (зображення) з функцією дійсного змінного (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і вирішуються диференціальні та природні … Вікіпедія
Книжки
- Зворотне закручування води при стоку, Джессі Рассел. Ця книга буде виготовлена відповідно до Вашого замовлення за технологією Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Зворотне закручування води при стоку - навколонауковий міф,…
- Клуб щасливих дружин , Уівер Фон. 27 жінок із різних частин світу, не знайомих між собою, з різною долею. У них немає нічого спільного, крім одного – вони шалено щасливі у шлюбі понад 25 років, бо знають Секрет… Коли…
Психологічний настрій учнів.
Діти подивіться один одному в очі, посміхніться один одному, побажайте очима товаришу гарного настрою. Я теж бажаю вам гарного настрою та активної роботи на уроці.
Прочитайте тему уроку. Запишіть у зошитах дату та тему уроку.
Хлопці, можливо, хтось із вас уже знає, які числа називаються взаємно зворотними? (Якщо є позитивна відповідь, то вчитель просить розповісти, що учні знають про взаємно зворотні числа.)
Якщо позитивних відповідей немає, то вчитель запитує учнів, як розуміють слово «взаємно».
У словнику Ожегова С.І. про слово взаємне говориться таке «взаємний, що стосується обох сторін».
Наприклад, коли ми говоримо взаємодопомогу, ми розуміємо це як взаємну допомогу один одному. Значить, взаємно зворотні числа, які числа?
Скажіть, будь ласка, коли ми говоритимемо «Взаємно зворотні числа», яку кількість чисел ми маємо на увазі (розглядати)?
Хлопці, щоб ви хотіли дізнатися сьогодні на уроці про взаємно зворотні числа?
Виконайте множення:
(Приклади написані на дошці)
Що спільне у всіх цих прикладах?
Як ви вважаєте, як називаються числа, добуток яких дорівнює 1?
А тепер спробуйте сформулювати визначення взаємно зворотних чисел.
Відкрийте підручник на сторінці 89 прочитайте наведене там визначення.
Чи відповідає визначення, надруковане в підручнику з тим, що вивили ви?
Розкажіть про визначення взаємно зворотних чисел один одному.
Подумки проговоріть це визначення.
З наведених на дошці чисел, не виконуючи множення, випишіть пари чисел, які на вашу думку є взаємно зворотними.
Які пари ви отримали?
Як перевірити, що вибрані вами пари чисел є взаємно зворотними числами?
Давайте перевіримо, чи ви правильно виписали пари взаємно зворотних чисел.
Розкажіть, чим ви керувалися, на що спиралися під час виборів пар взаємно зворотних чисел?
Як отримати число зворотне звичайного дробу? (Натуральному числу? Змішаному числу?)
А тепер давайте запишемо ці правила у буквеному вигляді. Для цього заповнимо таблицю. (Дивись додаток № 1)
Знайдіть числа обернені даним:
Чи всі числа мають зворотне число?
Яке число немає зворотного?
Чи є числа обернені самі собі?
Яка кількість назад сама собі?
Пропонує учням виконати вправу для очей. Сильно заплющити очі та різко їх відкрити. (10 раз)
Вчитель називає числа, якщо число змішане, то учні підстрибують, якщо звичайний дріб, то присідають, якщо натуральне число, то ляскають у долоні.
Уважно подивіться вираз. Хто може відразу сказати, чому дорівнює його значення?
Поясни, як ти отримав результат.
Діти, який висновок можна зробити?
Знайдіть у пункті підручника та прочитайте властивість, яку ми з вами вивели.
Подивіться завдання.
Які будуть пропозиції щодо вирішення рівняння?
Вчитель розглядає всі запропоновані способи розв'язання.
Чому не прийнятний запропонований спосіб?
А як тоді вирішити рівняння?
Аналогічно вирішується рівняння 
.
Пропонує учням виконати тестове завдання.
(Додаток № 2)
Організовує роботу з перевірки виконання тесту за допомогою заготовленої таблиці відповідей.
(Додаток № 3)
За наявності допущених помилок вчитель повертається до того чи іншого етапу уроку, з метою ліквідації прогалин знань учнів.
Рефлексивний результат уроку.
Що сподобалося на уроці?
Що не сподобалося на уроці?
Що нового дізналися на уроці?
Що хотілося б повторити на наступних уроках?
Кого з учнів хотілося б відзначити і чому?
Як оцінюєте свою роботу на уроці?
№ 575 (б) – записати через точку з комою тільки числа, що зворотні даним.
Скласти казку про взаємно зворотні числа.
Розповісти вдома про те, що ви дізналися про взаємно зворотні числа.
Ми знаємо, що додаток (або віднімання) нуля нічого не змінює. Кажуть, що нуль – нейтральний елемент для додавання.
Пари чисел, що у сумі дають нуль, називають протилежними.
Або ще кажуть, такі цифри симетричні для складання.
При множенні принцип той самий.
Одиниця – нейтральний елемент для множення. Множення (або розподіл) на 1 нічого не змінює.
Симетричними для додавання будуть числа, які при перемноженні дають одиницю:
Для таких пар чисел, добуток яких дорівнює одиниці, вигадали назву: взаємно зворотні числа.
Число назад 3.
Число 3 назад.
І 3 взаємно зворотні.
Отже, якщо , то й взаємно оборотні.
Порівняємо із протилежними числами. "Відняти 5" це все одно, що "додати -5".
Тепер для множення:
Поділ на число ми можемо замінити множенням на зворотне число. Або навпаки, множення можна замінити поділом на зворотне.
Приклад: замінити розподіл множенням, а множення – діленням.
Для 15 зворотним є. Справді:
Значить, якщо ми замінюємо поділ множенням, то 15 замінюємо на .
Замінимо тепер множення поділом.
Для 0,2 оберненим є число 5 (). Замінюємо:
Отже, ми дали визначення взаємно оборотним числам і поговорили, як їх можна використовувати.
Ми вже знаємо, що якщо дріб помножити на перевернутий дріб, то вийде одиниця. Скористайтеся цим.
Нехай у нас є число, і треба знайти зворотне для нього.
Які можуть бути випадки?
1. Число вже має вигляд звичайного дробу.
Тоді потрібно перевернути дроб і отримаємо зворотне число.
2. Нехай число записане як змішаний дріб.
Змішаний дріб можна записати як звичайний і перевернути.
3. Нехай число ціле.
Його можна представити у вигляді звичайного дробу і цей дріб перевернути. Отримаємо зворотне число.
4. Нехай число записано у вигляді десяткового дробу.
Десятковий дріб можна записати у вигляді звичайного, перевернути і, якщо необхідно, скоротити.
;
Другий спосіб - записати зворотне число для десяткового дробу, вчинити як із цілим числом.
Для числа 0,75 оберненим буде. Звичайно, це те саме зворотне, що і знайдене першим способом:
Отже, у всіх цих випадках немає жодної складності знайти для нього протилежне.
1. Початкове число 0.
Якщо нуль помножити на будь-яке число, вийде нуль.
Тобто неможливо помножити нуль на якесь число і отримати одиницю. Отже, для нуля немає зворотного. Це добре узгоджується з нашими домовленостями про те, що на нуль не можна ділити. Число 0 можна уявити, як , але перевертати такий дріб не можна, інакше ми отримаємо поділ на нуль.
2. Початкове число 1.
Ми знаємо, що . Тобто за визначенням, 1 та 1 – взаємозворотні числа. Інакше кажучи, одиниця обернена сама собі.
Якщо застосувати метод перевертання дробу, то отримаємо те саме.
Найпростіший спосіб отримати зворотне число - це уявити вихідне число у вигляді звичайного дробу і перевернути.
І взаємно протилежні.
Другий спосіб, що майже збігається з цим, - це розділити одиницю на вихідне число.
І взаємно протилежні.
Насправді, навіть якщо , то, розділивши 1 на цей дріб, ми отримаємо перевернутий дріб.
; 
Для нуля зворотного немає.
Одиниця сама собі є зворотним числом.
А як справи зі зворотними для негативних чисел?
Так само, як і з позитивними.
Для числа -5 оберненим є , тому що їх добуток дорівнює одиниці.
З способу перебування зворотного числа шляхом перевертання слід очевидний, але важливий факт.
Зрозуміло, що числа і взаємно обернені.
У першому дробі чисельник менший за знаменник. Ми такий дріб називаємо правильним і знаємо, що він менше одиниці. У другого дробу чисельник більший за знаменник, ми називаємо його неправильним і він більший за одиницю.
Це завжди справедливо. Візьмемо для простоти дріб, у якого позитивні чисельник та знаменник.
То один дріб буде правильним, а інший неправильним.
Тобто, якщо є два позитивні взаємно зворотні числа, то одне більше одиниці, інше менше одиниці. Іншими словами, взаємно зворотні позитивні числазнаходяться по різні боки від одиниці. Виняток складається сама одиниця.
Наприклад:
Звичайно, це зрозуміла властивість. Адже якщо обидва числа більше одиниці, їх твір теж більше одиниці і вони можуть бути взаємно зворотними.
Чи є числа взаємно зворотними?
Вони обидва більше одиниці.
Їхній твір теж буде більше одиниці. Вони можуть бути взаємно зворотними.
Самостійно подумайте, що можна сказати про негативні взаємно зворотні числа.
Існування та єдиність
У математиці завжди поруч ходять два питання: питання існування та питання єдиності.
Кожна країна має столицю? Так.
Чи єдина вона? Так.
У кожної людини на голові шапка? Ні.
Якщо є, вона одна? Зазвичай так.
На питання існування для зворотних чисел ми відповіли: для кожного числа, крім нуля, існує зворотне, для нуля не існує.
Тепер питання єдиності: чи для числа існує тільки одне зворотне? Чи може бути їх кілька?
Спробуємо відповісти на це питання у загальному вигляді. Отже, нехай є число і два числа обернені до нього і .
Але тоді:
Розділимо обидві частини на:
Зворотні числа дорівнювали один одному. Іншими словами, не можна те саме число (не рівне нулю) помножити на різні числа і отримати однаковий результат, одиницю. Таким чином, відповідь на питання про єдиність позитивна:
Для будь-якого числа, що не дорівнює нулю, існує тільки одне число, йому протилежне.
Взаємно зворотні та протилежні числа
У нас дві основні дії в математиці: додавання та множення. Віднімання та розподіл є похідними від них, вторинними.
Почнемо зі складання.
Є одне число, додавання якого нічого не змінює, – це нуль. Говорять, що нуль є нейтральним для складання.
Числа, які у сумі дають нуль, ми називаємо протилежними. Говорять, що вони симетричні за додаванням.
Усі числа діляться на великі частини. З одного боку від 0 перебувають усі позитивні числа, з другого - все негативні. Два протилежні числа обов'язково перебувають по різні боки від нуля. Одне – позитивне, інше – негативне.
Тепер перейдемо до множення. Тут дуже схожа ситуація.
Є одне число, яке нічого не змінює при множенні на нього – це одиниця. Одиниця нейтральна для множення.
Числа, добуток яких дорівнює одиниці, ми назвали взаємно оберненими. Вони симетричні за множенням.
Якщо говорити тільки про позитивні числа, то два взаємно зворотні числа знаходяться по різні боки від одиниці.
Отже, можна сказати про дуже серйозну подібність (див. табл. 1).
І у складання, і у множення існує нейтральний елемент - це нуль до складання і одиниця для множення.
Існують пари симетричних чисел. Для додавання – це протилежні, для множення – це зворотні.
Табл. 1. Подібність додавання та множення
Є й відмінності.
Розглянемо дві картинки із застосуванням числового променя (див. мал. 1).
Рис. 1. Розташування нейтрального та симетричних чисел для складання, розташування нейтрального та зворотних чисел для множення
Для складання картинка трохи більш «красива». Для всіх чисел є симетричне. Нуль симетричний сам собі. Отже, тут є повна симетрія. Одиниця тут такий самий елемент, як решта, для одиниці є протилежний, -1, як для 3 є -3.
Трохи складніша картина з множенням (див. мал. 2).
Рис. 2. Розташування нейтрального та зворотного числа для множення
Якщо дивитися лише на позитивні числа, то вони поділяються на дві частини одиницею. Два взаємно зворотні числа знаходяться по різні боки від одиниці.
Негативні числа так само поділяються на дві частини мінус одиницею. -3 та по різні боки від -1.
Нуль немає симетричного собі елемента. У деяких міркуваннях кажуть, що симетричний елемент знаходиться в нескінченності ліворуч або праворуч.
Можна сказати: «складання не знає про множення». Тому нейтральний елемент множення не грає особливої ролі у додаванні.
Коли ж будується множення, то додавання вже відоме. І нуль займає своє особливе місце у цій моделі.
Список літератури
1. Віленкін Н.Я. Жохов В.І.Чесноков А.С. Шварцбурд С.І. Математика 6. – М.: Мнемозіна, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. – Гімназія, 2006.
3. Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. – Просвітництво, 1989.
4. Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математики 5-6 клас. – ЗШ МІФІ, 2011.
5. Рурукін А.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6-х класів заочної школи МІФД. – ЗШ МІФІ, 2011.
6. Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О., Волков М.В. Математика: підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. - М: Просвітництво, Бібліотека вчителя математики, 1989.
1. Інтернет-сайт "Шкільний помічник" ()
3. Інтернет-сайт «Математика онлайн» ()
1. Віленкін Н.Я. Жохов В.І.Чесноков А.С. Шварцбурд С.І. Математика 6. – М.: Мнемозіна, 2012. (посилання див.1.2)
2. Домашнє завдання: № 578, № 579, № 580 (а, в).
3. Інші завдання: № 623, № 593, № 587
