Як вирахувати мінусовий ступінь. Негативний ступінь

Зведення в негативний ступінь- Один з основних елементів математики, який часто зустрічається при вирішенні задач алгебри. Нижче наведено докладну інструкцію.

Як зводити в негативний ступінь - теорія

Коли ми числом у звичайний ступінь, ми множимо його значення кілька разів. Наприклад, 3 3 = 3×3×3 = 27. Із негативним дробом усе навпаки. Загальний вигляд за формулою матиме такий вигляд: a -n = 1/a n. Таким чином, щоб звести число в негативний ступінь, потрібно одиницю поділити на дане число, але вже позитивно.

Як зводити в негативний ступінь - приклади на звичайних числах

Тримаючи вищенаведене правило на думці, вирішимо кілька прикладів.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Відповідь: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Відповідь -4-2 = 1/16.

Але чому відповідь у першому та другому прикладах однакова? Справа в тому, що при зведенні негативного числа в парний ступінь(2, 4, 6 і т.д.), знак стає позитивним. Якби ступінь був парним, то мінус зберігся:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Як зводити в негативний ступінь - числа від 0 до 1

Згадаймо, що при зведенні числа в проміжку від 0 до 1 до позитивного ступеня, значення зменшується зі зростанням ступеня. Так, наприклад, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Приклад 3: Обчислити 0,5 -2
Вирішення: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Відповідь: 0,5 -2 = 4

Розбір (послідовність дій):

• Перекладаємо десятковий дріб 0,5 в дрібну 1/2. Так легше.
  Зводимо 1/2 у негативний ступінь. 1/(2)-2. Ділимо 1 на 1/(2) 2, отримуємо 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Приклад 4: Розрахувати 0,5 -3
Рішення: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Приклад 5: Обчислити -0,5 -3
Рішення: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Відповідь: -0,5 -3 = -8

Виходячи з 4-го та 5-го прикладів, зробимо кілька висновків:

• Для позитивного числа в проміжку від 0 до 1 (приклад 4), що зводиться в негативний ступінь, парність чи непарність ступеня не важлива, значення виразу буде позитивним. При цьому чим більше ступінь, тим більше значення.
• Для негативного числа в проміжку від 0 до 1 (приклад 5), що зводиться в негативний ступінь, парність або непарність ступеня не має значення, вираз буде негативним. При цьому чим більше ступінь, тим менше значення.

Як зводити в негативний ступінь - ступінь у вигляді дробового числа

Вирази цього типу мають такий вигляд: a -m/n , де a — звичайне число, m - чисельник ступеня, n - знаменник ступеня.

Розглянемо приклад:
Обчислити: 8 -1/3

Рішення (послідовність дій):

• Згадуємо правило зведення числа у негативний ступінь. Отримаємо: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Зауважте, у знаменнику число 8 в дрібному ступені. Загальний вид обчислення дробового ступеня такий: a m/n = n √8 m.
• Таким чином, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Отримуємо кубічний коріньз восьми, що дорівнює 2. Виходячи звідси, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Відповідь: 8 -1/3 = 2

Зі школи всім нам відомо правило про зведення в ступінь: будь-яке число з показником N дорівнює результату перемноження даного числана себе N-ное кількість разів. Іншими словами, 7 у ступені 3 - це 7, помножене на себе три рази, тобто 343. Ще одне правило - зведення будь-якої величини в ступінь 0 дає одиницю, а зведення негативної величини є результатом звичайного зведення в ступінь, якщо вона парна, і такий самий результат зі знаком «мінус», якщо вона непарна.

Правила ж дають і відповідь, як зводити число на негативний ступінь. Для цього необхідно звести звичайним методом необхідну величину на модуль показника, а потім одиницю поділити на результат.

З цих правил стає зрозуміло, що виконання реальних завдань з оперуванням великими величинами вимагатиме наявності технічних засобів. Вручну вдасться перемножити на себе максимум діапазон чисел до двадцяти-тридцяти, і то не більше трьох-чотирьох разів. Не кажучи вже про те, щоб потім ще й одиницю розділити на результат. Тому тим, хто не має під рукою спеціального інженерного калькулятора, ми розповімо, як звести число в негативний рівень в Excel.

Вирішення задач в Excel

Для вирішення завдань зі зведенням у ступінь Excel дозволяє користуватися одним із двох варіантів.

Перше – це використання формули зі стандартним знаком «кришечка». Введіть в комірки робочого листа такі дані:

Так само можна звести потрібну величину в будь-який ступінь - негативну, дробову. Виконаємо наступні дії та відповімо на питання про те, як звести число у негативний ступінь. Приклад:

Можна у формулі підправити =B2^-C2.

Другий варіант - використання готової функції "Ступінь", що приймає два обов'язкові аргументи - число і показник. Щоб приступити до її використання, достатньо в будь-якому вільному осередку поставити знак рівно (=), що вказує на початок формули, і ввести вищенаведені слова. Залишилося вибрати два осередки, які братимуть участь в операції (або вказати конкретні числа вручну), і натиснути клавішу Enter. Подивимося на кілька простих прикладів.

Як бачимо, немає нічого складного в тому, як зводити число в негативний ступінь та звичайний за допомогою Excel. Адже для вирішення цієї задачі можна користуватися як звичним всім символом «кришечка», так і зручною для запам'ятовування вбудованою функцією програми. Це безперечний плюс!

Перейдемо до більш складним прикладам. Згадаймо правило про те, як зводити число в негативний ступінь дробового характеру, і побачимо, що це завдання просто вирішується в Excel.

Дробові показники

Якщо коротко, то алгоритм обчислення числа з дрібним показником наступний.

1. Перетворити дробовий показник на правильний або неправильний дріб.
2. Звести наше число до чисельника отриманого перетвореного дробу.
3. З отриманого попередньому пункті числа обчислити корінь, з умовою, що показник кореня буде знаменник дробу, отриманої першому етапі.

Погодьтеся, що навіть при оперуванні малими числами та правильними дробамиподібні обчислення можуть забрати чимало часу. Добре, що табличного процесора Excel все одно, яке число і в яку міру зводити. Спробуйте вирішити на робочому аркуші Excel наступний приклад:

Скориставшись наведеними вище правилами, ви можете перевірити і переконатися, що обчислення здійснено правильно.

Наприкінці нашої статті наведемо у формі таблиці з формулами та результатами кілька прикладів, як зводити число в негативний ступінь, а також кілька прикладів з оперуванням дробовими числамита ступенями.

Таблиця прикладів

Перевірте на робочому аркуші книги Excel такі приклади. Щоб усе запрацювало коректно, вам необхідно використовувати змішане посилання під час копіювання формули. Закріпіть номер стовпця, що містить число, що зводиться, і номер рядка, що містить показник. Ваша формула повинна мати приблизно такий вигляд: «=$B4^C$3».

Зверніть увагу, що позитивні числа (навіть нецілі) без проблем обчислюються за будь-яких показників. Не виникає проблем і зі зведенням будь-яких чисел у цілі показники. А ось зведення негативного числа в дробовий ступіньобернеться вам помилкою, оскільки неможливо виконати правило, вказане на початку нашої статті про зведення негативних чисел, адже парність - це характеристика виключно ЦІЛОГО числа.

Числом, зведеним у ступінь,називають таке число, яке кілька разів помножено на себе.

Ступінь числа із негативним значенням (a - n) можна визначити типу того, як визначається ступінь того ж числа з позитивним показником (a n) . Однак воно також вимагає додаткового визначення. Визначається така формула як:

a - n = (1/a n)

Властивості негативних значень ступенів чисел аналогічні ступеням із позитивним показником. Представлене рівняння a m/a n = a m-n може бути справедливим як

« Ніде, як у математиці, ясність і точність виведення не дозволяє людині відвернутися від відповіді розмовами довкола питання».

А. Д. Олександров

при n більше m , так і при m більше n . Розглянемо з прикладу: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Спочатку необхідно визначити те число, яке виступає визначенням ступеня. b=a(-n) . У цьому прикладі -n є показником ступеня, b - потрібне числове значення, a - основа ступеня у вигляді натурального числового значення. Потім визначити модуль, тобто абсолютне значення негативного числа, яке виступає у ролі показника ступеня. Обчислити рівень даного числа відносного абсолютного числа, як показника. Значення ступеня перебуває розподілом одиниці на отримане число.

Рис. 1

Розглянь рівень числа з негативним дробовим показником. Уявімо, що число а це будь-яке додатне число, числа n і m - натуральні числа. Відповідно до визначення a , яке зведено у ступінь - дорівнює одиниці, розділеній на це число з позитивним ступенем (рис 1). Коли ступенем числа є дріб, то таких випадках використовуються виключно числа з позитивними показниками.

Варто пам'ятати, Що нуль ніколи може бути показником ступеня числа (правило розподілу на нуль).

Поширенню такого поняття як число стали такі маніпуляції, як розрахунки виміру, і навіть розвиток математики, як науки. Введення негативних значень було зумовлено розвитком алгебри, яка давала загальні рішення арифметичних завдань, незалежно від їхнього конкретного змісту та вихідних числових даних. В Індії ще в VI-XI століттях негативні значення чисел систематично вживали під час вирішення завдань і пояснювалися таким же чином, що й сьогодні. У європейській науці негативні числа почали широко використовуватися завдяки Р. Декарту, який дав геометричне тлумачення негативним числам, як напрямки відрізків. Саме Декарт запропонував позначення числа зведеного у ступінь відображати як двоповерхову формулу. a n .