Що таке періодичний дріб визначення. Упорядкування системи рівнянь
Періодичний дріб - це такий дріб, у якого, починаючи з деякого знака після коми, повторюється певна впорядкована сукупність цифр нескінченне число разів. Така сукупність називається періодом.
Наприклад: 0,33333333...
Відразу після коми повторюються \одні трійки нескінченне число разів. (3) - це період дробу
Або ще:
42,345276276276276...
Починаючи з третього знака ми бачимо структуру, що повторюється (276). Це – період дробу.
Такий дріб можна записати скорочено, записуючи спочатку неповторні знаки після коми, а потім у дужках - період.
Так, 0,333333 ... можна записати як 0, (3) - читається нуль цілих і три в періоді.
42,345276276276... = 42,345(276) - читається сорок два цілих триста сорок п'ять тисячних та двісті сімдесят шість у періоді.
Можна записувати періодичні дроби, просто записавши кілька знаків після коми включаючи кілька періодів, що повторюються, а потім додати багатокрапку. У таких ситуаціях ясно, що період повторюється.
Бувають і неперіодичні десяткові дроби. Вони не можна виділити жодну структуру, що повторюється. Це, наприклад, т.з. число е = 2,718281828459045235... Незважаючи на те, що деякі цифри тут повторюються, але для періодичності дробу необхідно, щоб певна сукупність цифр повторювалася нескінченне число разів.
Дроби бувають кінцевими та нескінченними. Так, дріб 0,3333... -Нескінченна десяткова періодична. Якщо дріб можна подати у вигляді дробу з кінцевим числом знаків після коми, він є кінцевим. Такий, наприклад, дріб 1,746. Її можна як 1,74600000....= 1,746(0), т. е. періодичного дробу з періодом 0.
З іншого боку 1,7460000000 = 1,7459999999 ... = 1,745 (9) (сувора рівність!). Таким чином, періодичні дроби з нулем або дев'яткою в період є кінцевими, а інші - нескінченними.
Всі десяткові періодичні дроби є раціональними числами, тобто такими, які можна у вигляді відношення цілого та натурального числа q = m/n, де m – ціле, n – натуральне. Це - запис звичайного дробу. Кожну звичайну нескоротний дріб можна у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу і до того єдиним чином (виключаючи розгляд випадку періодичного дробу з дев'яткою в періоді) і назад, кожен періодичний дріб можна представити у вигляді звичайного дробу - теж єдиним способом.
Приклад 1/3 - звичайний дріб. Якщо користуватися способом розподілу стовпчиком, у залишку буде весь час виходити 1, а запису числа - нові трійки, отже 1/3 = 0,333333... = 0,(3).
Нехай тепер дано дріб 42,345276276276 .... Потрібно уявити її у вигляді звичайного дробу. Нехай 42,345276276276... = х. Помножимо число на 1000, щоб період починався відразу після коми: 1000х = 42345,276276276...
Помножимо ще раз на 1000, тоді кома зміститься рівно на один період: 1000000х = 42345276,276276276.
Тепер
1000000х - 1000х = 42345276,276276276....-42345,276276276.. = 42302931
999000х = 42302931
х = 42302931/999000
Якщо вони знають теорію рядів, то без неї ніяких метаматичних понять вводити не можна. Більше того, ці люди вважають, що той, хто не використовує її повсюдно, - невіглас. Залишимо погляди цих людей на їхньому совісті. Давайте краще розберемося з тим, що таке нескінченний періодичний дріб і як з ним бути нам, неосвіченим людям, які не знають меж.
Поділимо 237 на 5. Ні, не потрібно запускати "Калькулятор". Давайте краще згадаємо середню (або навіть початкову?) школу і просто поділимо стовпчиком:
Ну як, згадали? Тоді можна і до діла переходити.
Поняття «дроб» у математиці має два значення:
- Неціле число.
- Форма запису нецілого числа.
- Прості (або вертикальні) дробу, на зразок 1/2 або 237/5.
- Десяткові дроби, наприклад, 0,5 або 47,4.
У математиці, взагалі споконвіку прийнятий рахунок десятковий, тому й десяткові дроби зручніше простих, т. е. дріб із десятковим знаменником (Володимир Даль. Тлумачний словник живого великоросійського мови. «Десять»).А якщо так, то хочеться всякий вертикальний дріб зробити десятковим («горизонтальним»). А для цього потрібно просто чисельник поділити на знаменник. Візьмемо, наприклад, дріб 1/3 і спробуємо зробити з нього десятковий.
Навіть зовсім неосвічений помітить: скільки ні поділи - не розділиться: так і будуть трійки нескінченно з'являтися. Так і запишемо: 0,33... Маємо на увазі при цьому число, яке виходить, коли ділиш 1 на 3, або, коротше, одна третя. Природно, що один третій - дріб у першому значенні слова, а «1/3» і «0,33...» - дроби у другому значенні слова, тобто форми записучисла, яке знаходиться на числовій прямій на такій відстані від нуля, якщо тричі його відкласти, вийде одиниця.
Тепер спробуємо розділити 5 на 6:
Знову запишемо: 0,833... Маємо на увазі число, яке виходить, коли ділиш 5 на 6, або, коротше, п'ять шостих. Однак, тут виникає плутанина: чи маються на увазі 0,83333 (і далі трійки повторюються), або 0,833833 (і далі 833 повторюється). Тому запис з трьома крапками нас не влаштовує: незрозуміло, звідки починається частина (вона називається «період»). Тому період ми братимемо в дужки, ось так: 0, (3); 0,8 (3).
0,(3) не просто однооднією третьою, це єодна третя, адже ми спеціально цей запис вигадали, щоб представляти це число у вигляді десяткового дробу.
Цей запис і називається нескінченним періодичним дробом, або просто періодичним дробом.
Завжди, коли ми ділимо одне число на інше, якщо не виходить дріб кінцевий, то виходить дріб нескінченний періодичний, тобто обов'язково колись послідовності цифр почнуть повторюватися. Чому це так можна зрозуміти чисто умоглядно, уважно подивившись на алгоритм розподілу стовпчиком:
У місцях, позначених галочками, що неспроможні постійно виходити різні пари чисел (бо таких пар у принципі кінцеве безліч). А як тільки там з'явиться така пара, яка вже була, різниця теж буде такою самою – і далі весь процес почне повторюватися. Немає потреби перевіряти це, адже цілком очевидно, що при повторенні тих самих дій результати будуть ті самі.
Тепер, коли ми добре розуміємо сутьперіодичного дробу, давайте спробуємо помножити одну третину на три. Так, вийде, звичайно, один, але давайте запишемо цей дріб у десятковій форміі помножимо стовпчиком (двозначності через крапки тут не виникає, тому що всі цифри після коми однакові):
І знову ми помічаємо, що весь час після коми з'являтимуться дев'ятки, дев'ятки та дев'ятки. Тобто, використовуючи, назад, скобочний запис, ми матимемо 0,(9). Оскільки ми знаємо, що твір однієї третини і трьох є одиниця, то 0, (9) - це ось химерна форма запису одиниці. Проте використовувати таку форму запису недоцільно, адже одиниця чудово записується без використання періоду, ось так: 1.
Як бачимо, 0,(9) - це один із тих випадків, коли ціле число записано у формі дробу, на зразок 3/3 або 7,0. Тобто, 0,(9) - це дріб лише у другому значенні слова, але аж ніяк не в першому.
Ось так, без жодних меж і рядів ми розібралися з тим, що таке 0, (9) і як з ним боротися.
Але все ж таки згадаємо про те, що насправді ми розумні та вивчали аналіз. Справді, важко заперечувати, що:
Але, мабуть, ніхто не буде сперечатися і про те, що:
Все це, звичайно, правильно. Справді, 0,(9) є сумою наведеного ряду, і подвоєним синусом зазначеного кута, і натуральним логарифмом числа Ейлера.
Але те, ні інше, ні третє не є визначенням.
Стверджувати, що 0,(9) - сума нескінченного ряду 9/(10 n), при n від одиниці, - все одно, що стверджувати, що синус - це сума нескінченного ряду Тейлора:
Це абсолютно вірно, і це є найважливішим фактом для обчислювальної математики, але це не визначення, і, що найголовніше, це анітрохи не наближає людину до розуміння сутісинусу. Суть синуса деякого кута полягає в тому, що це всього-навсьоговідношення протилежного куту катета до гіпотенузи.
Так от, періодичний дріб - це всього-навсього десятковий дріб, яка виходить, коли при розподілі стовпчикомтой самий набір цифр повториться. Аналізу тут немає і близько.
І ось тут виникає питання: звідки взагаліми взяли число 0(9)? Що на що ми ділимо стовпчиком, щоби його отримати? Справді, немає таких чисел, при розподілі яких один на одного стовпчиком ми мали б нескінченно з'являються дев'ятки. Але ж нам вдалося отримати це число, помножуючи стовпчиком 0,(3) на 3? Не зовсім. Адже множити треба праворуч, щоб коректно враховувати переноси розрядів, а ми це робили зліва направо, хитро скориставшись тим, що переносів ніде все одно не виникає. Тому правомірність запису 0,(9) залежить від того, чи визнаємо ми правомірність такого множення стовпчиком чи ні.
Отже, взагалі можна сказати, що запис 0,(9) некоректна - і певною мірою бути правим. Однак, оскільки нотація a, (b) прийнята, то просто некрасиво відмовлятися від неї при b = 9; краще визначитися з тим, що такий запис означає. Отже, якщо ми взагалі приймаємо запис 0, (9), цей запис, звичайно, означає число один.
Залишилося лише додати, що якби ми використовували, скажімо, трійкову систему числення, то при розподілі стовпчиком одиниці (1 3) на трійку (10 3) вийшло б 0,1 3 (читається «нуль цілих одна третя»), а при розподілі одиниці на двійку вийшло б 0(1) 3 .
Так що періодичність дробу-запису - це не об'єктивна якась характеристика дробу-числа, а лише побічний ефект використання тієї чи іншої системи числення.
§ 114. Звернення звичайного дробу до десяткового.Звернути звичайний дріб у десятковий - це означає знайти такий десятковий дріб, який був би дорівнює даному звичайному дробу. При зверненні звичайних дробів у десяткові ми зустрінемося із двома випадками:
1) коли звичайні дроби можуть бути перетворені на десяткові точно;
2) коли звичайні дроби можуть бути звернені в десяткові лише наближено. Розглянемо ці випадки послідовно.
1. Як звернути звичайний нескоротний дріб у десятковий, або, іншими словами, як замінити звичайний дріб, що дорівнює йому десятковому?
У випадку, коли звичайні дроби можуть бути точнозвернені в десяткові, існує два способитакого звернення.
Згадаймо, як замінити один дріб інший, що дорівнює першому, або як перейти від одного дробу до іншого, не змінюючи величини першої. Цим ми займалися, коли наводили дроби до спільного знаменника (§86). Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, то чинимо так: знаходимо спільний знаменникдля цих дробів, обчислюємо для кожного дробу додатковий множник і потім множимо чисельник і знаменник кожного дробу на цей множник.
Помітивши це, візьмемо нескоротний дріб 3/20 і спробуємо звернути його до десяткового. Знаменник даного дробу дорівнює 20, а треба привести його до іншого знаменника, який зображався одиницею з нулями. Ми шукатимемо найменший із знаменників, що виражаються одиницею з наступними нулями.
Перший спосібобігу звичайного дробу в десятковий заснований на розкладанні знаменника на прості множники.
Необхідно дізнатися, яке число слід помножити 20, щоб добуток виразилося одиницею з нулями. Щоб це дізнатися, потрібно спочатку згадати, які прості множники розкладаються числа, зображувані одиницею з нулями. Ось ці розкладання:
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
Ми бачимо, що число, що зображається одиницею з нулями, розкладається тільки на двійки та п'ятірки, а інших множників у розкладанні немає. Крім того, двійки та п'ятірки входять у розкладання в однаковій кількості. І, нарешті, число тих та інших множників окремо дорівнює числу нулів, що стоять після одиниці у зображенні даного числа.
Подивимося тепер, як розкладається 20 на прості множники: 20 = 2 2 5. З цього видно, що двійок у розкладанні числа 20 дві, а п'ятірок одна. Значить, якщо до цих множників ми додамо одну п'ятірку, то отримаємо число, яке є одиницею з нулями. Іншими словами, для того, щоб у знаменнику замість числа 20 вийшло число, що зображається одиницею з нулями, потрібно 20 помножити на 5, а щоб величина дробу не змінилася, потрібно помножити на 5 та її чисельник, тобто.
Таким чином, щоб звернути звичайний дріб у десятковий, потрібно знаменник цього звичайного дробу розкласти на прості множники і потім зрівняти в ньому число двійок і п'ятірок, ввівши в нього (і, звичайно, в чисельник) множники, що відсутні, в необхідному числі.
Застосуємо цей висновок до деяких дробів.
Звернути в десятковий дріб 3/50 . Знаменник цього дробу розкладається так:
отже, у ньому бракує однієї двійки. Додамо її:
Звернути в десятковий дріб 7/40 .
Знаменник цього дробу розкладається так: 40 = 2 2 2 5, тобто в ньому немає двох п'ятірок. Введемо їх у чисельник і знаменник як множники:
З того, що викладено, неважко дійти невтішного висновку, які прості дроби звертаються точно в десяткові. Цілком очевидно, що нескоротний звичайний дріб, знаменник якого не містить жодних інших простих множників, крім 2 і 5, звертається точно в десятковий. Десятковий дріб, який виходить від обігу деякого звичайного, матиме стільки десяткових знаків, скільки разів до складу знаменника звичайного дробу після його скорочення входить чисельно переважаючий множник 2 або 5.
Якщо ми візьмемо дріб 9 / 40 , то, по-перше, він звернеться до десяткового, тому що до складу його знаменника входять множники 2 2 2 5, по-друге, отриманий десятковий дріб матиме 3 десяткові знаки, тому що чисельно переважає множник 2 входить у розкладання тричі. Справді:
Другий спосіб(за допомогою розподілу чисельника на знаменник).
Нехай потрібно звернути до десяткового дробу 3/4 . Ми знаємо, що 3/4 є приватним від розподілу 3 на 4. Це приватне ми можемо знайти, розділивши 3 на 4. Зробимо це:
Таким чином, 3/4 = 0,75.
Ще приклад: звернути до десяткового дробу 5/8 .
Таким чином, 5/8 = 0,625.
Отже, щоб обернути звичайний дріб у десятковий, достатньо розділити чисельник звичайного дробу на його знаменник.
2. Розглянемо тепер другий із зазначених на початку параграфу випадків, тобто той випадок, коли звичайний дріб не може бути перетворений на точну десяткову.
Звичайний нескоротний дріб, знаменник якого містить будь-які прості множники, відмінні від 2 і 5, не може звернутися точно в десятковий. Справді, наприклад, дріб 8/15 не може звернутися до десяткового, тому що його знаменник 15 розкладається на два множники: 3 і 5.
Ми не можемо виключити трійку зі знаменника і не можемо підібрати такого цілого числа, щоб після множення на нього даного знаменника твір виявився одиницею з нулями.
У таких випадках можна говорити лише про наближеному зверненнізвичайних дробів у десяткові.
Як це робиться? Це робиться за допомогою розподілу чисельника звичайного дробу на знаменник, тобто в цьому випадку застосовують другий спосіб обігу звичайного дробу в десятковий. Отже, цей спосіб застосовується при точному зверненні і при наближеному.
Якщо звичайний дріб звертається точно в десятковий, то від розподілу виходить кінцевий десятковий дріб.
Якщо звичайний дріб не перетворюється на точну десяткову, то від поділу виходить нескінченний десятковий дріб.
Оскільки ми можемо виконати нескінченного процесу розподілу, ми повинні припинити розподіл на якомусь десятковому знаку, т. е. зробити наближене розподіл. Ми можемо, наприклад, припинити розподіл першому десятковому знаку, т. е. обмежитися десятими частками; у разі потреби ми можемо зупинитися на другому десятковому знаку, отримавши соті частки, і т. д. У цих випадках кажуть, що ми округляємо нескінченний десятковий дріб. Округлення проводиться з тією точністю, яка при вирішенні цього завдання необхідна.
§ 115. Поняття про періодичний дроб.
Нескінченний десятковий дріб, у якого одна або кілька цифр незмінно повторюються в одній і тій же послідовності, називається періодичним десятковим дробом. Наприклад:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
Сукупність повторюваних цифр називається періодомцього дробу. Період першого з написаних вище дробів є 3, період другого дробу 12, період третього дробу 234. Отже, період може складатися з декількох цифр - з однієї, з двох, з трьох і т. д. Перша сукупність цифр, що повторюються, називається першим періодом, друга сукупність - другим періодом тощо. буд., тобто.
Періодичні дроби бувають чисті та змішані. Періодичний дріб називається чистим, якщо його період починається відразу після коми. Отже, написані вище періодичні дроби будуть чистими. Навпаки, періодичний дріб називається змішаним, якщо у нього між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, наприклад:
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
Для скорочення листа можна цифри періоду писати один раз у дужках і не ставити після дужок крапки, тобто замість 0,33 ... можна писати 0, (3); замість 2,515151... можна писати 2,(51); замість 0,2333 можна писати 0,2 (3); замість 0,8333 можна писати 0,8 (3).
Читаються періодичні дроби так:
0,(3) - 0 цілих, 3 у періоді.
7,2(3) - 7 цілих, 2 до періоду, 3 у періоді.
5,00 (17) - 5 цілих, два нулі до періоду, 17 у періоді.
Як виникають періодичні дроби? Ми вже бачили, що при обігу звичайних дробів у десяткові може бути два випадки.
По перше, знаменник звичайного нескоротного дробу не містить жодних інших множників, крім 2 та 5; у цьому випадку звичайний дріб звертається до кінцевої десяткової.
По-друге,знаменник звичайного нескоротного дробу містить у собі прості множники, відмінні від 2 і 5; у цьому випадку звичайний дріб не звертається до кінцевої десяткової. У цьому останньому випадку при спробі звернути звичайний дріб у десятковий за допомогою розподілу чисельника на знаменник виходить нескінченний дріб, який завжди буде періодичним.
Щоб у цьому переконатися, розглянемо якийсь приклад. Спробуємо звернути дріб - 18/7 в десятковий.
Ми, звичайно, заздалегідь знаємо, що дріб із таким знаменником не може звернутися до кінцевого десяткового, і ведемо мову лише про наближене поводження. Розділимо чисельник 18 на знаменник 7.
Ми отримали у приватному вісім десяткових знаків. Немає потреби продовжувати поділ далі, тому що воно все одно не скінчиться. Але звідси зрозуміло, що розподіл можна продовжувати нескінченно довго і, таким чином, отримувати у приватному нові цифри. Ці нові цифри виникатимуть тому, що в нас постійно виходитимуть залишки; але ніякий залишок не може бути більшим за дільник, який у нас дорівнює 7.
Подивимося, які ми мали залишки: 4; 5; 1; 3; 2; б, тобто це були числа, менші 7. Очевидно, їх не може бути більше шести, і при подальшому розподілі вони повинні будуть повторюватися, а за ними повторюватимуться і цифри приватного. Наведений вище приклад підтверджує цю думку: десяткові знаки в приватному йдуть у такому порядку: 571428, а потім знову з'явилися цифри 57. Отже, у нас закінчився перший період і починається другий.
Таким чином, нескінченний десятковий дріб, що виходить при обігу звичайного дробу, завжди буде періодичним.
Якщо періодичний дріб зустрічається при вирішенні якогось завдання, то він береться з тією точністю, яка потрібна умовою завдання (до десятої, до сотої, до тисячної і т. д.).
§ 116. Спільні дії зі звичайними та десятковими дробами.
При розв'язанні різних завдань ми зустрінемося з такими випадками, коли в завдання входять і прості, і десяткові дроби.
У цих випадках можна йти різними шляхами.
1. Звернути всі дроби до десяткових.Це зручно тому, що обчислення над десятковими дробами легше, ніж над звичайними. Наприклад,
Обернемо дроби 3/4 і 1 1/5 у десяткові:
2. Звернути всі дроби у прості.Так найчастіше надходять у тих випадках, коли зустрічаються звичайні дроби, що не звертаються до кінцевих десяткових.
Наприклад, 
Обернемо десяткові дроби у прості:
3. Обчислення ведуть без обігу одних дробів до інших.
Це особливо зручно в тих випадках, коли в приклад входять лише множення та поділ. Наприклад,
Перепишемо приклад так:
4. У деяких випадках перетворюють всі звичайні дроби на десяткові(навіть ті, які звертаються до періодичних) і знаходять наближений результат. Наприклад,
Обернемо 2/3 у десятковий дріб, обмежившись тисячними частками.
Щоб раціональне число m/n записати як десяткового дробу, потрібно чисельник розділити на знаменник. При цьому приватне записується кінцевим або нескінченним десятковим дробом.
Записати це числоу вигляді десяткового дробу.
Рішення. Розділимо в стовпчик чисельник кожного дробу на його знаменник: а)ділимо 6 на 25; б)ділимо 2 на 3; в)ділимо 1 на 2, а потім дроб, що вийшов, припишемо до одиниці - цілої частини даного змішаного числа.
Нескоротні звичайні дроби, знаменники яких містять інших простих дільників, крім 2 і 5 , записуються кінцевим десятковим дробом.
В приклад 1в разі а)знаменник 25 = 5 · 5; в разі в)знаменник дорівнює 2, тому ми отримали кінцеві десяткові дроби 0,24 і 1,5 . В разі б)знаменник дорівнює 3, тому результат не можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу.
А чи можна без поділу в стовпчик звернути в десятковий дріб такий звичайний дріб, знаменник якого не містить інших дільників, крім 2 і 5? Розберемося! Який дріб називають десятковим і записують без дробової межі? Відповідь: дріб зі знаменником 10; 100; 1000 і т.д. А кожне з цих чисел – це твір рівногокількості «двійок» та «п'ятірок». Насправді: 10 = 2 · 5; 100 = 2 · 5 · 2 · 5; 1000 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 і т.д.
Отже, знаменник нескоротного звичайного дробу потрібно буде у вигляді твору «двійок» і «п'ятірок», а потім примножити на 2 і (або) на 5 так, щоб «двійок» та «п'ятірок» стало порівну. Тоді знаменник дробу дорівнюватиме 10 або 100 або 1000 і т.д. Щоб значення дробу не змінилося — чисельник дробу помножимо на те число, на яке помножили знаменник.
Подати у вигляді десяткового дробу такі звичайні дроби:
Рішення. Кожна з цих дробів є нескоротною. Розкладемо знаменник кожного дробу на прості множники.
20 = 2 · 2 · 5. Висновок: не вистачає однієї "п'ятірки".
8 = 2 · 2 · 2. Висновок: не вистачає трьох «п'ятірок».
25 = 5 · 5. Висновок: не вистачає двох «двійок».
Зауваження.На практиці частіше не використовують розкладання знаменника на множники, а просто запитують: на скільки потрібно помножити знаменник, щоб у результаті вийшла одиниця з нулями (10 або 100 або 1000 і т.д.). А потім на це число множать і чисельник.
Так, у випадку а)(Приклад 2) з числа 20 можна отримати 100 множенням на 5, тому на 5 потрібно помножити чисельник і знаменник.
В разі б)(Приклад 2) з числа 8 число 100 не вийде, але вийде число 1000 множенням на 125. На 125 множиться і чисельник (3) і знаменник (8) дробу.
В разі в)(Приклад 2) з 25 вийде 100, якщо помножити на 4. Значить, і чисельник 8 потрібно помножити на 4.
Нескінченний десятковий дріб, у якого одна або кілька цифр незмінно повторюються в одній і тій же послідовності, називається періодичноїдесятковим дробом. Сукупність цифр, що повторюються, називається періодом цього дробу. Для стислості період дробу записують один раз, укладаючи його в круглі дужки.
В разі б)(Приклад 1) цифра, що повторюється, одна і дорівнює 6. Тому, наш результат 0,66 ... запишеться так: 0, (6) . Читають: нуль цілих, шість у періоді.
Якщо між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, то такий періодичний дріб називається змішаним періодичним дробом.
Нескоротний звичайний дріб, знаменник якого разом з іншимимножниками містить множник 2 або 5 , звертається до змішануперіодичний дріб.
Записати у вигляді десяткового дробу числа:
Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу.
Записати у вигляді нескінченного періодичного дробу числа.
Періодичний дріб нескінченний десятковий дріб, в якому, починаючи з деякого місця, стоїть певна група цифр, що періодично повторюється. Наприклад, 1,3181818...; коротше цей дріб записують так: 1,3 (18), тобто поміщають період у дужки (і кажуть: «18 у періоді»). П. д. називається чистою, якщо період починається відразу після коми, наприклад 2(71) = 2,7171..., і змішаної, якщо після коми є цифри, що передують періоду, наприклад, 1,3(18). Роль П. д. в арифметиці обумовлена тим, що при поданні раціональних чисел, тобто звичайних (простих) дробів, десятковими дробами, завжди виходять або кінцеві або періодичні дроби. Точніше: кінцевий десятковий дріб виходить у тому випадку, коли знаменник нескоротного простого дробу не містить інших простих множників, крім 2 і 5; у всіх інших випадках виходить П. д., і до того ж чиста, якщо знаменник даного нескоротного дробу зовсім не містить множників 2 і 5, і змішана, якщо хоча б один із цих множників міститься в знаменнику. Будь-яка П. д. може бути звернена в простий дріб(тобто вона дорівнює деякому раціонального числа). Чиста П. д. дорівнює простому дробу, чисельником якого служить період, а знаменник зображується цифрою 9, написаної стільки разів, скільки цифр у періоді; при зверненні в простий дріб змішаної П. д. чисельником служить різниця між числом, що зображується цифрами, що передують другому періоду, і числом, що зображуються цифрами, що передують першому періоду; для складання знаменника треба написати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, і приписати праворуч стільки нулів, скільки цифр до періоду. Ці правила припускають, що дана П. д. правильна, тобто не містить цілих одиниць; в іншому випадку ціла частинавраховується особливо. Відомі також правила визначення довжини періоду П. д., що відповідає даному звичайному дробу. Наприклад, для дробу a/p, де р -просте число та 1 ≤ a ≤ p - 1, довжина періоду є дільником р - 1. Так, для відомих наближень до числа (див. Пі)
22/7 та 355/113 період дорівнює 6 та 112 відповідно.
Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .
Синоніми:Дивитись що таке "Періодична дріб" в інших словниках:
Нескінченний десятковий дріб, у якому, починаючи з деякого місця, періодично повторюється певна група цифр (період), напр. 0,373737... чисто періодичний дріб або 0,253737... змішаний періодичний дріб … Великий Енциклопедичний словник
Дроб, нескінченний дріб Словник російських синонімів. періодичний дріт істот., кіл у синонімів: 2 нескінченна дріб (2) … Словник синонімів
Десятковий дріб, ряд цифр якого повторюється в тому самому порядку. Наприклад, 0,135135135 є п. д., якій період 135 і яка дорівнює простого дробу 135/999 = 5/37. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Павленков Ф... Словник іноземних слів російської мови
Десятковий дріб дріб зі знаменником 10n, де n натуральне число. Має особливу форму запису: ціла частина в десятковій системі числення, потім кома і потім дробова частина в десятковій системі числення, причому кількість цифр дробової частини … Вікіпедія
Нескінченний десятковий дріб, у якому, починаючи з деякого місця, періодично повторюється певна група цифр (період); наприклад, 0,373737... чисто періодичний дріб або 0,253737... змішаний періодичний дріб. * * * ПЕРІОДИЧНА… … Енциклопедичний словник
Нескінченний десятковий дріб, в який, починаючи з деякого місця, періодично повторюється визнач. група цифр (період); напр., 0,373737... чисто П. д. або 0,253737... змішана П. д. Природознавство. Енциклопедичний словник
розділ... Словник російських синонімів і подібних за змістом висловів. під. ред. Н. Абрамова, М.: Російські словники, 1999. дріб дрібниця, частина; дунст, кулька, шрот, картеч; дробове числоСловник російських синонімів. Словник синонімів
періодичний десятковий дріб- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНИИС, 2003.] Тематики інформаційні технології загалом EN circulating decimalrecurring decimalperioding decimalperiodic decimalperiodical decimal … Довідник технічного перекладача
Якщо ділиться якесь ціле число а на інше ціле число b, тобто шукається число x, що задовольняє умові bx=а, то можуть представитися два випадки: або в ряді цілих чисел знайдеться число х, яке цій умові задовольнить, або виявиться ,… … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона
Дроб, знаменник якого є цілий ступіньчисла 10. Д. д. пишуть без знаменника, відокремлюючи в чисельнику праворуч коми стільки цифр, скільки нулів міститься у знаменнику. Наприклад, У такому записі частина, що стоїть ліворуч… Велика Радянська Енциклопедія
