Що таке періодичний дріб 6. Упорядкування системи рівнянь

Періодичний дріб - це такий дріб, у якого, починаючи з деякого знака після коми, повторюється певна впорядкована сукупність цифр нескінченне число разів. Така сукупність називається періодом.
Наприклад: 0,33333333...
Відразу після коми повторюються \одні трійки нескінченне число разів. (3) - це період дробу
Або ще:
42,345276276276276...
Починаючи з третього знака ми бачимо структуру, що повторюється (276). Це – період дробу.
Такий дріб можна записати скорочено, записуючи спочатку неповторні знаки після коми, а потім у дужках - період.
Так, 0,333333 ... можна записати як 0, (3) - читається нуль цілих і три в періоді.
42,345276276276... = 42,345(276) - читається сорок два цілих триста сорок п'ять тисячних та двісті сімдесят шість у періоді.
Можна записувати періодичні дроби, просто записавши кілька знаків після коми включаючи кілька періодів, що повторюються, а потім додати крапку. У таких ситуаціях ясно, що період повторюється.

Бувають і неперіодичні десяткові дроби. Вони не можна виділити жодну структуру, що повторюється. Це, наприклад, т.з. число е = 2,718281828459045235... Незважаючи на те, що деякі цифри тут повторюються, але для періодичності дробу необхідно, щоб певна сукупність цифр повторювалася нескінченне число разів.

Дроби бувають кінцевими та нескінченними. Так, дріб 0,3333... -Нескінченна десяткова періодична. Якщо дріб можна подати у вигляді дробу з кінцевим числом знаків після коми, він є кінцевим. Такий, наприклад, дріб 1,746. Її можна як 1,74600000....= 1,746(0), т. е. періодичного дробу з періодом 0.
З іншого боку 1,7460000000 = 1,7459999999 ... = 1,745 (9) (сувора рівність!). Таким чином, періодичні дроби з нулем або дев'яткою в період є кінцевими, а решта - нескінченними.

Всі десяткові періодичні дроби є раціональними числами, тобто такими, які можна у вигляді відношення цілого та натурального числа q = m/n, де m – ціле, n – натуральне. Це - запис звичайного дробу. Кожну звичайну нескоротний дріб можна у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу і до того єдиним чином (виключаючи розгляд випадку періодичного дробу з дев'яткою в періоді) і назад, кожен періодичний дріб можна представити у вигляді звичайного дробу - теж єдиним способом.

Приклад 1/3 - звичайний дріб. Якщо користуватися способом розподілу стовпчиком, у залишку буде весь час виходити 1, а запису числа - нові трійки, отже 1/3 = 0,333333... = 0,(3).
Нехай тепер дано дріб 42,345276276276 .... Потрібно уявити її у вигляді звичайного дробу. Нехай 42,345276276276... = х. Помножимо число на 1000, щоб період починався відразу після коми: 1000х = 42345,276276276...
Помножимо ще раз на 1000, тоді кома зміститься рівно на один період: 1000000х = 42345276,276276276.
Тепер
1000000х - 1000х = 42345276,276276276....-42345,276276276.. = 42302931
999000х = 42302931
х = 42302931/999000

§ 114. Звернення звичайного дробу до десяткового.

Звернути звичайний дрібв десятковий - це означає знайти такий десятковий дріб, який був би дорівнює даному звичайному дробу. При зверненні звичайних дробів до десяткових ми зустрінемося з двома випадками:

1) коли звичайні дроби можуть бути перетворені на десяткові точно;

2) коли звичайні дроби можуть бути звернені в десяткові лише наближено. Розглянемо ці випадки послідовно.

1. Як звернути звичайний нескоротний дріб у десятковий, або, іншими словами, як замінити звичайний дріб, що дорівнює йому десятковому?

У випадку, коли звичайні дроби можуть бути точнозвернені в десяткові, існує два способитакого звернення.

Згадаймо, як замінити один дріб інший, що дорівнює першому, або як перейти від одного дробу до іншого, не змінюючи величини першої. Цим ми займалися, коли наводили дроби до спільного знаменника (§86). Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, то чинимо так: знаходимо спільний знаменникдля цих дробів, обчислюємо для кожного дробу додатковий множник і потім множимо чисельник і знаменник кожного дробу на цей множник.

Помітивши це, візьмемо нескоротний дріб 3/20 і спробуємо звернути його до десяткового. Знаменник даного дробу дорівнює 20, а треба привести його до іншого знаменника, який зображався одиницею з нулями. Ми шукатимемо найменший із знаменників, що виражаються одиницею з наступними нулями.

Перший спосібобігу звичайного дробу в десятковий заснований на розкладанні знаменника на прості множники.

Необхідно дізнатися, яке число слід помножити 20, щоб добуток виразилося одиницею з нулями. Щоб це дізнатися, потрібно спочатку згадати, які прості множники розкладаються числа, зображувані одиницею з нулями. Ось ці розкладання:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

Ми бачимо, що число, що зображається одиницею з нулями, розкладається тільки на двійки та п'ятірки, а інших множників у розкладанні немає. Крім того, двійки та п'ятірки входять у розкладання в однаковій кількості. І, нарешті, число тих та інших множників окремо дорівнює числу нулів, що стоять після одиниці у зображенні даного числа.

Подивимося тепер, як розкладається 20 на прості множники: 20 = 2 2 5. З цього видно, що двійок у розкладанні числа 20 дві, а п'ятірок одна. Значить, якщо до цих множників ми додамо одну п'ятірку, то отримаємо число, яке є одиницею з нулями. Іншими словами, для того, щоб у знаменнику замість числа 20 вийшло число, що зображається одиницею з нулями, потрібно 20 помножити на 5, а щоб величина дробу не змінилася, потрібно помножити на 5 та її чисельник, тобто.

Таким чином, щоб звернути звичайний дріб у десятковий, потрібно знаменник цього звичайного дробу розкласти на прості множники і потім зрівняти в ньому число двійок і п'ятірок, ввівши в нього (і, звичайно, в чисельник) множники, що відсутні, в необхідному числі.

Застосуємо цей висновок до деяких дробів.

Звернути в десятковий дріб 3/50 . Знаменник цього дробу розкладається так:

отже, у ньому бракує однієї двійки. Додамо її:

Звернути в десятковий дріб 7/40 .

Знаменник цього дробу розкладається так: 40 = 2 2 2 5, тобто в ньому немає двох п'ятірок. Введемо їх у чисельник і знаменник як множники:

З того, що викладено, неважко дійти невтішного висновку, які прості дроби звертаються точно в десяткові. Цілком очевидно, що нескоротний звичайний дріб, знаменник якого не містить жодних інших простих множників, крім 2 і 5, звертається точно в десятковий. Десятковий дріб, який виходить від обігу деякого звичайного, матиме стільки десяткових знаків, скільки разів до складу знаменника звичайного дробу після його скорочення входить чисельно переважаючий множник 2 або 5.

Якщо ми візьмемо дріб 9 / 40 , то, по-перше, він звернеться до десяткового, тому що до складу його знаменника входять множники 2 2 2 5, по-друге, отриманий десятковий дріб матиме 3 десяткові знаки, тому що чисельно переважає множник 2 входить у розкладання тричі. Справді:

Другий спосіб(за допомогою розподілу чисельника на знаменник).

Нехай потрібно звернути до десяткового дробу 3/4 . Ми знаємо, що 3/4 є приватним від розподілу 3 на 4. Це приватне ми можемо знайти, розділивши 3 на 4. Зробимо це:

Таким чином, 3/4 = 0,75.

Ще приклад: звернути до десяткового дробу 5/8 .

Таким чином, 5/8 = 0,625.

Отже, щоб обернути звичайний дріб у десятковий, достатньо розділити чисельник звичайного дробу на його знаменник.

2. Розглянемо тепер другий із зазначених на початку параграфу випадків, тобто той випадок, коли звичайний дріб не може бути перетворений на точну десяткову.

Звичайний нескоротний дріб, знаменник якого містить будь-які прості множники, відмінні від 2 і 5, не може звернутися точно в десятковий. Справді, наприклад, дріб 8/15 не може звернутися до десяткового, тому що його знаменник 15 розкладається на два множники: 3 і 5.

Ми не можемо виключити трійку зі знаменника і не можемо підібрати такого цілого числа, щоб після множення на нього даного знаменника твір виявився одиницею з нулями.

У таких випадках можна говорити лише про наближеному зверненнізвичайних дробів у десяткові.

Як це робиться? Це робиться за допомогою розподілу чисельника звичайного дробу на знаменник, тобто в цьому випадку застосовують другий спосіб обігу звичайного дробу в десятковий. Отже, цей спосіб застосовується при точному зверненні і при наближеному.

Якщо звичайний дріб звертається точно в десятковий, то від розподілу виходить кінцевий десятковий дріб.

Якщо звичайний дріб не перетворюється на точну десяткову, то від поділу виходить нескінченний десятковий дріб.

Оскільки ми можемо виконати нескінченного процесу розподілу, ми повинні припинити розподіл на якомусь десятковому знаку, т. е. зробити наближене розподіл. Ми можемо, наприклад, припинити розподіл першому десятковому знаку, т. е. обмежитися десятими частками; у разі потреби ми можемо зупинитися на другому десятковому знаку, отримавши соті частки, і т. д. У цих випадках кажуть, що ми округляємо нескінченний десятковий дріб. Округлення проводиться з тією точністю, яка при вирішенні цього завдання необхідна.

§ 115. Поняття про періодичний дроб.

Нескінченний десятковий дріб, у якого одна або кілька цифр незмінно повторюються в одній і тій же послідовності, називається періодичним десятковим дробом. Наприклад:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

Сукупність повторюваних цифр називається періодомцього дробу. Період першого з написаних вище дробів є 3, період другого дробу 12, період третього дробу 234. Отже, період може складатися з декількох цифр - з однієї, з двох, з трьох і т. д. Перша сукупність цифр, що повторюються, називається першим періодом, друга сукупність - другим періодом тощо. буд., тобто.

Періодичні дроби бувають чисті та змішані. Періодичний дріб називається чистим, якщо його період починається відразу після коми. Отже, написані вище періодичні дроби будуть чистими. Навпаки, періодичний дрібназивається змішаною, якщо у неї між комою та першим періодом є одна або кілька неповторних цифр, наприклад:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

Для скорочення листа можна цифри періоду писати один раз у дужках і не ставити після дужок крапки, тобто замість 0,33 ... можна писати 0, (3); замість 2,515151... можна писати 2,(51); замість 0,2333 можна писати 0,2 (3); замість 0,8333 можна писати 0,8 (3).

Читаються періодичні дроби так:

0,(3) - 0 цілих, 3 у періоді.

7,2(3) - 7 цілих, 2 до періоду, 3 у періоді.

5,00 (17) - 5 цілих, два нулі до періоду, 17 у періоді.

Як виникають періодичні дроби? Ми вже бачили, що при обігу звичайних дробів у десяткові може бути два випадки.

По перше, знаменник звичайного нескоротного дробу не містить жодних інших множників, крім 2 та 5; у цьому випадку звичайний дріб звертається до кінцевої десяткової.

По-друге,знаменник звичайного нескоротного дробу містить у собі прості множники, відмінні від 2 і 5; у цьому випадку звичайний дріб не звертається до кінцевої десяткової. У цьому останньому випадку при спробі звернути звичайний дріб у десятковий за допомогою розподілу чисельника на знаменник виходить нескінченний дріб, який завжди буде періодичним.

Щоб у цьому переконатися, розглянемо якийсь приклад. Спробуємо звернути дріб - 18/7 в десятковий.

Ми, звичайно, заздалегідь знаємо, що дріб із таким знаменником не може звернутися в кінцевий десятковий, і ведемо мову лише про наближене поводження. Розділимо чисельник 18 на знаменник 7.

Ми отримали у приватному вісім десяткових знаків. Немає потреби продовжувати поділ далі, тому що воно все одно не скінчиться. Але звідси зрозуміло, що розподіл можна продовжувати нескінченно довго і, таким чином, отримувати у приватному нові цифри. Ці нові цифри виникатимуть тому, що в нас постійно виходитимуть залишки; але ніякий залишок не може бути більшим за дільник, який у нас дорівнює 7.

Подивимося, які ми мали залишки: 4; 5; 1; 3; 2; б, тобто це були числа, менші 7. Очевидно, їх не може бути більше шести, і при подальшому розподілі вони повинні будуть повторюватися, а за ними повторюватимуться і цифри приватного. Наведений вище приклад підтверджує цю думку: десяткові знаки в приватному йдуть у такому порядку: 571428, а потім знову з'явилися цифри 57. Отже, у нас закінчився перший період і починається другий.

Таким чином, нескінченний десятковий дріб, що виходить при обігу звичайного дробу, завжди буде періодичним.

Якщо періодичний дріб зустрічається при вирішенні якогось завдання, то він береться з тією точністю, яка потрібна умовою завдання (до десятої, до сотої, до тисячної і т. д.).

§ 116. Спільні дії зі звичайними та десятковими дробами.

При розв'язанні різних завдань ми зустрінемося з такими випадками, коли в завдання входять і прості, і десяткові дроби.

У цих випадках можна йти різними шляхами.

1. Звернути всі дроби до десяткових.Це зручно тому, що обчислення над десятковими дробами легше, ніж над звичайними. Наприклад,

Обернемо дроби 3/4 і 1 1/5 у десяткові:

2. Звернути всі дроби у прості.Так найчастіше надходять у тих випадках, коли зустрічаються звичайні дроби, що не звертаються до кінцевих десяткових.

Наприклад,

Обернемо десяткові дроби у прості:

3. Обчислення ведуть без обігу одних дробів до інших.

Це особливо зручно в тих випадках, коли в приклад входять лише множення та поділ. Наприклад,

Перепишемо приклад так:

4. У деяких випадках перетворюють всі звичайні дроби на десяткові(навіть ті, які звертаються до періодичних) і знаходять наближений результат. Наприклад,

Обернемо 2/3 у десятковий дріб, обмежившись тисячними частками.

Як відомо, безліч раціональних чисел (Q) включає безліч цілих чисел (Z), яке в свою чергу включає безліч натуральних чисел(N). Крім цілих чисел до раціональних чисел входять дроби.

Чому ж тоді всі безліч раціональних чисел розглядають іноді як нескінченні десяткові періодичні дроби? Адже, крім дробів, вони включають і цілі числа, а також неперіодичні дроби.

Справа в тому, що всі цілі числа, а також будь-який дріб можна представити у вигляді нескінченної періодичної. десяткового дробу. Тобто всім раціональних чисел можна використовувати однаковий спосіб записи.

Як представляється нескінченний періодичний десятковий дріб? У ній повторюючу групу цифр після коми беруть у дужки. Наприклад, 1,56(12) - це дріб, у якої повторюється група цифр 12, тобто дріб має значення 1,561212121212... і так без кінця. Група цифр, що повторюється, називається періодом.

Однак у подібному вигляді ми можемо уявити будь-яке число, якщо вважатимемо його періодом цифру 0, яка також повторюється без кінця. Наприклад, число 2 - це те саме, що 2,00000 .... Отже, його можна записати у вигляді нескінченного періодичного дробу, тобто 2, (0).

Те саме можна зробити і з будь-яким кінцевим дробом. Наприклад:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

Однак на практиці не використовують перетворення кінцевого дробу на нескінченний періодичний. Тому поділяють кінцеві дробита нескінченні періодичні. Таким чином, правильніше говорити, що до раціональним числамналежать

• всі цілі числа,
• кінцеві дроби,
• нескінченні періодичні дроби.

При цьому просто пам'ятають, що цілі числа і кінцеві дроби є у теорії як нескінченних періодичних дробів.

З іншого боку, поняття кінцевого і нескінченного дробу застосовні до десяткових дробів. Якщо говорити про звичайні дроби, то як кінцевий, так і нескінченний десятковий дріб можна однозначно уявити у вигляді звичайного дробу. Значить, з погляду звичайних дробів, періодичні та кінцеві дроби - це те саме. Крім того, цілі числа можуть бути представлені у вигляді звичайного дробу, якщо уявити, що ми ділимо це число на 1.

Як уявити десятковий нескінченний періодичний дріб у вигляді звичайного? Найчастіше використовують приблизно такий алгоритм:

1. Наводять дріб до вигляду, щоб після коми виявився лише період.
2. Примножують нескінченний періодичний дріб на 10 або 100 або … так, щоб кома пересунулася вправо на один період (тобто один період опинився в цілій частині).
3. Прирівнюють вихідний дріб (a) змінної x, а отриманий шляхом множення на число N дріб (b) - до Nx.
4. З Nx віднімають x. З b віднімаю a. Т. е. становлять рівняння Nx - x = b - a.
5. При розв'язанні рівняння виходить звичайний дріб.

Приклад переведення нескінченного періодичного десяткового дробу у звичайний дріб:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333 ... * 10
100x = 113,3333...
100x - 10x = 113,3333 ... - 11,3333 ...
90x = 102
x =

Пам'ятаєте, як у самому першому уроці про десяткові дроби я казав, що існують числові дроби, які не представлені у вигляді десяткових дробів (див. урок «Десятичні дроби»)? Ми ще вчилися розкладати знаменники дробів на множники, щоб перевірити, чи немає там чисел, відмінних від 2 та 5.

Так ось: я набрехав. І сьогодні ми навчимося перекладати абсолютно будь-яку числовий дрібу десяткову. Заодно познайомимося з цілим класом дробів із нескінченною значущою частиною.

Періодичний десятковий дріб - це будь-який десятковий дріб, у якого:

1. Значна частина складається із нескінченної кількості цифр;
2. Через певні інтервали цифри у значній частині повторюються.

Набір цифр, що повторюються, з яких складається значна частина, називається періодичною частиною дробу, а кількість цифр у цьому наборі - періодом дробу. Решта відрізку значущої частини, яка не повторюється, називається неперіодичною частиною.

Оскільки визначень багато, варто докладно розглянути такі дроби:

Цей дріб зустрічається в задачах найчастіше. Неперіодична частина: 0; періодична частина: 3; Довжина періоду: 1.

Неперіодична частина: 0,58; періодична частина: 3; Довжина періоду: знову 1.

Неперіодична частина: 1; періодична частина: 54; Довжина періоду: 2.

Неперіодична частина: 0; періодична частина: 641025; довжина періоду: 6. Для зручності частини, що повторюються, відокремлені один від одного пробілом - у цьому рішенні так робити не обов'язково.

Неперіодична частина: 3066; періодична частина: 6; Довжина періоду: 1.

Як бачите, визначення періодичного дробу засноване на понятті значній частині числа. Тому якщо ви забули, що це таке, рекомендую повторити - див. урок « ».

Перехід до періодичного десяткового дробу

Розглянемо звичайний дріб виду a/b. Розкладемо її знаменник на прості множники. Можливі два варіанти:

1. У розкладанні присутні лише множники 2 та 5. Ці дроби легко наводяться до десяткових – див. урок «Десятичні дроби». Такі нас не цікавлять;
2. У розкладанні є щось ще, крім 2 і 5. У цьому випадку дріб непредставний у вигляді десяткового, зате з нього можна зробити періодичний десятковий дріб.

Щоб задати періодичний десятковий дріб, треба знайти його періодичну та неперіодичну частину. Як? Переведіть дріб у неправильний, а потім розділіть чисельник на знаменник куточком.

При цьому відбуватиметься таке:

1. Спочатку розділиться ціла частина якщо вона є;
2. Можливо, буде кілька чисел після десяткової точки;
3. Через деякий час цифри почнуть повторюватися.

От і все! Повторювані цифри після десяткової точки позначаємо періодичною частиною, а те, що стоїть попереду – неперіодичною.

Завдання. Перекладіть звичайні дроби в періодичні десяткові:

Всі дроби без цілої частини, тому просто ділимо чисельник на знаменник «куточком»:

Як бачимо, залишки повторюються. Запишемо дріб у «правильному» вигляді: 1,733...=1,7(3).

Через війну виходить дріб: 0,5833 ... = 0,58(3).

Записуємо у нормальному вигляді: 4,0909...=4,(09).

Отримуємо дріб: 0,4141...=0,(41).

Перехід від періодичного десяткового дробу до звичайного

Розглянемо періодичний десятковий дріб X = abc (a 1 b 1 c 1). Потрібно перевести її в класичну «двоповерхову». Для цього виконаємо чотири простих кроки:

1. Знайдіть період дробу, тобто. підрахуйте скільки цифр знаходиться в періодичній частині. Нехай це буде число k;
2. Знайдіть значення виразу X · 10 k. Це рівносильно зсуву десяткової точки на повний період праворуч - див. урок «Множення та розподіл десяткових дробів»;
3. З отриманого числа треба відняти вихідний вираз. При цьому періодична частина «спалюється» і залишається звичайний дріб;
4. В отриманому рівнянні знайти X. Усі десяткові дроби переводимо у прості.

Завдання. Приведіть до звичайної неправильного дробучисла:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Працюємо з першим дробом: X = 9, (6) = 9,666.

У дужках міститься лише одна цифра, тому період k = 1. Далі множимо цей дріб на 10 k = 10 1 = 10. Маємо:

10X = 10 · 9,6666...=96,666...

Віднімаємо вихідний дріб і вирішуємо рівняння:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Тепер розберемося з другим дробом. Отже, X = 32, (39) = 32,393939.

Період k = 2, тому множимо все на 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939...=3239,3939...

Знову віднімаємо вихідний дріб і вирішуємо рівняння:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаємо до третього дробу: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Схема та сама, тому я просто наведу викладки:

Період k = 1 ⇒ множимо все на 10 k = 101 = 10;

10X = 10 · 0,30555...=3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Нарешті, останній дріб: X = 0, (2475) = 0,2475 2475 ... Знову ж таки, для зручності періодичні частини відокремлені один від одного пробілами. Маємо:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Існують дроби, у яких у дробовій частині деякі цифри нескінченно повторюються. Виглядають ці дроби так:

0,66666666666666…

0,33333333333333…

0,68181818181818…

Дроби такого виду називають періодичними. У цьому уроці спробуємо розібратися, що це за дроби і як із нею працювати.

Зміст уроку

Отримуємо періодичний дріб

Спробуємо розділити 1 на 3. Не будемо докладно зупинятися на тому, як це зробити. Цей момент докладно описаний в уроці, у пункті розподіл меншого числа на більше. Просунутий рівень.

Отже, ділимо 1 на 3

Видно, що ми отримуємо залишок 1, далі приписуємо до нього 0 і ділимо 10 на 3. І це повторюється знову і знову. В результаті, в дробовій частині щоразу виходить цифра 3. Поділ 1 на 3 триває нескінченно, тому розумніше зупинитися на досягнутому.

Такі дроби називають періодичними. Періодичними тому що у них є період цифр, який нескінченно повторюється. Період цифр може складатися з кількох цифр, а може складатися і з однієї, як у прикладі.

У прикладі, який ми розглянули вище, період дробу 0,33333… це цифра 3. Зазвичай, такі дроби записують скорочено. Спочатку записують цілу частину, потім ставлять кому і в дужках вказують період (цифру, що повторюється).

У нашому прикладі цифра, яка повторюється, це цифра 3 — вона є періодом у дробі 0,33333.. Тому скорочений запис виглядатиме так:

Читається як «нуль цілих і три в періоді»

приклад 2.Розділити 5 на 11

Це теж періодичний дріб. Період даного дробу це цифри 4 та 5, ці цифри повторюються нескінченно. Скорочений запис виглядатиме так:

Читається як «нуль цілих та сорок п'ять у періоді»

Приклад 3.Розділити 15 на 13

Тут період складається з кількох цифр, саме з цифр 153846. Для наочності період відокремлений синьою лінією. Скорочений запис для даного періодичного дробу буде виглядати так:

Читається як: «одна ціла сто п'ятдесят три тисячі вісімсот сорок шість у періоді».

Приклад 4.Розділити 471 на 900

У цьому прикладі період починається не відразу, а після цифр 5 і 2. Скорочений запис для даного періодичного дробу виглядатиме так:

Читається як: "нуль цілих п'ятдесят дві сотих і три в періоді".

Види періодичних дробів

Періодичні дроби бувають двох видів: чистіі змішані.

Якщо в періодичному дробі період починається відразу ж після коми, то такий періодичний дріб називають чистою. Наприклад, такі періодичні дроби є чистими:

Видно, що у цих дробах період починається відразу після коми.

Якщо ж у періодичному дробі період починається не відразу, а після деякої кількості цифр, що не повторюються, то такий періодичний дріб називають змішаної. Наприклад, такі періодичні дроби є змішаними:

Видно, що в цих дробах період починається не відразу, а після деякої кількості цифр, що не повторюються. Можна зрозуміти навіть за змістом, чому такі періодичні дроби називають змішаними. "Змішані" тому що дріб складається з періоду цифр і звичайних цифр, тобто "впереміш".

Позбавляємося хвоста

Подібно до того, як ящірка позбавляється хвоста, ми можемо позбавити періодичний дріб від періоду, що повторюється. Для цього достатньо округлити цей періодичний дріб до потрібного розряду.

Наприклад округлим періодичний дріб 0, (3) до розряду сотих. Щоб побачити цифру, що зберігається і відкидається, тимчасово запишемо дріб 0, (3) не в скороченому вигляді, а в повному:

Згадуємо правило заокруглення. Якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то остання збережена цифра залишається без змін.

Значить періодичний дріб 0, (3) при округленні до сотих перетворюється на дріб 0,33

Округлимо періодичний дріб 6,31 (6) до розряду тисячних.

Запишемо цей дріб у повному вигляді, щоб побачити цифру, що зберігається і відкидається:

Згадуємо правило заокруглення. Якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 5, 6, 7, 8 або 9, то остання цифра, що зберігається, збільшується на одиницю.

Значить періодичний дріб 6,31 (6) при округленні до тисячних перетворюється на дріб 6,317

6,31 (6) ≈ 6,317

Переведення чистого періодичного дробу в звичайний дріб

Переведення періодичного дробу в звичайну це операція, яку ми будемо застосовувати досить рідко. Тим не менш, для нашого розвитку бажано вивчити і цей момент. А почнемо ми з переведення чистого періодичного дробу до звичайного дробу.

Ми вже говорили, що якщо період періодичного дробу починається відразу після коми, такий дріб називають чистим.

Щоб перевести чистий періодичний дріб у звичайний дріб, потрібно в чисельник звичайного дробу записати період періодичного дробу, а в знаменник звичайного дробу записати кілька дев'яток. При цьому, кількість дев'яток має дорівнювати кількості цифр у періоді періодичного дробу.

Як приклад, розглянемо чистий періодичний дріб 0, (3) - нуль цілих і три в періоді. Спробуємо перевести їх у звичайну дріб.

Правило говорить, що в першу чергу в чисельник звичайного дробу необхідно записати період періодичного дробу. Отже, записуємо в чисельнику період дробу 0,(3) тобто трійку:

А в знаменник треба записати кілька дев'яток. При цьому, ця кількість повинна дорівнювати кількості цифр у періоді періодичного дробу 0, (3).

У періодичному дробі 0, (3) період складається з однієї цифри 3. Значить у знаменнику звичайного дробу записуємо одну дев'ятку:

Отриманий дріб можна скоротити на 3, тоді отримаємо наступне:

Отримали звичайний дріб.

Таким чином, при переведенні періодичного дробу 0, (3) у звичайний дріб виходить

приклад 2.Перевести періодичний дріб 0 (45) у звичайний дріб.

Тут період становить дві цифри 4 і 5. Записуємо ці дві цифри в чисельник звичайного дробу:

А в знаменник записуємо кілька дев'яток. При цьому, ця кількість повинна дорівнювати кількості цифр у періоді періодичного дробу 0, (45).

У періодичному дробі 0, (45) період складається з двох цифр 4 і 5. Значить у знаменнику звичайного дробу записуємо дві дев'ятки:

Отриманий дріб можна скоротити на 9, тоді отримаємо наступне:

Таким чином, при перекладі періодичного дробу 0, (45) у звичайний дріб виходить

Переведення змішаного періодичного дробу у звичайний дріб

Щоб перевести змішаний періодичний дріб у звичайний дріб, потрібно в чисельнику записати різницю в якій зменшуване це цифри, що стоять після коми в періодичному дробі, а віднімається - цифри, що стоять між комою і першим періодом періодичного дробу.

У знаменнику ж потрібно записати кілька дев'яток і нулів. При цьому, кількість дев'яток має дорівнювати кількості цифр у періоді періодичного дробу, а кількість нулів має дорівнювати кількості цифр між комою і періодом періодичного дробу.

Наприклад, переведемо змішаний періодичний дріб 0,31 (6) у звичайний дріб.

А в знаменнику запишемо кілька дев'яток і нулів. Кількість дев'яток має дорівнювати кількості цифр у періоді періодичного дробу 0,31 (6)

У дробі 0,31(6) період складається з однієї цифри. Значить у знаменник дробу записуємо одну дев'ятку:

У дробі 0,31 (6) між комою та періодом розташовується дві цифри. Значить у знаменнику дробу має бути два нулі. Дописуємо їх:

Отримали відповідь

Таким чином, при переведенні періодичного дробу 0,31 (6) у звичайний дріб, виходить

приклад 2.Перевести змішаний періодичний дріб 0,72 (62) у звичайний дріб

Спочатку запишемо в чисельнику різницю. Зменшуваними будуть усі цифри, що стоять після коми (включаючи і період), а віднімаються цифри, що стоять між комою та періодом:

Отже, записуємо в чисельнику різницю:

А в знаменнику запишемо кілька дев'яток і нулів. Кількість дев'яток має дорівнювати кількості цифр у періоді періодичного дробу 0,72 (62)

У дробі 0,72 (62) період складається із двох цифр. Значить у знаменник дробу записуємо дві дев'ятки:

Тепер дописуємо кількість нулів. Кількість нулів має дорівнювати кількості цифр між комою і періодом періодичного дробу.

У дробі 0,72 (62) між комою та періодом розташовується дві цифри. Значить у знаменнику дробу має бути два нулі. Дописуємо їх:

Отримали вираз, який легко обчислюється:

Отримали відповідь

Значить при переведенні періодичного дробу 0,72 (62) у звичайний дріб, виходить

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки