Як позбутися ірраціональності в чисельнику дробу. Звільнення від ірраціональності знаменника дробу
Перетворення виразів, що містять арифметичні квадратні корені
Мета уроку: створення умов формування умінь, спрощувати висловлювання, містять арифметичні квадратні коріння під час роботи у групах змінного состава.
Завдання уроку: перевірити теоретичну підготовку учнів, уміння отримувати квадратний коріньз-поміж них, формувати навички правильного відтворення своїх знань та вмінь, розвивати обчислювальні навички, виховувати вміння працювати в парах та відповідальності за загальну справу.
Хід уроку.
I. Організаційний момент. «ТАБЛИЦЯ ГОТОВНОСТІ»
Фіксація рівня готовності на початок заняття.
25 карток червоного кольору (5 балів), жовтого кольору (4 бали), синього
кольори (3 бали).
Таблиця готовності
5 балів (хочу знати, робити, вирішувати)
4 бали (я готовий до роботи)
3 бали (я не дуже добре почуваюся, я не розумію матеріал, мені потрібна допомога)
II . Індивідуальна робота за картками
Картка 1
Винести множник з-під знаку кореня:
Картка 2
Внести множник під знак кореня:
Картка 3
Спростити:
а)
б)
в)
(Перевірка після перевірки домашнього завдання)
III . Перевірка домашнього завдання.
№166, 167 усно фронтально
(Самооцінювання за допомогою сигнальних карток: зелений - все вірно, червоний - є помилка)
IV . Вивчення нового матеріалу. Робота у групах змінного складу.
Самостійно вивчити матеріал, щоб потім пояснити його членам групи. Клас ділиться на 6 груп по 4 особи.
1, 2 та 3 групи – учні із середніми здібностями
Як позбутися ірраціональності у знаменнику дробу? Розглянемо загальний випадок та конкретні приклади.
Якщо число або вираз, що стоїть під знаком квадратного кореня в знаменнику, є одним з множників, щоб позбутися ірраціональності в знаменнику і чисельнику, і знаменник дробу множимо на квадратний корінь з цього числа або виразу:
приклади.
1) ;
2) .
4, 5 і 6 групи - учні зі здібностями вище за середні.
Якщо знаменник дробу - сума або різниця двох виразів, що містять квадратний корінь, щоб позбутися ірраціональності в знаменнику множимо і чисельник, і знаменник на пов'язаний радикал:
приклади. Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу:
Робота у нових групах (4 групи по 6 осіб, від кожної групи по 1 особі).
Пояснення вивченого матеріалу членам нової групи. (взаємооцінювання – прокоментувати пояснення матеріалу учнем)
V . Перевірка засвоєння теоретичного матеріалу.На запитання відповідають учні, які пояснюють цю частину теоретичного матеріалу.
1) Як позбутися ірраціональності в знаменнику дробу, якщо число або вираз, що стоїть під знаком квадратного кореня в знаменнику, є одним із множників?
2) Як позбутися ірраціональності в знаменнику дробу, якщо знаменник дробу - сума чи різницю двох виразів, містять квадратний корінь?
3) як позбутися ірраціональності у знаменнику дробу
4) Як позбутися ірраціональності в знаменнику дробу
VI . Закріплення вивченого матеріалу. Перевірна самостійна робота.
№81 («Алгебра» 8 клас, А.Абилкасимова, І.Бекбоєв, А.Абдієв, З,Жумагулова)
№170 (1,2,3,5,6) («Алгебра» 8 клас, А.Шинібеков)
Критерії оцінювання:
Рівень А – № 81 приклади 1-5 відмітка «3»
Рівень – № 81 приклади 6-8 і №170 приклади 5,6 позначка «4»
Рівень С – № 170 приклади 1-6 відмітка «5»
(самооцінювання, перевірка за зразком у фліпчарті)
VII . Домашнє завдання.
№ 218
VIII. Рефлексія. «Телеграма»
Кожному пропонується заповнити бланк телеграми, отримавши у своїй таку інструкцію: «Що ви думаєте про минулому занятті? Що було для вас важливим? Чого ви навчилися? Що вам сподобалось? Що залишилося незрозумілим? У якому напрямі нам варто просуватися далі? Напишіть мені, будь ласка, про це коротке послання – телеграму з 11 слів. Я хочу дізнатися про вашу думку для того, щоб враховувати її в подальшій роботі».
Підсумок уроку.
При перетворенні дробового алгебраїчного виразу, в знаменнику якого записано ірраціональний вираз, зазвичай прагнуть уявити дріб так, щоб його знаменник був раціональним. Якщо A,B,C,D,... - деякі алгебраїчні вирази, можна вказати правила, з допомогою яких можна звільнитися від знаків радикала в знаменнику виразів виду
У всіх цих випадках звільнення від ірраціональності проводиться множенням чисельника та знаменника дробу на множник, вибраний так, щоб його добуток на знаменник дробу був раціональним.
1) Для звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу виду. У множимо чисельник і знаменник на
приклад 1. .
2) У разі дробів виду. Помножуємо чисельник та знаменник на ірраціональний множник
відповідно, тобто на сполучене ірраціональне вираження.
Сенс останньої дії у тому, що у знаменнику твір суми на різницю перетворюється на різницю квадратів, що вже буде раціональним виразом.
Приклад 2. Звільнитися від ірраціональності у знаменнику виразу:
Рішення, а) Примножуємо чисельник і знаменник дробу на вираз. Отримуємо (за умови, що )
3) У разі виразів типу
знаменник розглядається як сума (різниця) і множиться на неповний квадрат різниці (суми), щоб отримати суму (різницю) кубів ((20.11), (20.12)). На той самий множник множиться і чисельник.
Приклад 3. Звільнитися від ірраціональності у знаменнику виразів:
Рішення, а) Розглядаючи знаменник даного дробу як суму чисел і 1, помножимо чисельник і знаменник на неповний квадрат різниці цих чисел:
або остаточно:
У деяких випадках потрібно зробити перетворення протилежного характеру: звільнити дріб від ірраціональності в чисельнику. Воно проводиться аналогічно.
Приклад 4. Звільнитися від ірраціональності в чисельнику дробу.
МОУ ДОД Палац творчості дітей та молоді
Донська Академія Наук Юних Дослідників
Секція математики: алгебра та теорія чисел
Дослідницька робота на тему:
«Звільнення від ірраціональності знаменника дробу. Вилучення квадратного кореня із заданим ступенем точності»
Токарєв Кирило Михайлович
9-Б клас
МОУ ЗОШ №7
Керівник:
Щебет Віра Олексіївна,
Учитель математики
Г. Сальськ
Десять сторінок математики зрозумілою краще за сто сторінок, завчених на згадку і незрозумілих, а одна сторінка, самостійно опрацьована, краща за десять сторінок, зрозумілих виразно, але пасивно.
Зміст:
№ стор.
Вступ. 2
1. Історія кореня 2
2. Поняття кореня ступеня n 2
3. Основні властивості кореня 4
4. Звільнення від ірраціональності знаменника дробу 4
5. Вилучення квадратного кореня з наближенням до заданого розряду. 6
3. Висновок 8
4. Список літератури 9
1. Введення
Тема: Звільнення від ірраціональності знаменника дробу. Вилучення квадратного кореня із заданим ступенем точності.
Основне питання:М Чи можна витягти квадратний корінь з будь-якого числа із заданим ступенем точності , не маючи калькулятора та таблиці квадратів?
Цілі та завдання: Розглянути випадки вирішення виразів з радикалами, які не вивчаються у шкільному курсі математики, але необхідні на ЄДІ.
2. Основна частина
Знак кореня походить з малої латинської літери r (початкової в латинському слові radix – корінь), що зрісся з надрядковою межею. За старих часів надкреслення виразу використовувалося замість нинішнього ув'язнення в дужки, так що є лише видозмінений стародавній спосіб запису чогось ніби . Вперше таке позначення використав німецький математик Томас Рудольф у 1525 році.
Радикал - (позначення √), вираз, що використовується для позначення кореня числа. Вираз є корінь n-ого ступеня числа а , де n - показник ступеня кореня, а а - підкорене вираз. Кубічний корінь із десяти у вигляді радикала записується; інший спосіб запису кореня ступеня n числа х - це.
Поняття кореня ступеня n.
Коренем n-го ступеняз числа a називається таке число b, n-й ступіньякого дорівнює a (n ≥ 2). Позначається , де a - підкорене вираз (або число), n - показник кореня (n ≥ 2; n N).
За визначенням, якщо = a то .
Корінь ступеня n у складі a позначається символом . Відповідно до цього визначення a.
Знаходження кореня n-ого ступеня у складі a називається вилученням кореня. При непарному n існує корінь n-ого ступеня будь-якого дійсного числа a. При парному n існує корінь n-ого ступеня тільки для не негативного числа a. Щоб усунути двозначність кореня n-ого ступеня з числа a, вводиться поняття арифметичного кореня n-ого ступеня з числа a.
Основні властивості кореня:
Якщо коріння розглядати у безлічі дійсних чисел, то:
а) корінь парного ступеняз позитивного числамає два значення, рівні за абсолютною величиною та протилежні за знаком ;
Б) корінь парного ступеня з негативного числа у множині дійсних чисел не існує;
В) корінь непарного ступеня з позитивного числа має лише одне дійсне значення, яке є позитивним;
Г) корінь непарного ступеня з негативного числа має тільки одне дійсне значення, яке є негативним;
Д) корінь будь-який натурального ступеняз нуля дорівнює нулю.
Дія, за допомогою якого знаходиться корінь n-го ступеня з даного числа a, називається вилученням кореня n-йступеня у складі a, а результат вилучення кореня називають радикалом.
Алгебраїчні вирази, що містять операцію вилучення кореня, називаються ірраціональними.
Звільнення від ірраціональності знаменника дробу
Суть методу полягає у множенні та розподілі дробу на такий вираз, який дозволить виключити ірраціональність (квадратні та кубічні корені) Зі знаменника і зробить його простіше. Після цього дробу простіше призвести до спільному знаменникуі остаточно спростити вихідний вираз.
Алгоритм звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу:
Приклади:
Приклади 1) та 2) вивчаються у шкільному курсі математики
1) = 
Спробуємо аналогічно до прикладу 1) вирішити приклад 3)
3) 
.
Позбутися ірраціональності не вдалося. Отже, числом, пов'язаним буде число .
Наступний приклад вирішити легко.
Як знайти число, сполучене для числа 
? Спробуємо це число подати у вигляді двочлена таким чином
5) = .
Вийшло, отже, аналогічно можна вирішити наступне вираз:
6) = 
= = =
= 
Після перетворення виразу, що стоїть у чисельнику, отримаємо остаточну відповідь: 
Наступний вираз вирішився таким чином:
7)
Вилучення квадратного кореня з наближенням до заданого розряду.
Нехай потрібно витягти квадратний корінь з натурального числа m, причому відомо, що корінь витягується. Щоб знайти результат, іноді зручно користуватися наступним правилом.
1. Розіб'ємо число m на грані (справа ліворуч, починаючи з останньої цифри), включивши в кожну грань по дві цифри, що стоять поряд. При цьому слід врахувати, що якщо m складається з парного числа цифр, то першою (ліворуч) грані буде дві цифри; якщо число m складається з непарного числа цифр , то перша грань складається з однієї цифри. Кількість граней вказує кількість цифр результату.
2. Підбираємо найбільшу цифру, таку, що її квадрат не перевищує числа, що перебуває у першій грані; ця цифра – перша цифра результату.
3. Зведемо першу цифру результату в квадрат, віднімемо отримане число з першої грані, припишемо до знайденої різниці праворуч другу грань. Вийде деяке число A. Подвоївши наявну частину результату, отримаємо число а. Тепер підберемо таку найбільшу цифру x, щоб добуток числа ax (запис ax означає 10 * a + x) на x не перевищував числа А. Цифра x – друга цифра результату.
4. Добуток числа ax на x віднімемо з числа A, припишемо до знайденої різниці праворуч третю грань, вийде деяке число B. Подвоївши наявну частину результату, отримаємо число b. Тепер підберемо таку найбільшу цифру y, щоб добуток числа by на y не перевищував числа B. Цифра y - третя цифра результату.
Метою моєї роботи було підготуватися до єдиного державного іспиту в 11 класі. Я навчився витягувати квадратний корінь з будь-якого числа без застосування калькулятора та таблиці квадратів та звільняти знаменник дробу від ірраціональності. У ході роботи я дізнався багато нового, цікавого та корисного. Я впевнений, що результати цієї роботи допоможуть мені при вирішенні завдань ГІА у 9 класі та ЄДІ у 11 класі.
Список використаної литературы:
Збірник завдань з математики для вступників до вузів за редакцією М.І.Сканаві. В. К. Єгерьов, Б. А. Кордемський, В. В. Зайцев, М. "ОНІКС 21 століття", 2003р.
Алгебра та елементарні функції. Р. А. Калнін, М. "Наука", 1973р.
Математика. Довідкові матеріали. В. А. Гусєв, А. Г. Мордкович, М. "Освіта", 1990р.
Школярам про математики та математики. Укладач М.М.Ліман, М. Освіта, 1981р.
