Визначення останньої цифри. М. В. Ломоносов

Корисно запам'ятати таке правило: остання цифра добутку двох чисел дорівнює останній цифрі добутку останніх цифр співмножників.Зокрема, остання цифра твору залежить лише від останніх цифр співмножників.

а) Почнемо виписувати останні цифри ступенів двійки. На кожному кроці множимо результат попереднього кроку на 2 і, якщо виходить двозначне число, брати його останню цифру. Отримаємо: 2 1 = 2, 2 4 = 4, 2 3 = 8, 2 4 = 16 → 6, 2 5 → 6 · 2 = 12 → 2, 2 6 → 2 · 2 = 4, 2 7 → 4 · 2 = 8, 2 8 → 8 · 2 = 16 → 6, і т. д. Зауважимо, що останні цифри чергуються в такій послідовності: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6... При цьому остання цифра ступеня залежить від цього, з яким залишком показник ступеня ділиться на 4. Зокрема, коли показник ступеня ділиться на 4 без залишку (як 4, 8, 100), остання цифра ступеня дорівнює 6.

б) Остання цифра числа 54949 збігається з останньою цифрою числа 949. Останні цифри ступенів дев'ятки чергуються так: 9, 1, 9, 1, 9, 1... Тобто якщо показник ступеня непарний, ступінь закінчується на 9. Значить, і число 949 і вихідне число 54949 закінчуються на 9.

в) Остання цифра числа 2013 2013 збігається з останньою цифрою числа 3 2013 . Останні цифри ступенів трійки чергуються так: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1... Тобто остання цифра ступеня залежить від того, з яким залишком показник ділиться на 4. Зокрема, завжди, коли показник ступеня ділиться на 4 із залишком 1 (як 1, 5, 2013), остання цифра ступеня дорівнює 3. А отже, і остання цифра числа 2013 2013 дорівнює 3.

У книзі рекордів Гіннеса написано, що найбільше відоме просте число дорівнює (23 021 337 − 1). Чи не помилка це?

Рішення.При кожній операції з числа 10 х + у виходить число 3 х + у (тут y - остання цифра вихідного числа). Різниця цих чисел дорівнює 10 x + y − (3 x + y) = 7 х і значить, ділиться на 7. Значить, при кожному кроці поділеність числа на 7 зберігається (вихідне число, очевидно, ділилося на 7), а саме число зменшується . Оскільки операцію можна робити з будь-яким натуральним числом, в якому більше однієї цифри, ми рано чи пізно отримаємо однозначне число, кратне 7.

Остання цифра ступеня.

Наведемо невелике дослідження: чи є якась закономірність у тому, як змінюється остання цифра числа 2 n , де n– натуральне число, із зміною показника n. Для цього розглянемо таблицю:

Ми бачимо, що через кожні чотири кроки остання цифра повторюється. Помітивши це, неважко визначити останню цифру ступеня 2n для будь-якого показника n.

Справді, візьмемо число 2100 . Якби ми продовжили таблицю, воно потрапило б у стовпець, де перебувають ступеня 2 4 , 2 8 , 2 12 , показники яких кратні чотирьом. Значить, число 2100, як і ці ступені, закінчується цифрою 6.

Візьмемо, наприклад, 2 22 , якщо перевірити, просто порахувавши, то вийде 4194304 – остання цифра 4.

Тепер спробуємо користуватися таблицею, але у таблиці 4 числа, а показник ступеня 22, однак, після останнього числа це «коло» починається наново. Тому, показник ступеня 22 ділимо на 4, отримуємо число 5 і залишок 2 тобто ми зробимо 5 «кіл», і відрахуємо ще 2 вперед, а друге число – це 4, отже, таблиця працює.

А тепер подивимося, чи можна скласти таблиці для інших чисел. Все описувати не буду, тільки скажу, що у мене вийшло скласти таблицю для всіх чисел від 1 до 10, а далі повторюватиметься, припустимо, у 12 останні числа будуть такі ж, як і у 2, а у 25 – так само, як та у 5.

Закономірності зведення у ступінь:

Запис числа, що є повним квадратом, може закінчуватися лише цифрами 0, 1, 4, 5, 6 або 9.

Якщо запис числа закінчується цифрою 0, 1, 5 або 6, то зведення на будь-який ступінь не змінить останні цифри.

При зведенні будь-якого числа в п'яту міру його остання цифра не зміниться.

Якщо число закінчується цифрою 4 (або 9), то при зведенні в непарну міру остання цифра не змінюється, а при зведенні в парний ступінь зміниться на 6 (або 1 відповідно).

Якщо число закінчується цифрою 2, 3, 7 або 8, то при зведенні в ступінь можливі чотири різні цифри.

Дві останні цифри ступеня.

Ми тепер знаємо, що остання цифра рано чи пізно повторюватиметься. Але як же справа з двома останніми цифрами? Я наважусь припустити, що не тільки 2, а й 3 і більше останніх цифр повторюватимуться. Що ж перевіримо це, так само я помітила, що періоди з попередньої таблиці просто збільшилися в 5 разів, крім чисел 5 і 10, а про число 1 я писати не стала, оскільки результат завжди буде 1.

(Червоним колом виділено період)

Зауважимо, що в деяких чисел, наприклад, 1-е не входить у період, оскільки, наприклад, у числа 2, після останнього числа 52, буде 04, а не 02, тому воно саме не входить у цей період, отже, перед тим як обчислювати останні 2 цифри треба буде відняти з показника ступеня 1.

На жаль, з 2-ма останніми цифрами не вийде як з 1-ї, і останні 2 цифри 3 не будуть однакові з 2-ма останніми цифрами 13, і таблицю для інших треба складати окремо.

МОУ «Шербакульська середня загальноосвітня школа №1»

Наукове співтовариство учнів «Пошук»

Тема: "Остання цифра ступеня."

Виконала: учениця 7 «б» класу

Терентьєва Валентина

Керівник: Пушило Т.Л.

р.п. Шербакуль

2010 – 2011 навч. рік

· Вступ.

· Цілі роботи.

· Остання цифра ступеня.

· Закономірності зведення у ступінь

· Дві останні цифри ступеня.

· Завдання.

· Висновок.

· Використана література.

Вступ.

Одного разу, гортаючи сторінки книги «Тисяча проблемних задач з математики», я побачила з першого погляду дуже важке завдання, точніше сказати, треба було знайти останню цифру суми.

11989 + 21989 + 31989 + 41989 + 51989 +…+ 19891989 .

Потім я подумала, але ж має бути, якийсь раціональний спосіб обчислення і тут я почала рахувати.

Гіпотеза: Чи можна сказати, якою буде остання цифра в будь-якому ступені?

Цілі роботи:

· Дізнатися, чи можна побудувати таблицю останніх цифр різних ступенів.

· Знайти закономірність у них.

· Використовуючи таблицю практикуватися на легших завданнях і вирішити вищезгаданий приклад і якщо вийде складніші.

Остання цифра ступеня.

Наведемо невелике дослідження: чи є якась закономірність у тому, як змінюється остання цифра числа 2n, де n– натуральне число, із зміною показника n. Для цього розглянемо таблицю:

Ми бачимо, що через кожні чотири кроки остання цифра повторюється. Помітивши це, неважко визначити останню цифру ступеня 2n для будь-якого показника n .

Справді, візьмемо число 2100. Якби ми продовжили таблицю, воно потрапило б у стовпець, де перебувають ступеня 24, 28, 212, показники яких кратні чотирьом. Отже, число 2100, як і ці ступені, закінчується цифрою 6.

Візьмемо, наприклад, 222, якщо перевірити, просто порахувавши, то вийде 4194304 – остання цифра 4.

Тепер спробуємо користуватися таблицею, але у таблиці 4 числа, а показник ступеня 22, однак, після останнього числа це «коло» починається наново. Тому, показник ступеня 22 ділимо на 4, отримуємо число 5 і залишок 2 тобто ми зробимо 5 «кіл», і відрахуємо ще 2 вперед, а друге число – це 4, отже, таблиця працює.

А тепер подивимося, чи можна скласти таблиці для інших чисел. Все описувати не буду, тільки скажу, що у мене вийшло скласти таблицю для всіх чисел від 1 до 10, а далі повторюватиметься, припустимо, у 12 останні числа будуть такі ж, як і у 2, а у 25 – так само, як та у 5.

Закономірності зведення у ступінь:

• Запис числа, що є повним квадратом, може закінчуватися лише цифрами 0, 1, 4, 5, 6 або 9.
• Якщо запис числа закінчується цифрою 0, 1, 5 або 6, то зведення будь-якої міри не змінить останні цифри.
• При зведенні будь-якого числа в п'яту міру його остання цифра не зміниться.
• Якщо число закінчується цифрою 4 (або 9), то при зведенні в непарну міру остання цифра не змінюється, а при зведенні в парний ступінь зміниться на 6 (або 1 відповідно).
• Якщо число закінчується цифрою 2, 3, 7 або 8, то при зведенні в ступінь можливі чотири різні цифри.

Дві останні цифри ступеня.

Ми тепер знаємо, що остання цифра рано чи пізно повторюватиметься. Але як же справа з двома останніми цифрами? Я наважусь припустити, що не тільки 2, а й 3 і більше останніх цифр повторюватимуться. Що ж перевіримо це, так само я помітила, що періоди з попередньої таблиці просто збільшилися в 5 разів, крім чисел 5 і 10, а про число 1 я писати не стала, оскільки результат завжди буде 1.

(Червоним колом виділено період)

Зауважимо, що в деяких чисел, наприклад, 1-е не входить у період, оскільки, наприклад, у числа 2, після останнього числа 52, буде 04, а не 02, тому воно саме не входить у цей період, отже, перед тим як обчислювати останні 2 цифри треба буде відняти з показника ступеня 1.

На жаль, з 2-ма останніми цифрами не вийде як з 1-ї, і останні 2 цифри 3 не будуть однакові з 2-ма останніми цифрами 13, і таблицю для інших треба складати окремо.

По цих таблицях видно, що числа відрізняються, а збігається лише остання цифра.

Думаю, що таблицю з трьома останніми цифрами складати немає сенсу, тому що я хочу знайти раціональні способи, де не треба багато обчислювати, а в цій таблиці, у чисел, яких раніше був період 20 чисел буде по 100, тому я складатиму їх лише за потребою у таких чисел як 4, 5, 6, 7 та 9.

Завдання.

Завдання 1.

Знайдіть 2 останні цифри числа 81989 .

У таблиці 2-х останніх цифр, у числа 8 період 20, з показника ступеня віднімаємо 19800, саме стільки разів, період пройде повністю і зупинитися на 1989 - 1980 = 9, а на дев'ятому числі, а 9 число це 28.

Відповідь: останні 2 цифри числа 81989 - 28.

Завдання 2.

На контрольній роботі з перефарбовування юний хамелеон перефарбовується по черзі з червоного -> у жовтий -> зелений -> синій -> фіолетовий -> червоний -> жовтий -> зелений тощо. перефарбувався він 2010 разів і почавши з червоного він наприкінці став синім, але відомо що він припустився помилки, почервонів у той момент, коли мав придбати інший колір. Якого він був кольору перед цим почервонінням?

Зауважимо, що тут період повторення кольорів дорівнює 5. Червоний колір буде зустрічатися на числах, що закінчуються на 0 і 5. Значить і повинен був закінчити знову на червоному. Тому щоб знайти помилку перейдемо відразу до 2005 року перефарбовування. Тепер просто рахуватимемо по черзі змінюючи кольори до 2010-го. Відразу ж дивимося що він зробив помилку припустимо після жовтого, тоді виходить 2005-червоний, 2006 – жовтий 2007 – знову червоний (це його помилка), 2008 – жовтий, 2009 – зелений, 2010 – синій.

Відповідь: перед помилковим почервонінням хамелеон був жовтим.

Завдання 3.

Зараз на годиннику 10:00. Який час вони показуватимуть через 10 293 84 75 годин?

У годинник період повторення дорівнює 24, отже число 102938475 розділити на 24 = 4289103,12 ... 102938475 - (4289103 * 24) = 3. Значить час який годинник показуватиме через 102938475 годин дорівнює 10 +3.

Відповідь: через 102938475 годинник показуватиме 13:00.

Висновок.

Я зрозуміла як можна користуватися цією ознакою, склала таблиці, за допомогою яких можна визначати не тільки 1-ну а й 2 останні цифри та навчилася вирішувати подібні завдання. Думаю що я досягла того, що хотіла.

Вступ

« Математику вже потім слід вчити,

що вона розум у порядок наводить»

М. В. Ломоносов

Ці слова розкривають сутність предмета математика, оскільки саме вона, перш за все, вчить нас мислити, розмірковувати, аналізувати, робити висновки, висновки та підбивати підсумки. Математика одна із основних шкільних предметів, оскільки всі перелічені якості необхідні як математику, а й представнику будь-якої іншої науки. Розвитком цих якостей займається насамперед математика. Існують спеціальні завдання, спрямовані на формування названих умінь. Готуючись до різних математичних конкурсів, ми зіткнулися з таким завданням Якою буде остання цифра числа? На перший погляд це завдання може здатися досить складним і я взявся за обчислення.

У ході вирішення цього завдання виникла ідея дослідити, а якою буде остання цифра будь-якого натурального числабудь-якою мірою, чи є якась закономірність у тому, як змінюється остання цифра ступеня натурального числа?

Цілі роботи

Скласти опорну таблицю «Останні цифри ступеня», знайти закономірності у яких, навчиться обчислювати останні цифри ступенів.

Актуальність теми дослідження обумовлена ​​нагальною необхідністю пошуку швидких алгоритмів вирішення практично важливих завдань, відпрацювання навичок усного рахунку.

2. Остання цифра ступеня

Чи з'ясуємо чи якась закономірність у тому, як змінюється остання цифра числа, де N , n - натуральні числа, зі зміною показника n. Для цього складемо таблицю:

Для наочності складемо таблицю, де записані цифри, якими закінчуються записи натуральних чисел:

Заповнюючи стовпчики отримуємо такий результат: п'ятий і дев'ятий і т. д. ступінь числа закінчується тією ж цифрою, що і перший ступінь числа; шостий, десятий, чотирнадцятий ступінь і т. д. ступінь закінчується тією ж цифрою, що і другий ступінь числа; сьомий ступінь числа буде закінчуватися тією самою цифрою, як і третій ступінь числа.

3. Закономірності зведення у ступінь

Результати у таблиці повторюються через кожні чотири стовпці.

Про числа 1 і 10 не будемо писати, т.к. результат завжди буде 1 чи 0 відповідно.

Будь-який ступінь чисел 5 і 6 закінчується відповідно на 5 і 6.

Останні цифри ступенів чисел 4 і 9 повторюються через кожні два кроки, при зведенні на парний ступінь остання цифра не змінюється, буде відповідно 4 або 9, при зведенні на непарний ступінь зміниться на 6 або 1 відповідно.

Квадрат будь-якого натурального числа може закінчуватися на 0, 1,4, 5, 6 та 9,

Куб натурального числа може закінчуватися будь-якою цифрою

Використовуючи отримані результати, спробуємо знайти останні цифри ступеня по залишку від розподілу її показника на 4

Якщо залишок дорівнює 0 і підстава непарна, то число буде закінчуватися на 1 (крім чисел, що закінчуються на цифру 5), якщо підстава парна (крім круглих чисел), то числа будуть закінчуватися на цифру 6.

Тепер підбиратимемо такі числа, що при розподілі показника ступеня на 4 даватимуть залишки 1, 2, 3

Якщо залишок дорівнює 1, то остання цифра ступеня дорівнюватиме останній цифрі в запису підстави ступеня;

Якщо залишок дорівнює 2, то остання цифра ступеня дорівнюватиме останній цифрі в запису квадрата основи;

Якщо залишок дорівнює 3, то остання цифра ступеня дорівнюватиме останній цифрі в запису куба основи.

Отже, щоб знайти останню цифру ступеня натурального числа з натуральним показником, Треба знайти залишок від розподілу показника ступеня на 4

Останні цифри ступенів чисел 2, 12, 22 тощо (3, 13, 23 тощо) тощо збігатимуться.

4. Останні дві цифри ступеня

Ми бачимо, що остання цифра рано чи пізно повторюватиметься, а як буде справа з двома і трьома останніми цифрами? Ймовірно, вони також повторюватимуться. Для наочності складемо таблицю, де буде записано дві цифри, якими закінчуються записи натуральних чисел:

Дивлячись на таблицю, помічаємо що останні дві цифри теж повторюються, тільки період повторення збільшується, крім того, у деяких чисел 1-е не входить у період, так наприклад:

Але з 21 ступеня по 40 останні дві цифри повторюватимуться.

Останні цифри чисел 3,13 і 8 теж будуть повторюватися з періодом 20, але останні дві цифри чисел 3 і 13 не збігатимуться, не співпадатимуть останні дві цифри для ступенів чисел 4 і 14 і т.д.

Останні цифри чисел 4 і 9 повторюватимуться з періодом 10, останні цифри числа 6 будуть повторюватися з періодом 5, але число 6 не входить у період, останні цифри числа 7 будуть повторюватися з періодом - 4. Будь-який ступінь числа 5 (починаючи з 2 - ой) і 25 буде закінчуватися на 25, а число 15 в парного ступенябуде закінчуватися на 25, а в непарній на 75. Період чисел 11, теж дорівнюватиме 10, але тут є ще одна закономірність:

Для числа 11 у ступеня - число десятків дорівнюватиме показнику ступеня

Для числа 21 - період дорівнює 4, а число десятків дорівнюватиме числу, отриманому, якщо число 2 помножити на показник ступеня

5. Висновок

Визначити останню цифру ступеня числа не складно, ми легко склали алгоритм, для двох останніх цифр ступеня числа такий алгоритм вже не складеш, закономірності є, але їх менше. Вважаю, що таблицю із трьома останніми цифрами складати не має сенсу – не раціонально.

Ми провели велику роботу: склали таблиці для останньої та двох останніх цифр ступенів та отримали цікаві на наш погляд висновки. Результати роботи можуть бути використані на заняттях математичного гуртка та факультативах у 5-7 класах для розвитку інтересу до математики у учнів, а також для індивідуальної роботи з тими учнями, хто цікавиться математикою. Крім того, цими висновками можна скористатися під час підготовки до різних олімпіад та конкурсів. Крім того, сам процес проведеного дослідження дозволив нам ще раз переконатися у своїх можливостях.

6. Завдання

Визначте останню цифру у записі числа (відповідь 8)

Знайдіть останню цифру числа 2017 у ступені 4207. (відповідь 3)

Знайдіть останню цифру числа 12^39+13^41.

(8+3=11, остання цифра 1)

Знайдіть останню цифру суми ступенів числа 2 із показниками, рівними 32, 69, 469, 1995, 19951995.

(6+2+2+8+8=26 остання цифра 6)

У книзі рекордів Гіннеса написано, що найбільш відоме просте число дорівнює (−1). Чи не помилка це?

(опечатка. Число 23021 337 закінчується одиницею Тому остання цифра числа (23021 337 − 1) дорівнює 0, отже, це число ділиться на 10 і тому складове.)

Чи ділиться число+ на 10?

(Число 4730 закінчується цифрою 9, а число 3950 — цифрою 1 Значить їх сума закінчується на 0 і тому ділиться на 10.)

Знайдіть останню цифру числа. Ступені вважаються зверху вниз: =

Останні дві цифри числа 77 утворюють число 43 (це можна обчислити безпосередньо, відкидаючи при кожному множенні всі цифри результату, крім останніх двох). Значить, число 7 7 ділиться на 4 із залишком 3. Ступені сімки можуть закінчуватися на 7, 9, 3 або 1 (залежно від того, з яким рештою ділиться на 4 показник ступеня). У нашому випадку 43 ділиться на 4 із залишком 3, отже, і 7 7 ділиться на 4 із залишком 3 (відповідно до ознаки ділимості на 4). А у всіх ступенів сімки, показники яких діляться на 4 із залишком 3, остання цифра дорівнює 3).

Знайдіть 2 останні цифри числа 8 1989 .

У таблиці 2-х останніх цифр, у числа 8 період 20, (1989:20=99 залишок 9 , число 8 9 ступеня закінчується цифрами 28, останні 2 цифри числа 8 1989 - 28).

На контрольній роботі з перефарбовування юний хамелеон перефарбовується по черзі з червоного -> у жовтий -> зелений -> синій -> фіолетовий -> червоний -> жовтий -> зелений тощо. перефарбувався він 2010 разів і почавши з червоного він наприкінці став синім, але відомо що він припустився помилки, почервонів у той момент, коли мав придбати інший колір. Якого він був кольору перед цим почервонінням?

(Зауважимо, що тут період повторення кольорів дорівнює 5. Червоний колір буде зустрічатися на числах, що закінчуються на 0 і 5. Значить і повинен був закінчити знову на червоному. Тому щоб знайти помилку перейдемо відразу до 2005 перефарбовування. Тепер просто будемо вважати по черзі змінюючи кольору до 2010. Відразу ж дивимося що він зробив помилку припустимо після жовтого, тоді виходить 2005-червоний, 2006 - жовтий 2007 - знову червоний (це його помилка), 2008 - жовтий, 2009 -зелений, 2010 почервонінням хамелеон був жовтим).

Зараз на годиннику 10:00. Який час вони показуватимуть через 10 293 84 75 годин?

(У годин період повторення дорівнює 24, значить число 102938475 розділити на 24 = 4289103,12 ... 102938475 - (4289103 * 24) = 3. Значить час який години будуть показувати через 102938475 годин 13+4 показувати 13:00).

11. Довести, що число кратне 2.

12. Довести, що -1 разів 5 (при натуральному n).

13. Чи правильно, що 1,6*(-1) - ціле число за будь-якого (натуральному) n. 14. Якою цифрою закінчується добуток усіх двоцифрових чисел, кожне з яких закінчується на 7?

7. Використана література

1. «Усі завдання «Кенгуру» 1994-2008 - Санкт-Петербург, 2008.

2. «Завдання для підготовки до олімпіад. Математика 5-8 класи »упоряд. Н.В. Заболотнєва. – Волгоград: Вчитель, 2007. – 99с.

3. Ліхтарніков Л.М. Цікаві логічні завдання. (Для учнів початкової школи) Оформлення С. Григор'єва - СПб.: Лань, МІК, 1996. - 125с.

4. Л.М.Лоповок 1000 проблемних задач з математики. Книга для учнів Москва: Просвітництво, 1995

5. Пічурін Л.Ф. За сторінками підручника алгебри: Книга для учнів 7-9 кл. середньої школи - М: Просвітництво, 1990. - 224 с.: іл.

6. Чулков П.В. Математика. Шкільні олімпіади: методичний посібник. 5-кл./П.В. Чулков. - М: Видавництво НЦ ЕНАС, 2007. - 88с. (Портфель вчителя).

7. Шуба М.Ю. Цікаві завдання у навчанні математики: Книга для вчителя. - 2-ге вид.-М.: Просвітництво, 1995. - 22с.