Додавання коріння з цілими числами. Знову в школу. Складання коренів

Арифметичним корінням n-йступеня з дійсного числа a називають таке невід'ємне число x, n-й ступіньякого дорівнює числу a. Тобто. (vn) a = x, x^n = a. Існують різні способи складання арифметичного кореняі раціонального числа. Тут для більшої наочності буде розглянуто коріння другого ступеня (або квадратне коріння), пояснення будуть доповнені прикладами з обчисленням коріння інших ступенів.

Спонсор розміщення P&G Статті по темі Як скласти корінь і число Як складати квадратні корені Як знайти діагональ квадрата Як знайти координати вершини параболи

Інструкція

Нехай задано вирази виду a + vb. Перше, що потрібно зробити - це визначити, чи не є число b повним квадратом. Тобто. спробувати знайти таке число c, що c ^ 2 = b. У цьому випадку ви отримуєте квадратний корінь із числа b, отримуєте число c і складаєте його з числом a: a + vb = a + v(c^2) = a + с. Якщо ви маєте справу не з квадратним коренем, а з коренем n-го ступеня, то для повного отримання числа b з під знака кореня необхідно, щоб це число було n-им ступенемдеякого числа. Наприклад, число 81 витягнеться з-під квадратного кореня: v81 = 9. Також воно витягнеться з-під знака кореня четвертого ступеня: (v4) 81 = 3.

Зверніть увагу на такі приклади.
7 + v25 = 7 + v(5^2) = 7 + 5 = 12. Тут під знаком квадратного кореня стоїть число 25, яке є повним квадратом числа 5.
7 + (v3)27 = 7 + (v3) (3^3) = 7 + 3 = 10. Тут було витягнуто кубічний корінь із числа 27, яке є кубом числа 3.
7 + v (4/9) = 7 + v ((2/3) ^ 2) = 7 + 2/3 = 23/3. Для вилучення кореня з дробу необхідно витягти корінь з чисельника і знаменника.

Якщо число b під знаком кореня не є повним квадратом, спробуйте розкласти його на множники і винести множник, що є повним квадратом, з під знака кореня. Тобто. нехай число b має вигляд b = c^2*d. Тоді vb = v (c ^ 2 * d) = c * vd. Або число b може містити у собі квадрати двох чисел, тобто. b = c^2 * d^2 * e * f. Тоді vb = v(c^2 * d^2 * e * f) = c * d * v (e * f).

Приклади винесення множника з-під знаку кореня:
3 + v18 = 3 + v (3 ^ 2 * 2) = 3 + 3v2 = 3 * (1 + v2).
3 + v (7 / 4) = 3 + v (7 / 2 ^ 2) = 3 + v7 / 2 = (6 + v7) / 2. У цьому прикладі було винесено повний квадрат із знаменника дробу.
3 + (v4) 240 = 3 + (v4) (2 ^ 4 * 3 * 5) = 3 + 2 * (v4) 15. Тут вдалося винести 2 в четвертому ступені з під знака кореня четвертого ступеня.

І нарешті, якщо вам необхідно отримати приблизний результат (якщо, якщо підкорене виразне є повним квадратом), скористайтесь калькулятором для обчислення значення кореня. Наприклад, 6 + v7? 6+2,6458 = 8,6458.

Інші новини по темі:

Перед вами стоїть завдання вилучення кубічного кореня із числа. Значок кореня з цифрою три поруч може спочатку заплутати недосвідчену в математиці людину. Тому перед вилученням кубічного кореня варто спочатку ознайомитися з визначенням самого кубічного кореня. Спонсор розміщення P&G Статті

Коренем називають значок, що позначає математичну операцію знаходження такого числа, зведення якого в зазначений перед знаком кореня ступінь має дати число, вказане під цим знаком. Часто на вирішення завдань, у яких присутні коріння, недостатньо лише розрахувати значення.

Знаком кореня у математичних науках називається умовне позначення для коріння. Число, що знаходиться під знаком кореня, називається підкореним виразом. За відсутності показника ступеня корінь є квадратним, інакше цифра вказує показник ступеня. - ручка; -

Найчастіше буває простіше порахувати на калькуляторі підкорене вираз. Але якщо необхідно вирішити завдання в загальному вигляді або підкорене вираз містить невідомі змінні або за умовами завдання його треба тільки спростити, а не обчислювати, доведеться шукати способи винесення

Квадратним коренем у складі x називають число a, яке за множенні саме він дає число x: a * a = a^2 = x, vx = a. Як і над будь-якими числами, над квадратним корінням можна виконувати арифметичні операції складання та віднімання. Спонсор розміщення P&G Статті на тему "Як складати квадратні

Коренем n ступеня з числа називають таке число, яке при зведенні в цей ступінь дасть число, з якого витягується корінь. Найчастіше, дії виробляються з корінням квадратним, яке відповідає 2 ступеня. При вилученні кореня часто неможливо знайти його явно, а результатом є

Квадратним коренем у складі x називають число a, яке за множенні саме він дає число x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Як і над будь-якими числами, над квадратним корінням можна виконувати арифметичні операції складання та віднімання.

Інструкція

По-перше, при складанні квадратного коріння спробуйте витягти це коріння. Це буде можливим, якщо числа під знаком кореня є повними квадратами. Наприклад, нехай задано вираз ?4 + ?9. Перше число 4 – це квадрат числа 2. Друге число 9 – це квадрат числа 3. Таким чином, виходить, що: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

Якщо під знаком кореня немає повних квадратів, спробуйте винести з під знака кореня множник числа. Наприклад, нехай дано вираз ?24 + ?54. Розкладіть числа на множники: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. У числі 24 є множник 4, який можна винести з під знака квадратного кореня. У числі 54 - множник 9. Отже, виходить що: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6. В даному прикладі в результаті винесення множника з під знаку кореня вдалося спростити заданий вираз.

Нехай сума двох квадратних коренів є знаменником дробу, наприклад, A/(?a+?b). І нехай перед вами стоїть завдання «позбутися ірраціональності у знаменнику». Тоді можна скористатися в такий спосіб. Помножте чисельник і знаменник дробу на вираз a - b. Таким чином у знаменнику вийде формула скороченого множення: (?a +? b) * (?a -? b) = a - b. За аналогією, якщо в знаменнику дано різницю коріння: ?a - ?b, то чисельник і знаменник дробу необхідно помножити на вираз?a + ?b. Наприклад, нехай даний дроб 4 / (? 3 +? 5) = 4 * (? 3 -? 5) / ((? 3 +? 5) * (? 3 -? 5)) = 4 * (? 3 - ? 5) / (-2) = 2 * (? 5 - ? 3).

Розгляньте більше складний прикладпозбавлення ірраціональності в знаменнику. Нехай даний дроб 12 / (? 2 +? 3 +? 5). Необхідно помножити чисельник і знаменник дробу на вираз?2 + ?3 - ?5:
12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ((?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

І нарешті, якщо вам необхідно лише приблизне значення, то можна порахувати значення квадратного коріння на калькуляторі. Обчисліть значення окремо для кожного числа та запишіть із необхідною точністю (наприклад, два знаки після коми). А потім здійсніть необхідні арифметичні операції, як з звичайними числами. Наприклад, нехай необхідно дізнатися приблизне значення виразу? 7 +? 5? 2,65+2,24=4,89.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у Особливому розділі 555.
Для тих, хто дуже не дуже.
І для тих, хто дуже.

Це поняття дуже просте. Звичайно, я б сказав. Математики на кожну дію намагаються знайти протидію. Є додавання - є і віднімання. Є множення – є й поділ. Є зведення у квадрат. Значить, є і вилучення квадратного кореня!От і все. Це дія ( вилучення квадратного кореня) в математиці позначається таким значком:

Сам значок називається красивим словом ", радикал",.

Як отримати корінь?Це краще розглянути на приклади .

Скільки буде квадратний корінь із 9? А яке число у квадраті дасть нам 9? 3 у квадраті дасть нам 9! Тобто:

А ось скільки буде квадратний корінь із нуля? Не питання! Яке число у квадраті нуль дає? Та сам нуль і дає! Значить:

Вловили, Що таке квадратний корінь?Тоді рахуємо приклади :

Відповіді (безладно): 6, 1, 4, 9, 5.

Вирішили? Справді, куди простіше.

Але. Що робить людина, коли бачить якесь завдання з корінням?

Тужить починає людина. Не вірить він у простоту та легкість коріння. Хоча, начебто, і знає, що таке квадратний корінь.

Все тому, що людина проігнорувала кілька важливих пунктиків щодо коріння. Потім ці пунктики жорстоко мстять на контрольних та іспитах.

Пунктик перший. Коріння треба пізнавати в обличчя!

Скільки буде корінь квадратний із 49? Сім? Правильно! А як ви дізналися, що сім? Звели сімку в квадрат та отримали 49? Правильно! Зверніть увагу, щоб витягти коріньз 49 нам довелося виконати зворотну операцію - звести 7 у квадрат! І переконатися, що ми не схибили. А могли й схибити.

У цьому є складність вилучення коренів. Звести у квадратможна будь-яке число без особливих проблем. Помножити число саме собою стовпчиком - та й усі справи. А ось для вилучення коренятакої простої та безвідмовної технології немає. Доводиться підбиративідповідь та перевіряти його на влучення зведенням у квадрат.

Цей складний творчий процес - підбір відповіді - спрощується, якщо ви пам'ятайтеквадрати популярних чисел. Як таблицю множення. Якщо, скажімо, треба помножити 4 на 6 – ви ж не складаєте четвірку 6 разів? Відразу випливає відповідь 24. Хоча, не всі вони випливає, так.

Для вільної та успішної роботи з корінням достатньо знати квадрати чисел від 1 до 20. тудиі назад.Тобто. ви повинні легко називати як, скажімо, 11 у квадраті, так і корінь квадратний із 121. Щоб досягти такого запам'ятовування, є два шляхи. Перший – вивчити таблицю квадратів. Це чудово допоможе вирішувати приклади. Другий - вирішувати більше прикладів. Це чудово допоможе запам'ятати таблицю квадратів.

І жодних калькуляторів! Тільки для перевірки. Інакше на іспиті гальмуватимете нещадно.

Отже, що таке квадратний коріньі як добувати коріння- гадаю, зрозуміло. Тепер з'ясуємо З ЧОГО можна їх витягувати.

Пунктик другий. Корінь, я не знаю тебе!

З яких чисел можна добувати квадратне коріння? Та майже з будь-яких. Простіше зрозуміти, з чого не можнаїх витягувати.

Спробуємо обчислити такий корінь:

Для цього потрібно підібрати число, яке у квадраті дасть нам -4. Підбираємо.

Що не підбирається? 2 2 дає +4. (-2) 2 дає знову +4! Ось ось. Немає таких чисел, які при зведенні квадрата дадуть нам негативне число! Хоча я такі цифри знаю. Але вам не скажу. Вступіть до інституту - самі дізнаєтесь.

Така сама історія буде з будь-яким негативним числом. Звідси висновок:

Вираз, у якому під знаком квадратного кореня стоїть негативне число - не має сенсу. Це заборонена операція. Така ж заборонена, як і поділ на нуль. Запам'ятайте цей факт залізно!Або, іншими словами:

Квадратне коріння з негативних чиселвитягти не можна!

Зате з решти - можна. Наприклад, цілком можна вирахувати

На перший погляд, це дуже складно. Підбирати дроби, та у квадрат зводити. Не хвилюйтеся. Коли розберемося з властивостями коренів, такі приклади будуть зводитися до тієї ж таблиці квадратів. Життя стане простіше!

Ну гаразд дробу. Але нам ще трапляються вирази типу:

Нічого страшного. Все теж саме. Корінь квадратний із двох – це число, яке при зведенні у квадрат дасть нам двійку. Тільки число це зовсім нерівне. Ось воно:

Що цікаво, цей дріб не закінчується ніколи. Такі числа називаються ірраціональними. У квадратному корінні це - звичайнісінька справа. До речі, саме тому вирази з корінням називають ірраціональними. Зрозуміло, що писати весь час такий нескінченний дріб незручно. Тому замість нескінченного дробу так і залишають:

Якщо при вирішенні прикладу у вас вийшло щось нездійсненне, типу:

то так і залишаємо. Це буде відповідь.

Потрібно чітко розуміти, що під значками

Звичайно, якщо корінь із числа витягується рівно. ви повинні це зробити. Відповідь завдання у вигляді, наприклад

цілком собі повноцінна відповідь.

І, звичайно, треба знати на згадку приблизні значення:

Це знання дуже допомагає оцінити ситуацію в складних завданнях.

Пунктик третій. Найхитріший.

Основну плутанину в роботу з корінням вносить саме цей пункт. Саме він надає невпевненості у власних силах. Розберемося з цим пунктиком як слід!

Для початку знову вийдемо квадратний корінь їх чотирьох. Що, вже дістав я вас із цим корінням?) Нічого, зараз цікаво буде!

Яке число дасть у квадраті 4? Ну два, два – чую незадоволені відповіді.

Правильно. Два. Але ж і мінус двадасть у квадраті 4. А тим часом, відповідь

правильна, а відповідь

груба помилка. Ось так.

Так у чому ж справа?

Дійсно, (-2) 2 = 4. І під визначення кореня квадратного із чотирьох мінус двацілком підходить. Це теж корінь квадратний із чотирьох.

Але! У шкільному курсі математики прийнято вважати за квадратне коріння тільки негативні числа!Тобто нуль та всі позитивні. Навіть термін спеціальний придуманий: з числа а- це невід'ємнечисло, квадрат якого дорівнює а. Негативні результати при одержанні арифметичного квадратного кореня просто відкидаються. У школі все квадратне коріння - арифметичні. Хоча особливо про це не згадується.

Ну гаразд, це зрозуміло. Це навіть і краще - не поратися з негативними результатами. Це ще не плутанина.

Плутанина починається при розв'язанні квадратних рівнянь. Наприклад, треба вирішити таке рівняння.

Рівняння просте, пишемо відповідь (як учили):

Така відповідь (цілком правильна, до речі) - це просто скорочений запис двохвідповідей:

Стоп-стоп! Трохи вище я написав, що квадратний корінь – число завждиневід'ємне! А тут одна з відповідей - негативний. Непорядок. Це перша (але не остання) проблемка, яка викликає недовіру до коріння. Вирішимо цю проблемку. Запишемо відповіді (чисто для розуміння!) ось так:

Дужки суті відповіді не змінюють. Просто я відокремив дужками знакивід коріння. Тепер видно, що сам корінь (у дужках) - число все одно невід'ємне! А знаки – це результат вирішення рівняння. Адже при вирішенні будь-якого рівняння ми маємо записати Усеікси, які при підстановці у вихідне рівняння дадуть правильний результат. У наше рівняння підходить корінь із п'яти (позитивний!) як із плюсом, так і з мінусом.

Ось так. Якщо ви просто витягуєте квадратний коріньз чогось, ви завждиотримуєте один невід'ємнийрезультат. Наприклад:

Бо це - арифметичний квадратний корінь .

Але якщо ви вирішуєте якесь квадратне рівняння, типу:

то завждивиходить двавідповіді (з плюсом та мінусом):

Тому що це – рішення рівняння.

Сподіваюся, що таке квадратний коріньзі своїми пунктиками ви усвідомили. Тепер залишилося дізнатися, що можна робити з корінням, якими є їхні властивості. І які там пунктики та підводні кор. вибачте, каміння!)

Все це – у наступних уроках.

Наступна сторінка: Квадратне коріння. Формули коріння. Властивості коріння. Як множити коріння?

Якщо вам подобається цей сайт.

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Ось тут можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

А ось тут можна познайомитися з функціями та похідними.

У математиці будь-яка дія має свою пару-протилежність – по суті, це є одним із проявів гегелівського закону діалектики: «єдність і боротьба протилежностей». Одне з дій у такій «парі» спрямоване збільшення числа, інше, зворотне йому – зменшення. Наприклад, дія, протилежна додавання - це віднімання, множенню відповідає розподіл. Є і своя діалектична пара-протилежність і зведення в ступінь. Йдеться про вилучення кореня.

Витягти з-поміж корінь такого-то ступеня – це означає обчислити, яке число необхідно звести у відповідний ступінь, щоб у результаті вийшло це число. Два ступені мають свої окремі назви: другий ступінь називається «квадратом», а третій – «кубом». Відповідно, коріння цих ступенів приємно назвати квадратним коренем і кубічним. Дії з кубічним корінням– тема для окремої розмови, а зараз поговоримо про складання квадратного коріння.

Почнемо з того, що у ряді випадків квадратне коріння простіше спочатку витягти, а потім уже складати результати. Припустимо, нам необхідно знайти значення такого виразу:

Адже зовсім не складно вирахувати, що корінь квадратний із 16 дорівнює 4, а зі 121 – 11. Отже,

√16+√121=4+11=15

Втім, це найпростіший випадок – тут йдеться про повні квадрати, тобто. про такі числа, що виходять при зведенні в квадрат цілих чисел. Але так не завжди. Наприклад, число 24 - це не повний квадрат (не знайти такого цілого числа, яке при зведенні його на другий ступінь дало б в результаті 24). Те саме відноситься до такого числа, як 54… Що робити, якщо нам необхідно скласти коріння квадратне з цих чисел?

У разі ми отримаємо у відповіді не число, а інший вираз. Максимум, що ми можемо зробити – це максимально спростити вихідне вираження. Для цього доведеться винести множники з-під кореня квадратного. Подивимося, як це робиться, на прикладі згаданих чисел:

Для початку розкладемо на множники 24 - таким чином, щоб з одного з них можна було легко витягнути корінь квадратний (тобто, щоб він був повним квадратом). Таке число є – це 4:

Тепер проробимо те саме з 54. У його складі таким числом буде 9:

Т.ч., у нас виходить таке:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Тепер витягнемо коріння з того, з чого можемо їх видобути: 2*√6+3*√6

Тут є загальний множник, який ми можемо винести за дужки:

(2+3)* √6=5*√6

Це і буде результатом додавання - більше нічого тут витягти не можна.

Правда, можна вдатися до допомоги калькулятора - правда, результат буде приблизним і з величезною кількістю знаків після коми:

√6=2,449489742783178

Поступово округляючи його, ми отримаємо приблизно 2,5. Якщо нам таки хотілося б довести до логічного завершеннярозв'язання попереднього прикладу, ми можемо помножити цей результат на 5 - і вийде у нас 12,5. Більш точного результату за таких вихідних даних отримати не можна.