Конспект уроку

у 8 класі

по темі

«Звільнення від ірраціональності у знаменнику»

Провела: учитель математики

Темірова Вікторія Георгіївна

Тема: Звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу.

Цілі:

Повторити перетворення виразів, що містять квадратний корінь, З використанням формул скороченого множення.

Виробити алгоритм звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу.

Розвивати логічне мислення, вміння застосовувати отримані знання на тему під час виконання самостійної роботи, розвивати термінологічну мову та комунікативні навички.

Виховувати: прищеплювати культуру спілкування - вміння слухати, ясно і чітко викладати свої думки, критично оцінювати аргументи, що наводяться, шанобливо ставитися до думки співрозмовника; виховувати спостережливість, увагу, ініціативу, доброзичливість.

Обладнання:проектор, екран, карти знань, картки для усного рахунку, девіз на плакаті

Хід уроку.

Організація уроку.(Здрастуйте, хлопці. Мене звуть... Я вчитель математики Тюльпанської ЗОШ і сьогодні урок у вашому класі проведу я)

Якщо щось у вас не вийде, Давайте разом намагатимемося,

не потрібно переживати і мучитися, щоб з роботою на уроці впоратися.

Психологічний тренінг . А щоб усе вийшло, ми зараз проведемо короткий тренінг

-Потріть мочки вух, щоб добре чути

-Потріть віскі, щоб добре думати

-Потріть лоба, щоб відкрилося третє око

-Потріть перенісся, щоб добре бачити

-Потріть долоні, щоб активізувати всі центри вашого мозку.

А тепер запишіть число, класна робота.

На уроці я пропоную вам попрацювати під девізом: "Книга - книгою, а мізками рухай".

Усний рахунок

1.Винести множник з-під кореня:

2. Внести множник під корінь:

Повідомлення теми та мети уроку

Як ви думаєте, над якою темою ми сьогодні працюватимемо?

Сьогодні на уроці ми вивчатимемо тему: «Звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу».

Заповніть карти знань, що лежать у вас на столі, тільки дві перші колонки. Третью колонку заповніть протягом уроку, коли зрозумієте, що ви дізналися нове або навчилися чогось нового. (2 хв)

Вивчення нової темиНазвіть основну властивість дробу? Вчитель вивішує плакат на дошці:

.

Ставитися проблема : Якщо знаменник алгебраїчної дробу містить знак квадратного кореня, зазвичай говорять, що у знаменнику міститься ірраціональність. Який вираз простіше обчислити: або ? Чому? (Бо ділити на раціональне число простіше, ніж на ірраціональне.)

Як звільнитися від ірраціональності у знаменнику? (обговорення)

Спробуємо звільнитися від ірраціональності у знаменнику в наступних прикладах:

а) ; в)

; г)

. Для цього звернемося до завдання 4.

На який вираз потрібно помножити знаменник дробу, щоб коріння «зникло»? А для того, щоб дріб не змінився, що потрібно зробити? Отримуємо наступний запис рішення (плакат).

а) =

; б)

=

; в)

=

Зробимо висновок.

Перетворення, у якому в знаменнику дроби зникають коріння, називають звільненням від ірраціональності в знаменнику. Ми побачили два основні прийоми звільнення від ірраціональності у знаменнику: Зробіть висновок

Вирази

і

називають сполученими виразами.

Закріплення дослідженої теми.

Усна робота.(Демонстраційні картки)

Назвіть множник, який звільнить знаменник від ірраціональності:

3.ФІЗМИНУТКА (здоров'я, що зберігають технології для очей – слайд.)

4. Самостійна робота

За різнорівневими картками

1-в:

2-в:

Рефлексія.

Продовжіть фразу:

Найскладнішим на уроці було…

Яку проблему ставили на уроці?

Чи вдалося нам її вирішити?

Домашнє завдання.

№374(2 стор), №352.

Дякую за урок!

Додаток.

а) =

;

в)

=

г)

=

Продовжіть фразу:

Найскладнішим на уроці було…

Найцікавішим під час роботи для мене було…

Найнесподіванішим для мене було…

Інструкція

Перш ніж позбутися ірраціональності дробив знаменникслід визначити її тип, і в залежності від цього продовжувати рішення. І хоча будь-яка ірраціональність випливає з простої присутності коренів, різні їх комбінації та ступеня припускають різні алгоритми.

Квадратний корінь у знаменник, вираз виду a/√bВведіть додатковий множник, що дорівнює √b. Щоб дріб не змінився, множити потрібно і чисельник, і знаменник:a/√b → (a√b)/b.Приклад 1: 10/√3 → (10√3)/3.

Наявність під межею дробикоріння дробового ступенявиду m/n, причому n>mЦе вираз виглядає так:a/√(b^m/n).

Позбавтеся подібної ірраціональностітакож шляхом введення множника, цього разу складнішого: b^(n-m)/n, тобто. з показника ступеня самого кореня слід відняти ступінь вираження під його знаком. Тоді в знаменникзалишиться тільки перший ступінь:a/(b^m/n) → a(b^(n-m)/n)/b.Приклад 2: 5/(4^3/5) → 5√(4^2/5) )/4 = 5√(16^1/5)/4.

Сума квадратних коренів Помножте обидві складові дробина аналогічну різницю. Тоді з ірраціонального додавання коренів знаменник перетворюється на різницю виразів/чисел під знаком кореня:a/(√b + √c) → a (√b - √c)/(b - c).Приклад 3: 9/(√13 + √23) → 9 (√13 – √23)/(13 – 23) = 9 (√23 – √13)/10.

Сума/різниця кубічного корінняВиберіть як додатковий множник неповний квадрат різниці, якщо в знаменниккоштує сума і відповідно неповний квадрат суми для різниці коріння ) + ∛c²) →a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/(b ± c).Приклад 4: 7/(∛5 + ∛4) → 7 (∛25-∛20 + ∛16) /9.

Якщо в задачі є і квадратний і кубічний корінь, тоді розділіть рішення на два етапи: послідовно виведіть із знаменника квадратний корінь, а потім кубічний. Робиться це вже за відомими вам методами: у першій дії потрібно вибрати множник різниці/суми коренів, у другій – неповний квадрат суми/різниці.

Порада 2: Як позбутися ірраціональності у знаменнику

Коректний запис дробового числане містить ірраціональностів знаменник. Такий запис і легше сприймається на вигляд, тому з появою ірраціональностів знаменникрозумно її позбутися. І тут ірраціональність може перейти в чисельник.

Інструкція

Спочатку можна розглянути найпростіший приклад - 1/sqrt(2). Квадратний корінь із двох - ірраціональне числов знаменник.У цьому випадку необхідно примножити чисельник і знаменник дробу на його знаменник. Це забезпечить раціональне число в знаменник. Дійсно, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Розмноження двох однакових квадратних коренів один на одного дасть у результаті те, що знаходиться під кожним з коренів: у даному випадку - двійку. У результаті: 1/ sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Цей алгоритм підходить також до дробів, знаменникяких корінь множиться на раціональне число. Чисельник і знаменник у цьому випадку потрібно помножити на корінь, що знаходиться в знаменник.Приклад: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

Абсолютно аналогічно потрібно діяти, якщо в знаменникзнаходиться не квадратний корінь, а, скажімо, кубічний або будь-якого іншого ступеня. Корінь у знаменникпотрібно множити на такий самий корінь, на цей же корінь множити і чисельник. Тоді корінь перейде до чисельника.

У більш складному випадку знаменникприсутня сума або різниця ірраціонального та раціонального числаабо двох ірраціональних чисел.У разі суми (різниці) двох квадратних коренів або квадратного кореня та раціонального числа можна скористатися добре відомою формулою (x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2). Вона допоможе позбутися ірраціональностів знаменник. Якщо в знаменникрізницю, то примножувати чисельник і знаменник потрібно у сумі таких самих чисел, якщо сума - то різницю. Ця сума, що домножується, або різниця буде називатися поєднаною до виразу, що стоїть у знаменник.Ефект цієї схеми добре видно з прикладу: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2) )-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

Якщо в знаменникприсутня сума (різниця), в якій присутній корінь більшого ступеня, то ситуація стає нетривіальною та позбавлення від ірраціональностів знаменникне завжди можливо

Джерела:

• позбутися кореня у знаменнику

Порада 3: Як звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу

Дроб складається з чисельника, розташованого зверху лінії, і знаменника, на який він ділиться, розташованого внизу. Ірраціональним називається число, яке не може бути представлене у вигляді дробиз цілим числом у чисельнику та натуральним у знаменник. Такими числами є, наприклад, квадратний корінь із двох або пі. Зазвичай, коли говорять про ірраціональностів знаменник, Мається на увазі корінь.

Інструкція

Позбудьтеся ірраціональностімноженням на знаменник. Таким чином, ірраціональність буде перенесена в чисельник. При множенні чисельника та знаменника на одне й те саме число, значення дробине змінюється. Скористайтеся цим варіантом, якщо весь знаменник є корінням.

Помножте чисельник і знаменник на знаменник потрібну кількість разів, залежно від кореня. Якщо корінь квадратний, один раз.

Розгляньте приклад із квадратним коренем. Візьміть дріб (56-y)/√(x+2). У ній є чисельник (56-y) та ірраціональний знаменник √(x+2), що є квадратним коренем.

Помножте чисельник та знаменник дробина знаменник, тобто √(x+2). Початковий приклад (56-y)/√(x+2) перетвориться на ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). Через війну вийде ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Тепер корінь знаходиться в чисельнику, а в знаменникні ірраціональності.

Не завжди знаменник дробивесь перебуває під корінням. Позбудьтеся ірраціональності, скориставшись формулою (x+y)*(x-y)=x²-y².

Розгляньте приклад із дробом (56-y)/(√(x+2)-√y). Її ірраціональний знаменник містить різницю двох квадратних коренів. Доповніть знаменник до формули (x+y)*(x-y).

Помножте знаменник у сумі коренів. Помножте на той самий чисельник, щоб значення дробине змінилося. Дроб набере вигляду ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y)).

Скористайтеся вищезгаданою властивістю (x+y)*(x-y)=x²-y² та звільніть знаменник від ірраціональності. В результаті вийде ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Тепер корінь знаходиться в чисельнику, а знаменник позбавився ірраціональності.

У складних випадках повторюйте обидва ці варіанти, застосовуючи по необхідності. Врахуйте, що не завжди можна позбутися від ірраціональностів знаменник.

Джерела:

Алгебраїчна дріб - це вираз виду А/В, де літери А і позначають будь-які числові або буквені вирази. Найчастіше чисельник і знаменник у алгебраїчних дробахмають громіздкий вигляд, але події з такими дробами слід здійснювати за тими самими правилами, як і події зі звичайними, де чисельник і знаменник - цілі позитивні числа.

Інструкція

Якщо дані змішані дроби, переведіть їх у неправильні (дроб, в якому чисельник більший за знаменник): помножте знаменник на цілу частину і додайте чисельник. Так число 2 1/3 перетвориться на 7/3. Для цього 3 множать на 2 і додають одиницю.

Якщо треба перекласти десятковий дрібу неправильну, то уявіть її як розподіл числа без коми на одиницю зі стількими нулями, скільки чисел коштує після коми. Наприклад, число 2,5 уявіть як 25/10 (якщо скоротити, то вийде 5/2), а число 3,61 – як 361/100. Оперувати з неправильними дробаминайчастіше легше, ніж зі змішаними чи десятковими.

Розв'язання рівнянь із дробамирозглянемо з прикладів. Приклади прості та показові. З їхньою допомогою ви найбільш зрозумілим чином зможете засвоїти, .
Наприклад, потрібно вирішити просте рівняння x/b + c = d.

Рівняння цього називається лінійним, т.к. у знаменнику знаходяться лише числа.

Рішення виконується шляхом множення обох частин рівняння на b, тоді рівняння набуває вигляду x = b*(d – c), тобто. знаменник дробу у лівій частині скорочується.

Наприклад, як розв'язати дробове рівняння:
x/5+4=9
Помножуємо обидві частини на 5. Отримуємо:
х+20=45

x=45-20=25

Інший приклад, коли невідоме перебуває у знаменнику:

Рівняння такого типу називаються дробово-раціональними або просто дробовими.

Вирішувати дробове рівняння будемо шляхом позбавлення від дробів, після чого це рівняння, найчастіше, перетворюється на лінійне або квадратне, яке вирішується звичайним способом. Слід лише врахувати такі моменти:

• значення змінної, що звертає до 0 знаменник, коренем бути не може;
• не можна ділити чи множити рівняння вираз =0.

Тут набуває чинності таке поняття, як область допустимих значень (ОДЗ) – це значення коренів рівняння, у яких рівняння має сенс.

Таким чином, вирішуючи рівняння, необхідно знайти коріння, після чого перевірити їх на відповідність ОДЗ. Те коріння, яке не відповідає нашій ОДЗ, з відповіді виключається.

Наприклад, потрібно вирішити дробове рівняння:

З вищевказаного правила х може бути = 0, тобто. ОДЗ у разі: х – будь-яке значення, відмінне від нуля.

Позбавляємося знаменника шляхом множення всіх членів рівняння на х

І вирішуємо нормальне рівняння

5x - 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Відповідь: х = 1/3

Розв'яжемо рівняння складніше:

Тут також є ОДЗ: х -2.

Вирішуючи це рівняння, ми не будемо переносити все в один бік і приводити дроби до спільному знаменнику. Ми одразу помножимо обидві частини рівняння на вираз, який скоротить одразу всі знаменники.

Для скорочення знаменників потрібно ліву частину помножити на х+2, а праву - на 2. Отже, обидві частини рівняння треба множити на 2(х+2):

Це саме звичайне множеннядробів, які ми вже розглянули вище

Запишемо це ж рівняння, але дещо по-іншому

Ліва частина скорочується на (х+2), а права на 2. Після скорочення отримуємо звичайне лінійне рівняння:

х = 4 – 2 = 2, що відповідає нашій ОДЗ

Відповідь: х = 2.

Розв'язання рівнянь із дробамине так складно, як може здатися. У цій статті ми на прикладах показали це. Якщо у вас виникли якісь труднощі з тим, як вирішувати рівняння з дробами, то відписуйтесь у коментарях.

Якщо матеріал був корисний, відблагорити наш сайт ви можете, зробивши пожертвування.
Будь-яку сумуна розвиток проекту ви можете

Токарєв Кирило

Робота допомагає навчитися отримувати квадратний корінь з будь-якого числа без застосування калькулятора та таблиці квадратів та звільняти знаменник дробу від ірраціональності.

Звільнення від ірраціональності знаменника дробу

Суть методу полягає у множенні та розподілі дробу на такий вираз, який дозволить виключити ірраціональність (квадратні та кубічні корені) Зі знаменника і зробить його простіше. Після цього дробу простіше привести до спільного знаменника та остаточно спростити вихідний вираз.

Вилучення квадратного кореня з наближенням до заданого розряду.

Нехай потрібно витягти квадратний корінь з натурального числа 17358122, причому відомо, що корінь витягується. Щоб знайти результат, іноді зручно скористатися описаним у роботі правилом.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Радикал. Звільнення від ірраціональності знаменника дробу. Вилучення квадратного кореня із заданим ступенем точності. Учня 9Б класу МОУ ЗОШ №7 м. Сальська Токарєва Кирила

ОСНОВОПОЛОЖНЕ ПИТАННЯ: Чи можна витягти квадратний корінь з будь-якого числа із заданим ступенем точності, не маючи калькулятора та таблиці квадратів?

ЦІЛІ ТА ЗАВДАННЯ: Розглянути випадки вирішення виразів з радикалами, які не вивчаються у шкільному курсі математики, але необхідні на ЄДІ.

ІСТОРІЯ КОРНЯ Знак кореня походить з малої латинської літери r (початкової в латинському слові radix - корінь), що зрісся з надрядковою межею. За старих часів надкреслення виразу використовувалося замість нинішнього ув'язнення в дужки, так що є лише видозмінений стародавній спосіб запису чогось ніби. Вперше таке позначення використав німецький математик Томас Рудольф у 1525 році.

ЗВІЛЬНЕННЯ ВІД ІРРАЦІОНАЛЬНОСТІ ЗНАМІНАЧА ДРОБІ Суть методу полягає у множенні та розподілі дробу на такий вираз, який дозволить виключити ірраціональність (квадратні та кубічні корені) із знаменника та зробить його простіше. Після цього дробу простіше привести до спільного знаменника та остаточно спростити вихідний вираз. АЛГОРИТМ ВИЗВОЛЕННЯ ВІД ІРРАЦІОНАЛЬНОСТІ У ЗНАМІНАЧІ ДРОБИ: 1. Розкласти знаменник дробу на множники. 2. Якщо знаменник має вигляд або містить множник, то чисельник та знаменник слід помножити на. Якщо знаменник має вигляд або містить множник такого виду, то чисельник і знаменник дробу слід помножити відповідно або на. Числа і називають сполученими. 3. Перетворити чисельник і знаменник дробу, якщо можливо, скоротити отриманий дріб.

а) б) в) г) = - Звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу.

ВИНЯТТЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ З НАБЛИЖЕННЯМ ДО ЗАДАНОГО РОЗРЯДУ. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 832 Для вирішення задачі це числорозкладається у сумі двох доданків: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, перше у тому числі є повним квадратом. Потім застосовуємо формулу. Алгебраїчний спосіб:

ВИНЯТТЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ З НАБЛИЖЕННЯМ ДО ЗАДАНОГО РОЗРЯДУ. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6 6 0 0 3

Список литературы 1. Збірник завдань з математики вступників до вузів за редакцією М.И.Сканави. В. К. Єгерьов, Б. А. Кордемський, В. В. Зайцев, "ОНІКС 21 століття", 2003р. 2. Алгебра та елементарні функції. Р. А. Калнін, "Наука", 1973р. 3. Математика. Довідкові матеріали. В. А. Гусєв, А. Г. Мордкович, видавництво "Освіта", 1990р. 4. Школярам про математики та математики. Укладач М.М.Ліман, Просвітництво, 1981р.