Множення та розподіл звичайних дробів правила. Розмноження та розподіл алгебраїчних дробів

Перед тим, як почати вивчати тему множення дробів, нагадаємо, що дріб - це відношення чисельника до його знаменника. Розберемо також особливості розподілу та множення складних та великих дробів та скорочення дробів. У результаті сформулюємо кілька правил, які варто дотримуватись.

Множення та розподіл дробів

Для того щоб перемножити 2 і більше дробів, потрібно перемножити їх усі чисельники і записати в чисельник результат, зі знаменником також просто, перемножуємо всі знаменники дробів і записуємо результат у знаменник. Наведемо простий приклад, де ми розглянемо перемноження двох дробів:

(3/5) * (8/9) = (3*8)/(5*9) = 15/72.

Наприклад:

(3/5) / (5/9) = (3*9) / (5*5) = 27/25 Важливо пам'ятати цю властивість дробу при розподілі.

Множення та поділ з цілим числом

Що робити, якщо трапилося множення або поділ з цілим числом. У цьому випадку ми повинні уявити ціле число як дріб, це можна зробити, якщо взяти це число і поділити на одиницю, застосовуючи правило поділу або множення як це написано зверху.

Наприклад: 14/(3/7)=(14/1)/(3/7)=(14*7)/(1*3)=98/3

14 * 3/7 = (14/1) *(3/7) = (14*3) / (1*7)

Як видно в цих прикладах, все зводиться до звичайного множення або поділу дробів.

Множення та розподіл великих дробів

У старшій школі та на 1 курсах ВНЗ ми часто маємо справу з триповерховими дробами, а то й чотириповерховими.

У цьому випадку ми використовуємо правило поділу через 2 точки, "знаходячи головне поділ", а після цього використовуємо відоме нам правило множення або поділу дробів, як видно з прикладу зробити це нескладно.

Покажемо це на прикладі:

- = (3/5) / (7/2) = (3*2) / (5*7) = 6/35

Тут головний поділ знаходиться посередині, щодо нього ми і ділитимемо, якщо ми зможемо зрозуміти де знаходиться головне поділ або відношення.

Якщо у нас є 3 і більше дроби, в яких ми не знайдемо дужок, нам потрібно буде вчинити наступним чином, то ми повинні множити або ділити зліва направо, як у будь-якому іншому прикладі, які не містять дробів.

Наприклад:

(1/3) / (3/2) *(3/4) = ((1*2) / (3*3))*(3/4) = (2/9) * (3/4) = (6/36) = 1/6

Приклад досить добре пояснює нам.

Ще існує один спосіб, який використовується в багатьох прикладах розподіл одиниці на наш дріб, відбувається "перевертання" тобто. знаменник потрапить у чисельник, а чисельник потрапить у знаменник.

Наприклад:

1 / (3/4) = (1/1) / (3/4) = (1*4) / (1*3) = 4/3 Такий прийом використовується також у доказах тотожностей

Скорочення дробів при множенні та розподілі

Дуже важливо під час множення та поділу ми маємо право скорочувати чисельник із знаменником, значно скорочуючи наш дріб

Наприклад:

(3/5) * (2/4) = 6/20 = (Скорочуємо на 2) = 3/10

Також результат ми можемо уявити у вигляді десяткового дробу, це просто зробити, використовуючи калькулятор

Також ми радимо завжди дотримуватися кількох правил:

1) Завжди скорочуємо дріб до упору, таким чином ми значно полегшимо собі завдання.

На даному уроці будуть розглянуті правила множення та розподілу алгебраїчних дробів, і навіть приклади застосування цих правил. Множення та віднімання алгебраїчних дробів не відрізняється від множення та поділу звичайних дробів. Разом з тим, наявність змінних призводить до більш складних способів спрощення отриманих виразів. Незважаючи на те, що множення та розподіл дробів виконується простіше, ніж їх складання та віднімання, до вивчення даної теми необхідно підійти вкрай відповідально, оскільки в ній існує багато «підводних каменів», на які зазвичай не звертають уваги. В рамках уроку ми не тільки вивчимо правила множення та розподілу дробів, але й розберемо нюанси, які можуть виникнути при їх застосуванні.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Розмноження та розподіл алгебраїчних дробів

1. Правила множення та поділу звичайних та алгебраїчних дробів

Правила множення та поділу алгебраїчних дробів абсолютно аналогічні правилам множення та поділу звичайних дробів. Нагадаємо їх:

Тобто для того, щоб помножити дроби, необхідно помножити їх чисельники (це буде чисельник твору), і помножити їх знаменники (це буде знаменник твору).

Поділ на дріб - це множення на перевернутий дріб, тобто, для того, щоб розділити два дроби, необхідно перший з них (ділене) помножити на перевернутий другий (ділитель).

2. Окремі випадки застосування правил множення та поділу дробів

Незважаючи на простоту даних правил, багато хто при вирішенні прикладів з цієї теми припускаються помилок у ряді окремих випадків. Розглянемо докладніше ці окремі випадки:

У всіх цих правилах ми скористалися наступним фактом: .

3. Приклади множення та поділу звичайних дробів

Вирішимо кілька прикладів на множення та розподіл звичайних дробів, щоб пригадати, як користуватися вказаними правилами.

Приклад 1

Примітка: при скороченні дробів ми користувалися розкладанням числа на звичайні множники. Нагадаємо, що простими числаминазиваються такі натуральні числа, які діляться тільки на себе. Інші числа називаються складовими. Число не належить ні до простих, ні до складових. Приклади простих чисел: .

Приклад 2

Розглянемо тепер один із окремих випадків із звичайними дробами.

Приклад 3

Як бачимо, множення та розподіл звичайних дробів, у разі правильного застосування правил, не є складним.

4. Приклади множення та поділу алгебраїчних дробів (прості випадки)

Розглянемо множення та розподіл алгебраїчних дробів.

Приклад 4

Приклад 5

Зазначимо, що скорочувати дроби після множення можна і навіть потрібно за тими самими правилами, які ми до цього розглядали на уроках, присвячених скороченню дробів алгебри. Розглянемо кілька простих прикладів на окремі випадки.

Приклад 6

Приклад 7

Розглянемо тепер трохи більше складних прикладівна множення та розподіл дробів.

Приклад 8

Приклад 9

Приклад 10

Приклад 11

Приклад 12

Приклад 13

5. Приклади множення та поділу алгебраїчних дробів (складні випадки)

До цього розглядали дроби, у яких і чисельник, і знаменник були одночленами. Однак у ряді випадків необхідно перемножити або поділити дроби, чисельники та знаменники яких є багаточленами. У цьому випадку правила залишаються такими ж, а для скорочення необхідно використовувати формули скороченого множення та винесення за дужки.

Приклад 14

Приклад 15

Приклад 16

Приклад 17

Приклад 18

На цьому уроці ми розглянули правила множення та поділу алгебраїчних дробів, і навіть застосування цих правил для конкретних прикладів.

Список літератури

1. Башмаков М. І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г. В., Суворова С. Б., Бунімович Є. А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

3. Нікольський С. М., Потапов М. А., Решетніков Н. Н., Шевкін А. В. Алгебра 8 клас. Підручник для загальноосвітніх закладів. - М: Просвітництво, 2006.

1. Портал для всієї родини.

2. Фестиваль педагогічних ідей « Відкритий урок» .

3. Уся елементарна математика.

Домашнє завдання

1. №№73-77, 80. Дорофєєв Г. В., Суворова С. Б., Бунімович Є. А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

2. Виконати множення: а) б)

3. Виконати розподіл: а), б)

МІНІСТЕРСТВО УТВОРЕННЯ РЕСПУБЛІКИ КАЗАХСТАН

КОСТАНАЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ ІНСТИТУТ

Реферат

На тему: «Складання та віднімання, розподіл та множення звичайних дробів».

Костанай

1. З історії звичайних дробів ………………………………………..3

2. Події зі звичайними дробами..............…………………………..5

2.1. Додавання та віднімання звичайних дробів ……………………........5

2.2. Множення та розподіл звичайних дробів ………………………….7

3. Приклади на додавання, віднімання, множення та розподіл дробів ……. 10

4. Список літератури …………………………………………………………...11

1. З виникнення звичайних дробів.

Дроби з'явились у давнину. При розділі видобутку, при вимірах величин, та й інших схожих випадках люди зустрілися з необхідністю запровадити дроби.

Стародавні єгиптяни вже знали, як поділити 2 предмети на трьох, для цього числа -2/3 - у них був спеціальний значок. Між іншим, це був єдиний дріб в побуті єгипетських писарів, у якого в чисельнику не стояла одиниця - всі інші дроби неодмінно мали в чисельнику одиницю (так звані основні дроби): 1/2; 1/3; 1/28; …. Якщо єгиптянину потрібно було використовувати інші дроби, він представляв їх як суми основних дробів. Наприклад, замість 8/15 писали 1/3+1/5. Іноді це було зручно. У папірусі Ахмеса є завдання:

"Поділити 7 хлібів між 8 людьми". Якщо різати кожен хліб на 8 частин, доведеться провести 49 розрізів.

А по-єгипетськи це завдання вирішувалося так: Дроби 7/8 записували у вигляді часток: 1/2+1/4+1/8. Значить кожній людині треба дати півхліба, чверть хліба та восьмушку хліба; тому чотири хліби розрізали навпіл, два хліби- на 4 частини та один хліб на 8 часток, після чого кожному дали його частину.

Але складати такі дроби було незручно. Адже в обидва доданки можуть входити однакові частки, і тоді при додаванні з'явиться дріб виду 2/n. А таких дробів єгиптяни не припускали. Тому папірус Ахмеса починається з таблиці, в якій всі дроби такого виду від 2/5 до 2/99 записані у вигляді суми часток. З допомогою цієї таблиці виконували і розподіл чисел. Ось, наприклад, як 5 ділили на 21: 5/21

Вміли єгиптяни також множити та ділити дроби. Але для множення доводилося множити частки на частки, а потім, можливо, знову використовувати таблицю. Ще складніше було з поділом.

У стародавньому Вавилоні воліли навпаки, - постійний знаменник, що дорівнює 60-ти. Шістдесятковими дробами, успадкованими від Вавилону, користувалися грецькі та арабські математики та астрономи. Але було незручно працювати над натуральними числами, записаними за десятковою системою, і дробами, записаними за шістдесятковою. А працювати зі звичайними дробами було вже дуже складно. Тому голландський математик Симон Стевін запропонував перейти до десяткових дробів.

Цікава система дробів була в Стародавньому Римі. Вона ґрунтувалася на розподілі на 12 часток одиниці ваги, яка називалася асс. Дванадцяту частку асса називали унцією. А шлях, час та інші величини порівнювали з наочною річчю-вагою. Наприклад, римлянин міг сказати, що він пройшов сім унцій колії або прочитав п'ять унцій книги. При цьому, звичайно, йшлося не про зважування шляху чи книги. Було на увазі, що пройдено 7/12 шляху або прочитано 5/12 книги. А для дробів, що виходять скороченням дробів зі знаменником 12 або роздробленням дванадцятих часток на дрібніші, були особливі назви.

Навіть зараз іноді кажуть: "Він скрупульозно вивчив це питання." Це означає, що питання до кінця, що жодної найменшої неясності не залишилося. А відбувається дивне слово "скрупульозно" від римської назви 1/288 асса - "скрупулус". У ході були такі назви: ”семіс”- половина асса, “секстанс”- шоста його частка, “семіунція”- половина унції, тобто. 1/24 асса тощо. Усього застосовувалося 18 різних назвдробів. Щоб працювати з дробами, треба було пам'ятати для цих дробів таблицю додавання та таблицю множення. Тому римські купці твердо знали, що при складанні трієнса (1/3 асса) і секстансу виходить семіс, а при множенні демона (2/3 асса) на сескунцію (2/3 унції, тобто 1/8 асса) виходить унція . Для полегшення роботи складалися спеціальні таблиці, деякі з яких дійшли до нас.

Сучасну систему запису дробів із чисельником та знаменником створили в Індії. Тільки там писали знаменник згори, а чисельник - знизу, і писали дробової риси. А записувати дроби точно, як зараз, стали араби.

Звичайний дріб- Це число виду, де m і n – натуральні числа, наприклад. Число mназивається чисельником дробу, n – знаменником.Серед звичайних дробів розрізняють правильні та неправильні дроби. Дроб називається правильною, якщо її чисельник менший за знаменник, та неправильною, якщо її чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.

2. Події зі звичайними дробами.

2.1. Додавання та віднімання звичайних дробів.

Додаваннязвичайних дробів виконується так:

а) якщо знаменники дробів однакові, то до чисельника першого дробу додають чисельник другого дробу та залишають той самий знаменник, тобто. ;

б) якщо знаменники дробів різні, то дроби спочатку призводять до спільному знаменнику, переважно до найменшого, а потім до чисельника першого дробу додають чисельник другого дробу, тобто. .

Відніманнязвичайних дробів виконують так:

а) якщо знаменники дробів однакові, то від чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу і залишають той самий знаменник, тобто.

б) якщо знаменники різні, то спочатку дроби призводять до загального знаменника, а потім від чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, тобто. .

Складання та віднімання дробів. Якщо знаменники дробів однакові, то для того, щоб скласти дроби, треба скласти їх чисельники, а для того, щоб відняти дроби, треба відняти їх чисельники (у тому самому порядку). Отримана сума чи різницю буде чисельником результату; знаменник залишиться тим самим.

Наприклад:

1.

3.

4.

5.

6.

Якщо знаменники дробів різні, спочатку необхідно привести дроби до спільного знаменника. При додаванні змішаних чисел їх цілі та дробові частини складаються окремо. При відніманні змішаних чисел ми рекомендуємо спочатку перетворити їх на вигляд неправильних дробів, потім відняти з однієї іншу, а після цього знову привести результат, якщо потрібно, на вигляд змішаного числа.

Наприклад:

1.

2.

3.

4.

2.2. Множення та розподіл звичайних дробів.

Розмноженнязвичайних дробів виконується так:

тобто. перемножуються окремо чисельники, окремо знаменники, перший твір роблять чисельником, другий – знаменником.

При множенні дробу на натуральне число, Чисельник дробу множать на це число, а знаменник залишають без зміни.

Якщо множники є змішаними числами, спочатку їх потрібно записати у вигляді неправильних дробів, потім скористатися правилом множення дробів.

Поділзвичайних дробів виконують так:

тобто. ділене множать на дріб, зворотний дільник.

Примноження звичайного дробу на ціле число.

Щоб помножити дріб на ціле число, достатньо чисельник дробу помножити на це число, залишивши колишній знаменник.

Наприклад:

4.

Збільшення змішаного числа на ціле число.

При множенні змішаного числа на ціле здебільшого простіше окремо помножити ціле і дріб на ціле число.

Наприклад:

1.

2.

Розмноження дріб на дріб

Щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити чисельники (це буде чисельник результату) та знаменники (це буде знаменник). Тобто:

Наприклад:

1.

2.

Розподіл звичайних дробів на ціле число.

При поділі дробу на ціле число досить чисельник розділити на ціле число, залишивши колишній знаменник.

Наприклад:

1.

2.

Як чинити в тому випадку, коли чисельник даного дробу не поділяється на ціле число. Тоді існує таке правило

Щоб розділити дріб на ціле число, достатньо знаменник дробу помножити на це число, залишивши чисельник колишнім.

Наприклад:

1.

2.

Розподіл дробу на дріб.

Щоб розділити дріб на дріб, потрібно перший дріб переписати, а другий дріб перевернути (це важливо!) та його перемножити, тобто. знаменник на знаменник, чисельник на чисельник.

Наприклад:

1.

2.

5. .

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ.

1. Жива математика/Я. І. Перельман;

2. За сторінками підручника математики/ І. Я. Депман, Н. Я. Віленкін. - М.: Просвітництво, 1988;

3. Математика: Навч. для 5 класу порівн. школи / Н. Я. Віленкін, А. С. Чесноков, І. Шварцвурд. - 3 вид. - М.: Просвітництво, 1988;

4. Елементи історизму у викладанні математики у середній школі/
К. А. Малигін. - М.: Просвітництво, 1958.

5. Черкасов Р.С., Столяр О.О. Методика викладання математики у середній школі/1985.