Твір трьох ступенів. Як множити ступеня, множення ступенів з різними показниками

Якщо вам потрібно звести якесь конкретне число в міру, можете скористатися . А зараз ми докладніше зупинимося на властивості ступенів.

Експонентні числавідкривають великі можливості, вони дозволяють нам перетворити множення на складання, а складати набагато легше, ніж множити.

Наприклад, нам треба помножити 16 на 64. Добуток від множення цих двох чисел дорівнює 1024. Але 16 – це 4×4, а 64 – це 4х4х4. Тобто 16 на 64 = 4x4x4x4x4, що також дорівнює 1024.

Число 16 можна також у вигляді 2х2х2х2, а 64 як 2х2х2х2х2х2, і якщо зробити множення, ми знову отримаємо 1024.

А тепер використовуємо правило. 16=4 2 , або 2 4 , 64=4 3 , або 2 6 , у той самий час 1024=6 4 =4 5 , чи 2 10 .

Отже, наше завдання можна записати по-іншому: 4 2 х4 3 =4 5 або 2 4 х2 6 =2 10 і кожен раз ми отримуємо 1024.

Ми можемо вирішити ряд аналогічних прикладів і побачимо, що множення чисел зі ступенями зводиться до складання показників ступеня, або експонент, зрозуміло, за умови, що підстави співмножників рівні.

Отже, ми можемо, не виробляючи множення, відразу сказати, що 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .

Це правило справедливе також і при розподілі чисел зі ступенями, але в цьому випадку е кспонента дільника віднімається з експоненти діленого. Таким чином, 2 5:2 3 =2 2 , що в звичайних числаходно 32:8 = 4, тобто 22. Підведемо підсумки:

a m x a n = a m+n , a m: a n = a m-n де m і n — цілі числа.

З першого погляду може здатися, що таке множення та розподіл чисел зі ступенямине дуже зручно, адже спочатку треба уявити число в експоненційній формі. Неважко уявити у такій формі числа 8 та 16, тобто 2 3 та 2 4 , але як це зробити з числами 7 та 17? Або як чинити у тих випадках, коли число можна уявити в експоненційній формі, але підстави експоненційних виразів чисел сильно різняться. Наприклад, 8×9 – це 2 3 х3 2 і в цьому випадку ми не можемо підсумовувати експоненти. Ні 2 5 і ні 3 5 є відповіддю, відповідь також лежить в інтервалі між цими двома числами.

Тоді чи варто взагалі возитися із цим методом? Безперечно стоїть. Він дає величезні переваги, особливо при складних та трудомістких обчисленнях.

Так що навіть, якщо ви вирішите вступити у воронезькій області нп будівництво, то вам даний матеріал буде корисний, допоможе порахувати вступні членські внески і взагалі вести бухгалтерію організації.

Урок на тему: "Правила множення та поділу ступенів з однаковими та різними показниками. Приклади"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Посібник до підручника Ю.М. Макарічева Посібник до підручника А.Г. Мордковича

Мета уроку: навчиться робити дії зі ступенями числа.

Для початку згадаємо поняття "ступінь числа". Вираз виду $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ можна уявити, як $a^n$.

Справедливо також обернене: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ця рівність називається "запис ступеня як твори". Воно допоможе нам визначити, як множити і ділити ступеня.
Запам'ятайте:
a- Основа ступеня.
n- показник ступеня.
Якщо n = 1, отже, число авзяли раз і відповідно: $a^n= 1$.
Якщо n=0, То $ a ^ 0 = 1 $.

Чому так відбувається, ми зможемо з'ясувати, коли познайомимося з правилами множення та розподілу ступенів.

Правила множення

a) Якщо множаться ступеня з однаковою основою.
Щоб $a^n * a^m$, запишемо ступеня у вигляді твору: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_(m ) $.
На малюнку видно, що число авзяли n+mраз, тоді $ a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) $.

приклад.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ця властивість зручно використовувати, щоб спростити роботу при зведенні числа у велику міру.
приклад.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Якщо множаться ступеня з різною основою, але однаковим показником.
Щоб $a^n * b^n$, запишемо ступеня у вигляді твору: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_(m ) $.
Якщо поміняти місцями множники і порахувати пари, що вийшли, отримаємо: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Отже, $a^n*b^n=(a*b)^n$.

приклад.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила розподілу

a) Підстава ступеня однакова, показники різні.
Розглянемо розподіл ступеня з більшим показником на розподіл ступеня з меншим показником.

Отже, треба $\frac(a^n)(a^m)$, де n > m.

Запишемо ступеня у вигляді дробу:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Для зручності поділ запишемо у вигляді простого дробу.

Тепер скоротимо дріб.

Виходить: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Значить, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Ця властивість допоможе пояснити ситуацію зі зведенням числа на нульовий ступінь. Припустимо, що n=mтоді $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

приклади.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Підстави ступеня різні, показники однакові.
Допустимо, необхідно $\frac(a^n)( b^n)$. Запишемо ступеня чисел у вигляді дробу:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Для зручності уявимо.

Використовуючи властивість дробів, розіб'ємо великий дріб на твір дрібних, отримаємо.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Відповідно: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

приклад.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Кожна арифметична операція часом стає занадто громіздкою для запису і намагаються спростити. Колись так було і з операцією додавання. Людям було необхідно проводити багаторазове однотипне складання, наприклад, порахувати вартість ста перських килимів, вартість якого становить 3 золоті монети за кожен. 3+3+3+…+3 = 300. Через громіздкість було придумано скоротити запис до 3*100 = 300. Фактично, запис «три помножити на сто» означає, що треба взяти сто трійок і скласти між собою. Множення прижилося, набуло загальної популярності. Але світ не стоїть на місці, і в середньовіччі виникла необхідність проводити багаторазове однотипне множення. Згадується стара індійська загадка про мудреця, який попросив у нагороду за виконану роботу пшеничні зерна в такій кількості: за першу клітку шахівниці він просив одне зерно, за другу – два, третю – чотири, п'яту – вісім і так далі. Так з'явилося перше множення ступенів, адже кількість зерен дорівнювала двійці в ступені номера клітини. Наприклад, на останній клітині було б 2*2*2*…*2 = 2^63 зерен, що дорівнює числу завдовжки 18 знаків, у чому, власне, і криється сенс загадки.

Операція зведення в ступінь прижилася досить швидко, також швидко виникла необхідність проводити складання, віднімання, поділ і множення ступенів. Останнє і варто розглянути докладніше. Формули для складання ступенів прості і легко запам'ятовуються. До того ж дуже легко зрозуміти, звідки вони беруться, якщо операцію ступеня замінити множенням. Але спочатку слід розібратися в елементарній термінології. Вираз a^b (читається «а ступеня b») означає, що число a слід помножити саме він b раз, причому «a» називається основою ступеня, а «b» - статечним показником. Якщо підстави ступенів однакові, то формули виводяться дуже просто. Конкретний приклад: визначити значення виразу 2^3 * 2^4. Щоб знати, що має бути, слід перед початком рішення дізнатися відповідь на комп'ютері. Забивши цей вираз у будь-який онлайн-калькулятор, пошуковик, набравши "множення ступенів з різними підставами і однаковими" або математичний пакет, на виході вийде 128. Тепер розпишемо цей вираз: 2^3 = 2*2*2, а 2^4 = 2 *2*2*2. Виходить, що 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4). Виходить, що добуток ступенів з однаковою основою дорівнює підставі, зведеній у ступінь, рівну сумідвох попередніх ступенів.

Можна подумати, що це випадковість, але ні: будь-який інший приклад зможе лише підтвердити це правило. Отже, у вигляді формула виглядає так: a^n * a^m = a^(n+m) . Також існує правило, що будь-яке число в нульового ступеняодно одиниці. Тут слід згадати правило негативних ступенів: a^(-n) = 1/a^n. Тобто якщо 2^3 = 8, то 2^(-3) = 1/8. Використовуючи це правило, можна довести справедливість рівності a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) можна скоротити та залишається одиниця. Звідси виводиться і те правило, що приватне степенів з однаковими підставамидорівнює цій підставі в ступеня, що дорівнює приватному показнику діленого і дільника: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Приклад: спростити вираз 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Множення є комутативною операцією, отже спочатку слід зробити додавання показників множення: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Далі слід розібратися з поділом на негативний ступінь. Необхідно відняти показник дільника з показника ділимого: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Виявляється, операція поділу на негативну ступінь тотожної операції множення на аналогічний позитивний показник. Таким чином, остаточна відповідь дорівнює 8.

Існують приклади, де має місце не канонічне множення ступенів. Перемножити ступеня з різними підставами дуже часто буває набагато складніше, а часом взагалі неможливо. Слід навести кілька прикладів різних можливих прийомів. Приклад: спростити вираз 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Очевидно, має місце множення ступенів з різними основами. Але, слід зазначити, що всі підстави є різними ступенями трійки. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Використовуючи правило (a^n) ^m = a^(n*m) , слід переписати вираз у більш зручному вигляді: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7-4+12-10+6) = 3^(11) . Відповідь: 3^11. У випадках, коли різні підстави, на рівні показники працює правило a^n*b^n=(a*b)^n. Наприклад, 3^3 * 7^3 = 21^3. В іншому, коли різні підстави та показники, зробити повне множення не можна. Іноді можна частково спростити або вдатися до обчислювальної техніки.