Трансцендентні числа е і пі. Що таке трансцендентність, або чому ми не можемо пізнати самих себе

Наприкінці вісімнадцятого століття німецьким математиком І. Ламбертом і французьким математиком А. Лександром було доведено, що число є ірраціональним. Професор університету ФрейбургаФердинанд фон Ліндеман в 1882 році довів трансцендентність числа П.
На цьому закінчився пошук вирішення задачі про квадратур кола, який тривав понад три тисячі років".

Проте езотеричні вчення вважають, що загадка квадратури кола та пов'язана з нею таємниця числа пі залишається нерозкритою і вимагає особистих зусиль кандидата у присвячені, про що ще йтиметься надалі. Багато традиціях я вважалося сакральним числом. що мають відношення до таємниці прояву. Блаватська говорила про зв'язок числа пі з Сонцем, Логосом, ідеєю божественної гармонії та Небесним Воїнством:
"31415 або л синтез, або Воїнство, об'єднане в Логосі і Точка, званий в римсько-католицькій церкві "Ангелом Ліка" і у євреїв Михайлом, "який (подібний до Бога або такий самий) як Бог, "Проявлене Зображення Його".

Трансцендентне число- Комплексне число, що не є алгебраїчним, тобто не є коренем ніякого відмінного від нуля многочлена з раціональними коефіцієнтами.

Існування трансцендентних чисел вперше встановив Ж. Ліувілль в 1844 р.; він же збудував перші приклади таких чисел. Ліувілль зауважив, що алебраїчні числа не можуть «надто добре» наближатися раціональними числами. Саме теорема Ліувіля свідчить, що якщо алгебраїчне число є коренем багаточлена ступеня з раціональними коефіцієнтами, то для будь-якого раціонального числа справедлива нерівність.

де постійна залежить лише від. З цього твердження випливає достатня ознака трансцендентності: якщо число таке, що для будь-якої постійної існує безліч раціональних чисел, що задовольняють нерівностей

то трансцендентно. Згодом такі числа отримали назву чисел Ліувілл. Приклад такого числа є

Інший доказ існування трансцендентних чисел було отримано Г. Кантором у 1874 р. на основі створеної ним теорії множин. Кантор довів лічильність безлічі алгебраїчних чисел і незліченність множини дійсних чисел, звідки випливає, що безліч трансцендентних чисел незліченна. Однак, на відміну від доказу Ліувіля, ці міркування не дозволяють навести приклад хоча б одного такого числа.

Робота Ліувіля дала початок цілому розділу теорії трансцендентних чисел - теорії наближення алгебраїчних чисел раціональними або, більш загальним, алгебраїчними числами. Теорема Ліувіля посилювалася та узагальнювалася у роботах багатьох математиків. Це дозволило побудувати нові приклади трансцендентних чисел. Так, К. Малер показав, що якщо - непостійний многочлен, який приймає цілі невід'ємні значення при всіх натуральних, то для будь-якого натурального число, де - запис числа в системі числення з основою, є трансцендентним, але не є числом Ліувіля. Наприклад, при та отримуємо наступний витончений результат: число

трансцендентно, але не є числом Ліувіля.

У 1873 р. Ш. Ерміт, використовуючи інші ідеї, довів трансцендентність неперового числа (підстави натурального логарифму):

Розвинувши ідеї Ерміта, Ф. Ліндеман в 1882 р. довів трансцендентність числа, тим самим поставивши крапку в стародавній проблемі про квадратуру кола: за допомогою циркуля та лінійки неможливо побудувати квадрат, рівновеликий (тобто має ту саму площу) даному колу. Більше того, Ліндеман показав, що при будь-якому алгебраїчному число трансцендентне. Еквівалентне формулювання: для будь-якого числа алгебри, відмінного від і, його натуральний логарифм є трансцендентим числом.

У 1929 р. К.Л. Зігель запропонував новий аналітичний метод, що дозволяє доводити трансцендентність значень широкого класу аналітичних функцій (так званих функцій), що задовольняють лінійним серед 23 невирішених проблем математики вказав на наступну, в приватній формі сформульовану ще Л. Ейлером:

Нехай і - алгебраїчні числа, причому трансцендентним? Зокрема, чи трансцендентні числа і?

Ця проблема може бути переформульована в наступній формі, близькій до оригінального формулювання Ейлера:

Нехай і - алгебраїчні числа, відмінні від і, причому відношення їх натуральних логарифмів ірраціонально. Чи буде число трансцендентним?

Перше часткове вирішення проблеми було отримано в 1929 р. А. О. Гельфондом, який, зокрема, довів трансцендентність числа. У 1930 р. Р. О. Кузьмін удосконалив метод Гельфонду, зокрема, йому вдалося довести трансцендентність числа. Повне вирішення проблеми Ейлера-Гільберта (в ствердному сенсі) було отримано в 1934 незалежно від А. О. Гельфондом і Т. Шнайдером.

А. Бейкер у 1966 узагальнив теореми Ліндемана та Гельфонда-Шнайдера, довівши, зокрема, трансцендентність добутку довільної кінцевої кількості чисел виду та з алгебраїчними при природних обмеженнях.

У 1996р. Ю.В. Нестеренко довів алгебраїчну незалежність значень рядів Ейзенштейна і, зокрема, чисел в. Це означає трансцендентність будь-якого числа виду, де відмінна від нуля раціональна функція з коефіцієнтами алгебри. Наприклад, трансцендентною буде сума ряду

У 1929-1930 рр. К. Малер у серії робіт запропонував новий метод доказу трансцендентності значень аналітичних функцій, що задовольняють функціональним рівнянням певного виду (згодом такі функції отримали назву функцій Малера).

Методи теорії трансцендентних чисел знайшли застосування та інших розділах математики, зокрема у теорії діофантових рівнянь.

Трансцендентне число

число (дійсне або уявне), що не задовольняє жодному рівняння алгебри (Див. Алгебраїчне рівняння) з цілими коефіцієнтами. Таким чином, Т. ч. протиставляються алгебраїчним числам. Існування Т. ч. вперше встановив Ж. Ліувілл (1844). Відправною точкою для Ліувіля служила його теорема, згідно з якою порядок наближення раціонального дробу з даним знаменником до даного ірраціонального алгебраїчного числа не може бути довільно високим. Саме якщо алгебраїчне число азадовольняє неприведеного рівня алгебри ступеня nз цілими коефіцієнтами, то для будь-якого раціонального числа залежить тільки від α ). Тому, якщо для заданого ірраціонального числа α можна вказати безліч раціональних наближень, що не задовольняють наведеній нерівності ні при яких зі n(одних і тих же для всіх наближень), то α є Т. ч. Приклад такої кількості дає:

Інший доказ існування Т. ч. дав Г. Кантор (1874), помітивши, що безліч всіх алгебраїчних чисел лічимо (тобто всі алгебраїчні числа можуть бути перенумеровані; див. Множин теорія), тоді як безліч всіх дійсних чисел незліченні. Звідси випливало, що безліч Т. ч. незліченна, і далі, що Т. ч. становлять основну масу серед множини всіх чисел.

Найважливіше завдання теорії Т. ч. - це з'ясування того, чи є Т. ч. значення аналітичних функцій, що мають ті чи інші арифметичні та аналітичні властивості при алгебраїчних значеннях аргументу. Завдання цього роду належать до найважчих завдань сучасної математики. У 1873 Ш. Ерміт довів, що Неперове число

У 1882 німецький математик Ф. Ліндеман отримав більш загальний результат: якщо α - число алгебри, то еα - Т. ч. Результат Ліпдемана був значно узагальнений німецьким математиком К. Зігелем (1930), який доказав, наприклад, трансцендентність значення широкого класу циліндричних функцій при значеннях алгебри аргументів. У 1900 році на математичному конгресі в Парижі Д. Гільберт серед 23 невирішених проблем математики вказав на наступну: чи є трансцендентним числом α β , де α і β - алгебраїчні числа, причому β - ірраціональне число, і, зокрема, чи є трансцендентним число е π (проблема трансцендентності чисел виду α β була вперше у приватній формі поставлена ​​Л. Ейлером, 1744). Повне вирішення цієї проблеми (в ствердному сенсі) вдалося отримати лише в 1934 А. О. Гельфонд. З відкриття Гельфонда, зокрема, слід, що це десяткові логарифми натуральних чисел (тобто «табличні логарифми») суть Т. ч. Методи теорії Т. ч. додаються до питань вирішення рівнянь у цілих числах.

Літ.:Гельфонд А. О., Трансцендентні та алгебраїчні числа, М., 1952.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитися що таке "Трансцендентне число" в інших словниках:

Число, що не задовольняє ніякого рівня алгебри з цілими коефіцієнтами. Трансцендентними числами є: число? 3,14159...; десятковий логарифм будь-якого цілого числа, що не зображається одиницею з нулями; число е = 2,71828 ... та ін. Великий Енциклопедичний словник

- (від лат. transcendere переходити, перевищувати) це речовинне чи комплексне число, яке є алгебраїчним іншими словами, число, яке може бути корінням многочлена з цілими коефіцієнтами. Зміст 1 Властивості 2… … Вікіпедія – число, яке не є коренем жодного багаточлена з цілими коефіцієнтами. Областю визначення таких чисел є нуль дійсних, комплексних і радіальних чисел. Існування та явні побудови дійсних Т. ч. обґрунтував Ж. Ліувіль… Математична енциклопедія

Рівняння, яке не є алгебраїчним. Зазвичай це рівняння, що містять показові, логарифмічні, тригонометричні, зворотні тригонометричні функції, наприклад: Суворіше визначення таке: Трансцендентне рівняння це рівняння… Вікіпедія

Число, приблизно дорівнює 2,718, яке часто зустрічається в математиці та природничих науках. Наприклад, при розпаді радіоактивної речовини після часу t від вихідної кількості речовини залишається частка, рівна e kt, де k число, … Енциклопедія Кольєра

E математична константа, основа натурального логарифму, ірраціональне та трансцендентне число. Іноді число e називають числом Ейлера (не плутати з так званими числами Ейлера I роду) або числом Непера. Позначається малою латинською літерою «e».

E математична константа, основа натурального логарифму, ірраціональне та трансцендентне число. Іноді число e називають числом Ейлера (не плутати з так званими числами Ейлера I роду) або числом Непера. Позначається малою латинською літерою «e».

У рамках щорічного Дягілевського фестивалю у Пермі другий рік поспіль проходить семінар "Метафізика мистецтва". Цього року обговорювалася тема "Унікальність естетичного", яка стала логічним продовженням торішнього обговорення про те, що ? Нижче – кілька думок вголос із моєї доповіді, приправлені підсумками внутрішнього діалогу з іншими учасниками.

Так як мій професійний інтерес лежить у галузі антропології, то говорити про унікальності естетичногоя буду в цьому ракурсі, а більш конкретно - про естетичні переживання, їх види, їх значущість у тому, яклюдина часує своє існування.

Естетичні переживання я. Естетичне почуття є спосіб переживання Краси (або - навіть - її відсутності, що ініціює тугу за нею, цим викликаючи Красу як ідею) як досконалої гармонії. Тому першим – одним з найважливіших – впливів Краси, що викликає естетичні переживання, є гармонізаціялюдини.

Безпосередня гармонізація пов'язана з переживанням людиною почуттів насолоди і задоволення (останнє є навмисно розтягнуте в часі задоволення). За допомогою цих форм естетичного почуття гармонізація відбувається всередині повсякденності, її часу та простору.

Насолода і задоволення дозволяють максимально злитися з простором, прийняти і примиритися з повсякденністю, зібрати себе в ній. Подібним чином відбувається і з відчуттям часу: всі неприємні вузлики (потрясіння, переживання, події), що виникли на нитці часу, розсмоктуються і воно перестає відчуватися. «Зупинись, мить, ти чудово!» - ось і основне переживання, яке захоплює людину, і вона ж - основна спокуса гедонізму: перестати відчувати час, перестати части своє життя, перетворивши мить на вирву, на чорну дірку, що поглинає минуле і майбутнє. Таким чином, задоволення та насолода важливі як короткочасні стани, але ставка на тількиці види естетичного почуття чревата втратою себе (бо я чують себе на лінії часу через індивідуальні смислові вузлики того, що відбувається): як світ сповільнюється, приглушується, так і - людина.

Об'єкти для цих видів естетичного почуття можна моделювати (саме про це говорить, гадаю, Сартр), бо краса онтічного цілком у владі людини, у його здатності сприймати світ - одночасно - відсторонено (неутилітарно), але почуттями нарозпач. У цьому сенсі, естетичне, як особливу чутливість, універсально, оскільки може бути прикладено до всього, чим, втім, посилюється і унікальна значимість естетичного.

Опосередкована гармонізація людини відбувається завдяки захопленню/захопленню (завороженість, здивування, випадання з «тут-і-зараз»), самооновленню (новий чуттєвий, інтелектуальний та інтуїтивний досвід), катарсису («розумне» очищення, моральне очищення, просвіт ідеями та/або любов'ю до всіх і вся).

Тут відбувається така зустріч з кайросом, коли наздоганяє щастя мовчанняу порі , коли нитка часу рветься, і доводиться відновлювати втрачену єдність зусиллями людини, зав'язуючи вузлик. Так утворюється такий собі індивідуальний вузликовий лист, що тимчасове життя людини.

Найсильнішим потрясінням, звичайно, є катарсис, що дозволяє зануритися, осягнути внутрішній обсяг пори, що відкрилася. У ньому відбувається повне випадання з часу-простору у чистоту свого буття. Відбувається своєрідне «обнулення» - очищення та повернення у світ в іншому стані, все починається з «нульової» точки, наново, йде новий відлік і мене, і світу-для-мене. Катарсис - це сильне екзистенційне переживання, що викидає мене на межу герменевтичного кола, в якому відкривається діра/пора, через яку Ніщо починає набувати контурів і ставати Щось.

Глибокі естетичні переживання дозволяють пам'ятати про сприйняту Красу. Спогад може бути двояким: як конструювання естетичного об'єкта уявою, і - як опис після виходу з німоти. Наприклад, пушкінське «Я пам'ятаю чудову мить», як бачиться, не є результатом спогади-ідеалізації, але - спогади-опису, бо при катарсисі (спогляданні чистої ідеї Краси) неодмінно наздоганяє німота, і потрібно повернення в обнулене «тут-і-сьогодні ». Його початковий стан може бути виражений такими словами:

... ніжніше ніжного схильний лик,
в ньому чистота - не виклик, не обітниця,
але - початкової жіночності світло,
що так безсилий висловити мій вірш:

є краса, до якої не знайти
(за всіх зусиль) відповідних слів,
лише - вражений немотою зітхання
так… спрага небеса поцілувати!

Однак щоб почати дихати заново, щоб зібрати себе після такого потрясіння, необхідна деяка тривалість (для Пушкіна - час до наступної зустрічі з А.П. Керн), щоб ідея, що відкрилася, могла співвіднестися з іншими сенсами всередині герменевтичного кола. Тільки тоді німота відступає, і ідея починає промовлятися, набувати хоча б контурів.

У цьому дається взнаки ще одна значимість естетичних переживань: у них і через них освоюється світ. Освоєння- це результат того, що людина робить стрибок, вірніше, дозволяє світові (речам) зробити стрибок у себе: людина відкривається світові, і той входить до нього, перетворюючи; а людина з подивом і подивом споглядає чисті ідеї та нові сенси.

Так відбувається розширення герменевтичного кола, в процесі чого світ стає настільки своїм, що неможливо не тільки думати про його знищення, але навіть - про банальне володіння ним, бо він у цей момент володіє тобою. Як не згадати знамените висловлювання Ф.М. Достоєвського "краса врятує світ": якщо не весь світ, то життєвий світ окремо взятої людини напевно. Коли людина опиняється під владою цих переживань, вона відчуває потрясіння, розтрус себе, відхід з себе-минулого, перебудова, і потрібні зусилля щодо повернення до себе, що приводять людину в гармонійний стан (не за своєю волею ми вражені, але за своєю - раціональною волі, ми відновлені інакше, ми повернуті в оновлений і «обнулений» світ).

Зіткнення з владою естетичного почуття є зіткнення з описаною Шопенгауером Волею як чистою спонтанністю, непередбачуваністю, яка не опосередкована жодними раціональними/розсудливими структурами. Справді, ні захоплення, ні самооновлення, ні катарсис не можна запланувати, вони наздоганяють несподівано, раптово, як чуттєві та інтелектуальні осяяння; тут не потрібна операція з «зміни регістрів» - усвідомленого відходу з утилітарного сприйняття речей на відсторонене, не потрібно конструювання Речі як естетичного об'єкта: все відбувається саме.

Людина завдяки естетичній загостреності (при самооновленні та катарсисі) знаходить найважливіший досвід спонтанного воління. Світ, речі, ідеї речей, ідеї самі воліють у людині, крім раціональної волі, вкидаючи людину в стан принципової неконтрольованості. У цьому зміщеному - відстороненому від утилітарного сприйнятті Речі - стані не естетичний об'єкт конституюється, а досягається стан граничної відкритості Буття, його споглядання та осмислення.

Одне з найсильніших екзистенційних потрясінь людини – нудьга, джерелом якої є одноманітність: естетичні переживання – від задоволення до катарсису – дозволяють легко уникнути його. Вище описана особливість естетичного почуття показує їх унікальність ще й у тому, що для власного перетворення, оновлення людині не треба робити майже жодних зусиль: світ сам усе робить за людину. Останньому залишається тільки зафіксувати цей стан «трансцендентного нуля», повернутись і жити до наступного «обнулення», адже все життя є низкою цих «обнулень» та оновлень людини.

Проблема естетичної чутливості наших днів є вираз влади онтічної Краси, якою «заступає» більш затребувана нині Афродіта Пандемос, а не онтологічної Краси - самої Афродіти Уранії. Більшість не трансцендує Красу, бо світ, вивернутий культурою (і людиною) навиворіт, сприймає останню за трансцендентність. А потім дивується потворності сучасного мистецтва. Потворність та краса - дві сторони однієї медалі тільки в Сущем з його лицьовою та виворітною поверхнями, тоді як онтологічна Краса є відсутність жаху/потворності; в цьому сенсі, краса Афродіти Пандемос є поверховою, тоді як Афродіта Уранія є обсягом.

Джерело такого стану справ з естетичною чуттєвістю - страх перед високими естетичними переживаннями (максимум люди згодні на захоплення як тимчасове випадання з часу, що супроводжується насолодою від подиву). Страх пов'язаний з тим самим: втрата контролю над собою при придушенні раціонального воління волею як чистої спонтанністю. І людина тримається за площину (задоволення і задоволення), щоб відчувати землю під ногами, щоб почуватися (своє емпіричне Я, яке фіксує свою відстороненість від об'єкта споглядання, хоч і дозволяє її мінімізувати). У цьому сенсі філософія постмодернізму поставила правильний діагноз сучасній людині.

Сучасна людина вважає за краще тримати під контролем естетичний об'єкт та естетичні почуття свої (а це неможливо зробити з катарсисом!), тому і важливо контролювати перехід від прагматичного до естетичного погляду на Річ, конструюючи останню як естетичний об'єкт (я знову – про Сартру). Постмодернізму довелося «вивертати» світ навиворіт, тому що емпіричне Я, відірване від чистого Я (чиста Воля в її раціональності та спонтанності), виявилося зі світом віч-на-віч, так що потрібно змінити ракурс. Тепер не трансцендентальне Я дивиться на емпіричне Я, а світ (культура) – у своїх описах змістовного наповнення суб'єктивності. Культура дивиться на емпіричне Я і виявляє лише свої сліди, свої відлуння, саму себе. Звідси людина починає трактуватися тількияк сукупність культурних практик.

Постмодернізм поставив проблему співвідношення суб'єктності та суб'єктивності людини. Видається, що суб'єктність людини – її атрибутивна властивість, суб'єктивність – предикат. Як суб'єкт, людина і є істотою, чий дух (розум, воля) опредмечивает себе в культурі. Таким чином, культура не є природою людини, але полем опредмечивания (самореалізації) його сутнісних сил (духовних потреб, мислення та уяви як продуктивної здатності виробляти ідеї, не виведені з емпіричного досвіду), а також матеріалом для розпредмечування (самозміни). Культура має відношення до суб'єктивності людини, вона – джерело наповнення цієї самої суб'єктивності, а також способів її існування.

Можна впливати на моделі сприйняття своєї суб'єктивності, але усунути суб'єкта (у його безпосередніх переживаннях свого тіла та активності свого Я) неможливо. Класична філософія була спрямована на суб'єктуззовні (до монади, до чистого Я), постмодернізм подивився на суб'єктивність, на засоби її наповнення зсередини Я, але емпіричного Я, яке поза тілом, тілесних практик пізнання власних меж не ідентифікує себе.

Зміна розкурсів, що відбулася в ХХ столітті, відбилася в тому, що раніше прагнули переживання чистої форми Я, тепер аналізують емпіричне Я (в декартовому варіанті) і дивуються відкриття, що поза культурою його немає. Його справді немає! Емпіричне "Я" - та сама суб'єктивність, яка виникає тільки в культурному бутті людини (тому в ній немає нічого, чого не було б у культурному досвіді людини). Суб'єктність ж людини пов'язана з чистим Я, яка себе ні до чого не придумує для самопочуття, але є сама можливість думки, воно є спонтанна, автономна – раціональна чи ні, але – воля, яка передує емпіричному “Я”, усякому його досвіду.

Проте, повертаючись до унікальності естетичного, слід сказати, що вона здатна нівелювати огріхи сучасного способу існування. Завдяки естетичним переживанням людина може гармонізуватись, освоювати світ, часувати себе, оновлюватись та оновлювати смисли, опинятися у полі свого чистого Буття.
____________________________

1. Наприклад, я приходжу з роботи втомлена, розсмикнена, включаю прекрасну музику або/і наливаючи чай з улюбленим смаком та ароматом, і відбувається диво від насолоди всім цим: я умиротворююсь, приходжу в себе, гармонізую стосунки з собою та світом.
2. Див: Ж.-П. Сартр. Уяву., а також Уявне. Феноменологічна психологія уяви.
3. У фільмі "Титанік!" є така сцена-захват-завороження Красою: у ній показуються мама і дівчинка років 5-6, що поспішають на рятувальну шлюпку. І раптом над кораблем злітає сигнальна ракета. Дівчинка завмирає на місці і зітхає, ніби в зобу дихання сперло: в цей момент точно для неї зникло все навколо, були тільки вона і це пляма, що світиться на тлі чорного неба.
4. Див: В.В.Бібіхін.