Примноження раціональних чисел приклади вирішувати. Раціональні числа на координатній прямій. Розмноження чисел з однаковими знаками

Розгляд арифметики цілих та раціональних чиселіз спільних перспектив одиниць - склад, декомпозиція та перетворення - і математика кількості забезпечує суттєвий зв'язок між поняттями цілого числа та мультиплікативними поняттями, включаючи поняття раціонального числа.

Діти першого класу використовують представлення бетонної кількості для 25, наприклад, 2 яблука плюс 5 яблук дають 7 яблук. Ситуація з 2 каменів плюс 5 хлопчиків є причиною паузи, тому що каміння та хлопчики не додають так само, як яблука та яблука, якщо для каміння та хлопчиків - предметів, наприклад, не знайдено єдиного підрахунку.

Інший тип проблеми з цілим числом, що допоможе розробити концептуальне розуміння потреби у загальних одиницях підрахунку, такий. Скільки мішків із 2 цукерками у кожній може вона зробити? Це, знову ж таки, традиційно багатоступінчаста проблема; Перший крок, множення, змінює все на одиниці одиниці, незважаючи на те, що проблема питання ставить про складові одиниці з двох. Наскільки нам відомо, як діти можуть вирішити цю проблему до того, як шкільне навчання змушує цю модель рішення на них невідомо; якась недавня, але обмежена пілотна робота передбачає ймовірне рішення поміняти мішки з 4 цукерками та 6 цукерками на мішки з 2 цукерок, тобто конвертувати в блок, запитаний у проблемному питанні, а потім підрахувати або додати, щоб знайти загальну кількість мішків з 2 цукерок.

У термінах наших позначень це вирішення проблеми виглядає так. Після цього стратегія вирішення проблеми цілого числа та проблема з додаванням дробів концептуально та процедурно точно однакові. Ми вважаємо, що такі питання мають фундаментальне значення для досліджень та розробок у галузі мультиплікативних структур: чи існують стійкі когнітивні зв'язки між цими двома системами? Якщо є когнітивні зв'язки, які вони? Якщо між цими двома структурами є когнітивні зв'язки, як ми можемо допомогти дітям розвинути ці зв'язки?

Чи отримує придбання цих зв'язків перехід до поля мультиплікативних структур, щоб вивчення понять, операцій та відносин у цій складній галузі було б легшим, ніж нині для дітей? Якщо такі зв'язки будуть знайдені, чи можуть бути мультиплікативні поняття вивчені раніше в навчальному плані і бути кілька паралельними з вивченням адитивних структур?

Ми вважаємо, що існують деякі важливі зв'язки, і частина нашого поточного аналізу спрямована на їхню ідентифікацію. На жаль, ми не просунулися далеко, щоб мати можливість розробити в цей момент часу. У наступних розділах ми розглянемо поточні дослідження щодо навчання та наслідки цих досліджень для викладання раціональних чисел у шкільних умовах. Ми починаємо з програм, які безпосередньо не пов'язані з раціональними числами, та поступово просуваються до розгляду досліджень, які приділяють пильну увагу раціональним числам.

Когнітивно-орієнтована інструкція. Пізнавальна методика дослідження Парадигма визнає чотири фундаментальні припущення, які, мабуть, є основою багатьох сучасних когнітивних досліджень щодо дітей? навчання. Математичне навчання має бути організовано, аби полегшити створення дітьми знань. Розвиток дітей математичними ідеями має стати основою секвенування тем навчання. Математичні навички повинні викладатися щодо розуміння та вирішення проблем. Вчителі повинні оцінювати як питання у тому, чи може дитина вирішити конкретну проблему, а й як дитина вирішує проблему. Вчителі повинні аналізувати думки дітей, ставлячи відповідні питання та слухаючи відповіді дітей. Вчителі повинні використовувати знання про те, що вони отримують оцінку та діагностику для планування відповідного навчання. Вчителі повинні організовувати навчання залученню дітей, щоб вони активно будували знання з розумінням. Вчителі повинні забезпечити, щоб інструкція з елементарної математики наголошувала на взаємозв'язку між концепціями, навичками та вирішенням проблем математики з приділенням більшої уваги вирішенню проблем, ніж існує в більшості навчальних програм. Діти створюють власні математичні знання. . Учасникам було запропоновано розробити навчальні послідовності на основі їхньої інтерпретації дослідницької літератури з вивчення дітей додавання та віднімання.

Фактично, дидактична формальна інструкція у традиційному значенні цього слова була елементом в когнітивно орієнтованої навчальної моделі. Основним дослідженням розуміння дітьми концепції додавання та віднімання є об'єднання, поділ, об'єднання та порівняння типів проблем, які часто обговорюються в літературі.

Тонкі складності всередині домену є темами, що повторюються, в наукових статтях. Із запровадженням області понять раціонального числа виникає когнітивно складна багатоваріантна система, що вимагає релятивістського мислення, система, в якій стратегії підрахунку та їх варіації більше не становлять основи успішних стратегій розв'язання.

Дослідження складання та віднімання залежали від неформальних концепцій дітей цих операцій та намагалися розвинути ці неофіційні поняття за допомогою неофіційних методів обговорення. Поки що не встановлено, що у дітей однаковий ступіньнеформальні концепції раціонального числа. Однак такі середовища не перешкоджають створенню дітьми значимих концепцій раціонального числа або планів організації контенту, що ґрунтуються на дитячій інтуїції про математику. Первинні вчителі переважно розуміють зміст додавання і віднімання та його варіації. Те саме не можна сказати про вчителів? розуміння понять оптимального числа. Хоча немає жодних вказівок на те, що вчителі не можуть вивчати ці концепції, великомасштабна робота у цих галузях стає логічною необхідністю. Наша позиція полягає в тому, що вчителі повинні бути добре інформовані про домену контенту, щоб забезпечити відповідне навчання для дітей. Перші та другокласні класи традиційно проводили більшу частину свого часу, займаючись концепціями додавання та віднімання, що обертаються навколо основних фактів та їх застосуванням у налаштуваннях вирішення проблем. Не відноситься до інструкції раціонального числа. Зміст, що пропагується для проміжних класів, сильно відрізнятиметься від того, що в даний час перебуває в основній навчальній програмі, приділяючи набагато менше уваги символічним операціям і набагато більшій увазі до базової концептуальної структури, включаючи порядок, еквівалентність, концепцію одиниці тощо. вплив стандартизованих тестів на навчальну програму набагато складніший у сфері раціонального числа. Проблеми виходять за рамки тих, які пов'язані з навчальними парадигмами, але вони мають бути узгоджені, проте, за будь-яких спроб істотно змінити характер шкільних навчальних програм. Ми вважаємо, що ці концепції мають розроблятися у класах. . Схоже, що дослідження з вивчення раціональних чисел будуть складнішими, ніж дослідження навчання адитивних структур.

Ми підозрюємо, що дослідницькі моделі будуть твердо «розташовані» на певні теми в галузях раціональних чисел, пропорційних міркувань та інших мультиплікативних структур. Ми припускаємо більш прямий підхід до навчання, з меншим наголосом на традиційних цілях і більшу увагу до складних концептуальних основ для домену. Увага до будівництва знань дітей, безперечно, буде важливим елементом. Вчителі завжди повинні заохочуватися до вивчення конструкцій студентів та стратегій мислення.

Однак не слід, що учні не можуть або не повинні отримувати математичні знання від вчителів, що математичне навчання не повинно бути організоване, щоб полегшити вчителям чітке уявлення знань, що структура математики не повинна бути основою для секвенування тим навчання, або що математичні навички не можуть бути інтегровані та викладатися разом з розумінням учнів та вирішенням проблем.

Оскільки ми дивимося на майбутнє десятиліття, нам нагадують про те, що Гейдж знову використовує безліч дослідницьких парадигм у наших спробах забезпечити більш життєздатні та інформовані дослідження в галузі навчання. Його теоретична база обговорюється, а її наслідки для досліджень навчання представлені в наступному розділі. Експерименти щодо вивчення раціонального числа проектів.

Наші педагогічні експерименти були зосереджені процесі розробки математичної концепції, а чи не на досягненні, вимірюваному письмовими тестами. Вони проводилися з 6-9 учнями та включали спостереження за навчальним процесом особами, які не є інструкторами. Інструкцію контролювали докладні плани уроків, заходи, письмові тести та інтерв'ю з учнями. Як і в більшості навчальних експериментів, наш інтерес полягав у тому, щоб спостерігати за процесом навчання, як він відбувався, та оцінювати глибину та напрямок розуміння учнів у результаті взаємодії з ретельно побудованими навчальними матеріалами на основі теорії.

Інтерв'ю було основним джерелом даних. Інтерв'ю ідеально підходить для отримання детальної інформації щодо придбання людиною нових математичних понять. Наші інтерв'ю починалися як структуровані набори питань, але швидко адаптувалися до відповідей учнів. Отже, ми змогли досліджувати інтерес студентів та апеляцію, водночас оцінюючи глибину розуміння та непорозуміння учнів. Ретельне вивчення транскрибованих інтерв'ю спричинило розуміння студентів. пізнання, що розвиваються.

Щотижневі інтерв'ю, які були дані кожному учню, транскрибувалися та аналізувалися. Таким чином, кожен індивідуальний прогрес був намічений. Оскільки деякі питання повторювалися із сесії на сесію, можна було бути досить точним у документуванні індивідуального розвитку, стабільності концептуальних досягнень та галузей потреби. Можна було також протиставити прогрес кожного учня іншим, хоча це був головним завданням. Цей контраст проводився задля цілей оцінки, а визначення моделей зростання і розуміння між учнями.