Що таке рівні дроби. Поняття дробу

Рівні дроби

Поділимо одиничний відрізок на $$4$$ рівні частини та зафарбуємо $$3$$ з них. Таким чином ми відзначили дріб $$\dfrac34$$ (див. блок Дроби на числовому прямому).

Тепер розділимо кожну з чвертей навпіл. У нас вийшло $$8$$ маленьких відрізків, а зафарбовано з них $$6$$. Тепер зафарбований відрізок відповідає дробу $$\dfrac68$$.

Ми бачимо, що звичайні дроби$$\dfrac34$$ і $$\dfrac68$$, які записуються по-різному, відповідають тому самому відрізку! Це означає, що вони виражають одну й ту саму величину. Такі дроби вважаються рівними.

Звичайні дроби рівніякщо вони виражають одну й ту саму величину.

Щоб перевірити, чи дорівнюють дроби, треба помножити чисельник першої на знаменник другий і знаменник першої на чисельник другої. Якщо твори вийшли однаковими, то дроби рівні, інакше – не рівні.

$$$\dfrac(a)(b)=\dfrac(c)(d)\Longleftrightarrow ad=bc$$$

Переконаємося, що дроби $$\dfrac(2)(12)$$ і $$\dfrac(3)(18)$$ рівні.
$$2\cdot18=12\cdot3=36$$, отже ці дроби справді рівні.

Рівні дроби на координатній прямій

Рівні дроби відповідають одній точці на координатній прямій. Наприклад, дроби $$\dfrac(2)(12)$$ і $$\dfrac(3)(18)$$ позначаються однією точкою: (малюнок, де один дріб записаний під прямий, інший над та їх точка відзначений).

Це можна було б сказати інакше: точки $$A\left(\dfrac(2)(12) \right)$$ і $$B\left(\dfrac(3)(18) \right)$$ збігаються.

Основна властивість дробу

Минулого прикладу ми спочатку розділили відрізок на $$4$$ рівні частини і взяли $$3$$ з них. Потім кожну з $$4$$ частин розділили навпіл - отримали вже $$8$$ часток (знаменник дробу збільшили в $$2$$ рази), Але і взяли вже не $ $ 3 $ $, а $ $ 6 $ $ таких часток (числитель дробу теж збільшили в $$2$$ рази). І отримали дріб, рівний вихідному:
$$$\dfrac34=\dfrac(3\cdot2)(4\cdot2)=\dfrac68$$$
Також ми могли розділити кожну чверть не на $$2$$, а на $$3$$ рівні частини (знаменник $$4\cdot3=12$$), але й взяти в $$3$$ рази більше за такі частини (числитель $$3\ cdot3 = 9 $ $). І знову отримали б той самий зафарбований відрізок. Тепер він висловлювався дробом $$\dfrac(9)(12)$$. І цей дріб також дорівнює вихідному:
$$$\dfrac34=\dfrac(6)(8)=\dfrac(9)(12)$$$ Таку ж рівність можна отримати і навпаки, розділивши і чисельник і знаменник дробу $$\dfrac(9)(12) $$ на $$3$$:

$$$\dfrac(9)(12)=\dfrac(9:3)(12:3)=\dfrac34$$$
Ця властивість називається основною властивістю дробу:

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме натуральне число, то вийде дріб, що дорівнює даній.

Нехай потрібно виміряти довжину відрізка x за допомогою одиничного відрізка e (рис.27). При вимірі виявилося, що відрізок x складається з трьох відрізків, рівних e, і відрізка, що коротше відрізка e. І тут довжина відрізка x може бути виражена натуральним числом.

Однак якщо відрізок e розбити на 4 рівні частини, то відрізок x виявиться, що складається з 14 відрізків, рівних четвертій частині відрізка e. І тоді, говорячи про довжину відрізка x, ми повинні вказати два числа 4 і 14: четверта частина відрізка e укладається у відрізку точно 14 разів. Тому умовилися довжину відрізка x записувати як , де E – довжина одиничного відрізка e, а символ називати дробом.

Загалом поняття дробу визначають так.

Нехай дані відрізокxта одиничний відрізокe, довжина якогоE. Якщо відрізокx
складається зmвідрізків, рівнихn-ої частини відрізкаe, то довжина відрізкаxможе бути представлена ​​у вигляді , де символ називають дробом (і читають "ем енних").

У записі дробу числа mі n- натуральні, mназивається чисельником , n – знаменником дроби.

Дроб називається правильним, якщо його чисельник менший за знаменник, і неправильний, якщо його чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.

Раніше показано, що четверта частина відрізка e уклалася у відрізку xточно 14 разів. Очевидно, це не єдиний варіант вибору такої частини відрізка e, що укладається у відрізок xціле число разів. Можна взяти восьму частину відрізка eтоді відрізок xскладатиметься з 28 таких частин і його довжина виражатиметься дробом. Можна взяти шістнадцяту частину відрізка
eтоді відрізок xскладатиметься з 56 таких частин і його довжина виражатиметься дробом.

Взагалі довжина одного і того ж відрізка x при заданому одиничному відрізку e може виражатися різними дробами, причому, якщо довжина виражена дробом, то вона може бути виражена будь-яким дробом виду, де k
- натуральне число.

Теорема.Для того щоб дроби і виражали довжину одного і того ж відрізка, необхідно достатньо, щоб виконувалася рівність .

Доказ цієї теореми ми опускаємо.

Два дроби і називаються рівними, якщо .

Якщо дроби рівні, то пишуть.

Наприклад, так як , а , тому що , а і .

Зі сформульованих вище теореми та визначення випливає, що два дроби рівні тоді і тільки тоді, коли вони виражають довжину одного і того ж відрізка.

Нам відомо, що співвідношення рівності дробів рефлексивно, симетрично і транзитивно, тобто. є ставленням еквівалентності.

З визначення рівних дробів випливає основна властивість дробу. Нагадаємо його.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити аборозділити на те саме число, то вийде дріб, рівний даній.

На цій властивості засновано скорочення дробів та приведення дробів до спільному знаменнику.

Скорочення дробів – це заміна даного дробу інший, що дорівнює даному, але з меншим чисельником та знаменником.

Якщо чисельник і знаменник дробу одночасно діляться лише на одиницю, то дріб називають нескоротною. Наприклад, – нескоротний дріб, оскільки його чисельник і знаменник діляться одночасно лише з одиницю, тобто D(5, 17) = 1.

Дії з дробами регулюються основною властивістю дробу: якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме натуральне число, то вийде рівний їй дріб.

2/5 = 4/10, т.к. 2 ∙ 2/5 ∙ 2

Рівні дроби насправді є записом однієї й тієї числа.

Порівняємо, 2/5 = 0,4 та 4/10 = 0,4.

Числа, які ми можемо записати у вигляді дробів, називаються раціональними числами, безліч яких позначається латинською літерою Q. Згадаймо, будь-яке ціле число ми можемо записати у вигляді дробу: 4 = 4/1, отже, будь-яке ціле число раціонально. Інакше кажучи, безліч цілих чисел Z – це підмножина Q, чи Z належить Q.

Отже, помножимо дріб на 5: 1/5 ∙ 5 = 1 ∙ 5/5 ∙ 5 = 5/25.

Розділимо дріб на 3: 33/21: 3 = 33: 3/21: 3 = 11/7 = 14/7.

Примноження чисельника та знаменника дробу на те саме число називається приведення дробу до знаменника.

Наприклад: якщо дріб 3/4 ми помножимо на 2 і отримаємо 6/8, ми скажемо, що ми привели дріб 3/4 до знаменника 8, причому число 2 називається додатковим множником.

Наведемо дріб 4/5 до знаменника 30.

1. Знайдемо додатковий множник: 30:5 = 6. Отже, наш додатковий множник 6.

2. Помножимо чисельник і знаменник дробу на 6: 4 ∙ 6/5 ∙ 6 = 24/30.

Отже, наш дріб 24/30.

На основі головної властивості дробу, ми приходимо до поняття «скорочення дробу». Скороченням дробу називається розподіл чисельника та знаменника дробу на їхній спільний дільник (відмінний від одиниці).

Розглянемо дріб 15/20. Число 5 для чисел 15 та 20 є спільним дільником. Отже, і чисельник, і знаменник дробу можна розділити на спільний дільник дробу 5. Отримаємо: 15: 5/20: 5 = 3/4.

Найбільшим спільним дільником називається найбільше число, яке можна скоротити дріб. Наприклад, дріб 30/45 можна скоротити на 3 і 5, але найбільшою кількістю, на яку можна скоротити наш дріб, є число 15: 30: 15 / 45: 15 = 2/3.

Буває так, що чисельник і знаменник дробу немає спільних дільників, крім одиниці; такий дріб ми називаємо нескоротним, а числа, які не мають спільних дільників, крім одиниці, називають взаємно простими.

Приведення дробів до спільного знаменника дозволяє порівнювати дроби з різними знаменниками. Іншими словами, щоб порівняти дроби з різними знаменниками, необхідно:

1. привести дроби до спільного знаменника;
2. порівняти чисельники дробів, що вийшли.

Розглянемо приклад 3/5??? 4/7.

1. Наведемо дроби до спільного знаменника 35. Для цього домножимо перший дріб на 7 (і чисельник, і знаменник), а другий (і чисельник, і знаменник) на 5. Отримаємо: 21/35 ??? 20/35.

2. Порівняємо чисельники дробів, що вийшли: 21 більше 20, отже, 3/5 > 4/7.

Розглянемо приклад: 6/9??? 8/12.

Загальним знаменником наших дробів буде число 9 ∙ 12. Але, щоб полегшити рішення прикладу, слід зазначити, що наші дроби можна скоротити (6/9 на 3, 8/12 на 4): 2/3 ??? 2/3, тобто. 2/3 = 2/3, отже, 6/9 = 8/12. Як бачимо, у такому разі нам знадобилося набагато менше часу на встановлення рівності дробів.

Закріпимо матеріал та доведемо нерівність: 123/800 > 1/8.

1. Наведемо дроби до спільного знаменника 800. Домножимо другий дріб на 100 і отримаємо 100/800.

2. Отже, наші дроби для порівняння 123/800 та 100/800.

3. Т.к. 123/800 > 100/800, і 123/800 > 1/8. Отже, нерівність вірна, що нам потрібно було довести.

www.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.